再談圓錐曲線焦點弦長的統(tǒng)一公式

廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123) 林秋林

一、問題的提出

例1 已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,求|AB|+|DE|的最小值.

該例題是普通高中教科書《數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》(湖南教育出版社,2019年第1版)課本P149習(xí)題3.3的第12題,原題則出自2017年高考全國數(shù)學(xué)理科I卷.原題作為選擇題,有不少資料上都利用了拋物線焦點弦的弦長公式來給出簡解,過程如下:

上述解析利用公式邏輯清晰,目標(biāo)明確,過程簡潔有效．在學(xué)生掌握了這個二級結(jié)論的前提下,作為選擇題的解法無可厚非．只是例1作為解答題,這個直接利用二級結(jié)論的解答過程就明顯不夠嚴(yán)謹(jǐn)了．筆者曾在高三某個班級利用該題做了一個小測驗,結(jié)果發(fā)現(xiàn)該班不少優(yōu)秀的同學(xué)光知道利用二級結(jié)論進行所謂“秒殺”,規(guī)范的解答過程反而不知道怎么書寫了,不是缺步就是跳步,這不禁讓筆者憂心不已．高三復(fù)習(xí)該不該任由學(xué)生去記憶類似的二級結(jié)論呢?二級結(jié)論是否會影響學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)?筆者不禁陷入了思索與困惑．

二、問題的思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》針對平面解析幾何內(nèi)容,對學(xué)生提出了具體的學(xué)業(yè)要求．即能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程;根據(jù)具體問題情境的特點,建立平面直角坐標(biāo)系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點,用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋,解決幾何問題．同時對高考命題原則,《課標(biāo)》明確指出:考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線,聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用,強調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化解題技巧;融入數(shù)學(xué)文化．由此可見,強調(diào)利用二級結(jié)論來解題,會讓學(xué)生陷入強化解題技巧的誤區(qū),也會使學(xué)生忽視數(shù)學(xué)的本質(zhì),甚至?xí)虼硕鴮?shù)學(xué)興趣索然．那二級結(jié)論是不是都沒有積極作用?教師是不是要制止學(xué)生去鉆研、理解二級結(jié)論呢?為此,筆者專門和一些成績優(yōu)秀的同學(xué)做了交流,其中有幾個學(xué)生反映以前在考試時經(jīng)常會因方法的選擇不當(dāng)、本身計算能力的不足等原因,導(dǎo)致成績一直不夠理想,而在掌握并能熟練使用一些二級結(jié)論后,對數(shù)學(xué)解題(特別是選擇題或填空題)有了較大的信心,不僅提高了解題速度,而且解題的準(zhǔn)確率也有一定的提升,成績自然也更加突出．

有一個學(xué)生還以例1為例,告訴筆者:如果知道拋物線的焦點弦長公式,雖然不能直接利用,但是知道了弦長可以和直線與對稱軸的夾角建立聯(lián)系,這可以為解題指引了方向,并且還能檢驗自己得到的結(jié)論是否準(zhǔn)確．該生同時向筆者展示了如下解法:

三、問題的進一步探討

看到上述解法,筆者很是欣喜．與學(xué)生的這些交流心得,也猶如給筆者吃了顆定心丸．因此筆者試著在另一個班級利用例1與學(xué)生們一起探討了圓錐曲線焦點弦長的統(tǒng)一公式及使用方法,而后筆者利用例2又做了一次測驗．

這次的測驗結(jié)果相當(dāng)喜人,筆者發(fā)現(xiàn)有更多的同學(xué)給出了以下解析．

該解法相比較常規(guī)解法,省略了討論的步驟,同時最后的弦長和轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的函數(shù),也能較簡便地得到取值范圍．筆者現(xiàn)場提問了其中一位給出上述解法的同學(xué),他的解釋是:本題中雖然不能直接利用圓錐曲線焦點弦長的統(tǒng)一公式,但是既然知道焦點弦長可以看作關(guān)于直線傾斜角的函數(shù),就想到了設(shè)直線的參數(shù)方程,從而得到上述解法．

四、結(jié)語

以上通過對圓錐曲線的焦點弦長的統(tǒng)一公式的教學(xué),舉一反三,給沉悶的數(shù)學(xué)教學(xué)注入了一絲活力,提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動了學(xué)生的積極性,從而提高了課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量,同時也發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過:“解題可以是人的最富有特征性的活動,假如你想要從解題中得到最大的收獲,你就應(yīng)該在所做的題目當(dāng)中去找出它的特征,那些特征在你以后求解其他問題時,能起到指導(dǎo)的作用.”筆者認(rèn)為,二級結(jié)論其實就是所謂的“特征”,是對一些重要的數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)等進行的深入總結(jié),它可以有意識的引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論中發(fā)現(xiàn)解題思路,從證明中完善解題過程．要達到這樣的正面效果就要求教師要指導(dǎo)學(xué)生知其然更要知其所以然．?dāng)?shù)學(xué)題目是永遠(yuǎn)做不完的,如果學(xué)生能適當(dāng)掌握一些二級結(jié)論,就能解決更多相應(yīng)的問題,這確實會大大提升學(xué)習(xí)效率.當(dāng)然這里教師也要對二級結(jié)論進行篩選,指導(dǎo)學(xué)生去粗取精,避免學(xué)生陷入泥潭．