基于“問題鏈”情境下的習(xí)題教學(xué)

安徽省碭山中學(xué) (235300) 蓋傳敏 宋永清

在復(fù)習(xí)備考中,除了復(fù)習(xí)梳理知識(shí)點(diǎn)外,習(xí)題教學(xué)是必不可少的一個(gè)重要環(huán)節(jié).在以往的習(xí)題教學(xué)中,都是老師拼命地講,學(xué)生努力地聽,師生彼此陷入了“教師擔(dān)心講不到位,學(xué)生擔(dān)心練不全面”的焦慮之中.如何真正地讓師生從題海中走出來,實(shí)現(xiàn)雙減的目標(biāo),是筆者一直在思考的問題.在近期的課堂教學(xué)中,筆者通過嘗試設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}鏈,在問題鏈的引領(lǐng)下進(jìn)行教學(xué),可指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).本文結(jié)合教學(xué)中的典型習(xí)題談?wù)劵凇皢栴}鏈”情境下如何進(jìn)行有效教學(xué).

一、通過設(shè)置啟發(fā)式問題鏈確定解題方法

在習(xí)題教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生遇到解題障礙時(shí),我們教師不應(yīng)急于給出正確的解題答案,而應(yīng)從宏觀的角度給學(xué)生指明解題方向,可通過設(shè)置啟發(fā)式問題鏈喚醒學(xué)生的已有認(rèn)知,引導(dǎo)學(xué)生確定解題方法,明確解題方向.

例1 (2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷12題,多選題)對(duì)任意x,y,x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析：該題是有關(guān)二元變量的取值范圍問題,融基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性于一體,解法靈活多樣,是很好的一道練習(xí)題,可同學(xué)們卻在求解時(shí)四處碰壁,不知所措,下面通過設(shè)置啟啟發(fā)誘導(dǎo)形式的問題鏈引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)不同的角度進(jìn)行求解.

問題1 能否利用不等式性質(zhì)建立選項(xiàng)與題設(shè)條件之間的聯(lián)系?

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用不等式性質(zhì)求解的關(guān)鍵是將已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅?建立已知與未知之間的聯(lián)系.

問題2 能否將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題?

分析：直接消參無從入手,能否利用換元法將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量?

問題3 能否挖掘出該題的幾何背景,利用幾何意義進(jìn)行求解.

點(diǎn)評(píng)：此解法的關(guān)鍵是通過換元把已知條件轉(zhuǎn)化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式,進(jìn)而借助幾何意義求解,方法快捷有效.

二、設(shè)置遞進(jìn)式問題鏈厘清解題思路

在習(xí)題教學(xué)中,對(duì)于一些難度較大的試題,學(xué)生一時(shí)很難厘清解題思路,即使聽老師講解也很費(fèi)力.這時(shí)若能根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,把復(fù)雜問題進(jìn)行分解,通過環(huán)環(huán)相扣遞進(jìn)式地設(shè)置問題鏈,循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生消除思維障礙,這樣學(xué)生接受起來較為輕松,同時(shí)可消除學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難心理,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

例2 (2020課標(biāo)Ⅰ理11題)如圖1,已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線1:2x+y+2=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí),直線AB的方程為( ).

圖1

A.2x-y-1=0

B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0

D.2x+y+1=0

分析：該題作為高考?jí)狠S題,綜合性強(qiáng),難度大,學(xué)生一時(shí)找不到正確的解題思路,但認(rèn)真思考后會(huì)發(fā)現(xiàn),該題可分解成若干個(gè)小問題進(jìn)行求解,通過設(shè)置遞進(jìn)式問題鏈的形式將“大事化小,小事化了”.

問題1|PM|·|AB|的幾何意義?

綜上所述，本施工方案在工期上節(jié)省了每道工序的超前管棚施工時(shí)間和吊罐出渣時(shí)開挖等待時(shí)間；在投資上節(jié)省了管棚鋼管材料費(fèi)，且減少了門機(jī)、吊罐、門機(jī)操作人員、人工開挖人員等的投入；在安全方面，減少了吊裝設(shè)備、鋼絲繩等危險(xiǎn)源，避免了安全事故的發(fā)生。

問題2 如何求解四邊形PAMB的面積SPAMB?

分析：四邊形PAMB是一個(gè)不規(guī)則的四邊形,在求解四邊形PAMB的面積時(shí),不妨采用分割法,即SPAMB=S△PAM+S△PBM.又因?yàn)椤鱌BM?△PAM,所以S△PAM=2S△PAM.

問題3 如何求S△PAM面積的最小值?

問題4 過點(diǎn)P(-1,0)作⊙M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,如何求直線AB的方程?

方法二：(利用同構(gòu)求解)設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),則⊙M在點(diǎn)A處的切線方程為(y-y1)(y1-1)+(x1-1)(x-x1)=0,因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(-1,0),將點(diǎn)P(-1,0)代入可得2x1+y1+1=0①,同理可得2x2+y2+1=0②,由①②可得直線AB的方程為2x+y+1=0.

三、設(shè)置發(fā)散式問題鏈拓展學(xué)生思維

例3 (2018年全國(guó)Ⅰ卷文20題)設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線BM的方程;(2)證明:∠ABM=∠ABN.

分析：本題難度適中,大部分同學(xué)能很快得到正確答案.在課堂教學(xué)中,如果就題論題,簡(jiǎn)單幫助學(xué)生厘清思路,給出答案,那就顯得操之過急了.這時(shí)如果能夠通過問題鏈的形式將該題進(jìn)行發(fā)散延伸,不僅可幫助同學(xué)們理解問題本質(zhì),還能促進(jìn)學(xué)生思維的深層發(fā)展.類比發(fā)現(xiàn)新的問題.

問題3 已知拋物線y2=2px(p>0)上兩點(diǎn)A,B(不關(guān)于x軸對(duì)稱),點(diǎn)N(-m,0)(m>0),若∠ANO=∠BNO,證明:直線AB恒過定點(diǎn)M(m,0).

結(jié)束語問題是數(shù)學(xué)的心臟,不論是新課講授還是習(xí)題教學(xué),我們都可通過設(shè)置問題鏈的形式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.通過問題鏈教學(xué)還能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力,引導(dǎo)學(xué)生從“想學(xué)”到“學(xué)會(huì)”,再到“會(huì)學(xué)”的跨越.除此之外,作為一線教師我們要不斷地探索和創(chuàng)新教學(xué)模式,通過我們的努力,讓學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué),同時(shí)感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.