流變性土排樁地基的禁振帶隙

楊華中，趙建昌，余云燕，王立安

(1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 鐵道技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

近年來，環(huán)境振動(dòng)問題日益突出[1-2]，利用樁-土周期結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的地基隔振屏障得到了成功應(yīng)用[3-4].早期學(xué)者們沿用傳統(tǒng)的周期結(jié)構(gòu)理論，將土體視為理想線彈性材料，對(duì)單層[5]或多層[6]土體排樁周期結(jié)構(gòu)的禁振帶隙和振動(dòng)衰減規(guī)律進(jìn)行研究.最近幾年，Shi等[7-10]借助COMSOL有限元軟件中的多孔彈性波模塊，研究兩相飽和土中周期性排樁的帶隙和振動(dòng)傳輸規(guī)律.簡單的散射型聲子晶體產(chǎn)生的帶隙位于高頻段，很難覆蓋實(shí)際中地震和交通荷載引起的低頻振動(dòng).Pu等[11-12]通過填充軟材料，研究具有局域共振性質(zhì)的套管樁隔振結(jié)構(gòu).陳曉斌等[13]利用有限元軟件，模擬更復(fù)雜的四組元開孔套管樁周期結(jié)構(gòu)的隔振性能.實(shí)際土體由于松弛和蠕變效應(yīng)，應(yīng)力作用下土顆粒的重新排列和骨架錯(cuò)動(dòng)具有明顯的時(shí)間效應(yīng)[14-15].蔡袁強(qiáng)等[16]基于Terzaghi一維固結(jié)理論，分析循環(huán)荷載作用下土體應(yīng)力-應(yīng)變?cè)跁r(shí)間效應(yīng)下的非線性漸變過程.曾慶有等[17]采用Mesri蠕變模型考慮土體的流變性，計(jì)算黏彈性土中樁基的長期沉降.艾志勇等[18-19]采用有限元-邊界元耦合的方法，研究層狀黏彈性地基與樁以及梁共同作用的時(shí)變行為.何利軍等[20]提出黏彈性土的蠕變模型，對(duì)土體應(yīng)力-應(yīng)變的時(shí)間效應(yīng)進(jìn)行精確分析.汪磊等[21]研究半透水邊界下分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土的固結(jié)時(shí)效行為.吳奎等[22]研究流變性巖體中深埋隧道的力學(xué)響應(yīng)問題.張婉潔等[23]基于分?jǐn)?shù)階Bingham模型的線性剛度系統(tǒng)，研究磁流變液阻尼器的時(shí)滯問題.上述研究表明，流變性土的應(yīng)力-應(yīng)變對(duì)于時(shí)間具有依賴性.

為了探究流變性土排樁周期結(jié)構(gòu)的帶隙特征以及土體流變性的影響規(guī)律，本文采用時(shí)間依賴性模量描述土體流變效應(yīng)，構(gòu)建樁-土周期結(jié)構(gòu)的連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)模型.采用多重散射法推導(dǎo)周期系統(tǒng)的體波彌散方程，通過搜索布里淵域得出周期性排樁地基的頻率域彌散曲線，利用模型退化驗(yàn)證算法的正確性.分析流變性土排樁地基的禁振帶隙及核心參數(shù)的影響規(guī)律.

1 分析模型

如圖1(a)所示為排樁隔振地基.假設(shè)樁體足夠長（樁長遠(yuǎn)大于元胞尺寸）且與周圍土體完全接觸，在小應(yīng)變情形下，元胞平面上各點(diǎn)的位移都與截面平行，所以樁-土結(jié)構(gòu)可以簡化為平面應(yīng)變問題[7-10].針對(duì)樁基定義局部極坐標(biāo)系r-θ（見圖1(b)），對(duì)Bragg單元定義二維直角坐標(biāo)系xy（見圖1(c)）.圖中，a為元胞常數(shù)，r0為樁基半徑，Γ1、Γ2、Γ3、Γ4為元胞的4個(gè)邊界.

圖1 樁-土周期結(jié)構(gòu)的分析模型Fig.1 Analysis model of pile-soil periodic structure

2 土體流變性描述

采用具有時(shí)間依賴性的模量描述土體的流變效應(yīng)，積分形式的本構(gòu)方程[24]為

式中：σs、εs分別為土體的應(yīng)力和應(yīng)變，δij為Kronecker delta函數(shù)；ζs為體應(yīng)變；λs= λs(t)、μs=μs(t)為Lamé常數(shù)，由于考慮土體模量的時(shí)間依賴性， λs、μs均為時(shí)間t的函數(shù)；τ為松弛時(shí)間.

根據(jù)Lamé常數(shù)的定義，可知

式中：vs為泊松比（本文中假定vs不隨時(shí)間變化）；E(t)為彈性模量，松弛函數(shù)形式[24]為

式中：E0、E∞分別為初始和最終穩(wěn)定狀態(tài)的彈性模量.

對(duì)式（3）引入時(shí)間t的Fourier變換，可以得到頻率域的表達(dá)式：

對(duì)式（1）進(jìn)行時(shí)間t的Fourier變換，可以得到頻率域的本構(gòu)方程：

式中：λs(ω)、μs(ω)為頻率域中對(duì)應(yīng)的Lamé常數(shù)，表達(dá)式為

其中η為初始和最終狀態(tài)的模量比，η =E∞/E0；λ0、μ0為初始Lamé常數(shù)，

根據(jù)黏性理論，可得滯回阻尼比為

從式（6）～（8）可以看出，土體的變形模量λs、μs及ξd均為頻率的函數(shù).圖2給出不同的η和τ下，ξd隨頻率的變化曲線.可知，阻尼比隨頻率發(fā)生非單調(diào)性的變化.從圖1（a）可知，當(dāng)η ＞1（即E∞＞E0）時(shí)，阻尼比為正值，且先增大而后減小，最終趨于收斂.當(dāng)η ＜ 1（即E∞＜E0）時(shí)，阻尼比為負(fù)值，且先負(fù)向增大而后收斂.圖1(a)說明，阻尼比隨著頻率的增大而出現(xiàn)非單調(diào)性變化.從圖1(b)可知，τ影響阻尼比的峰值位置.

圖2 阻尼比隨頻率的變化曲線Fig.2 Variation curve of damping ratio with frequency

通過對(duì)式（8）求極值，可得阻尼比的峰值和峰值對(duì)應(yīng)的頻率：

從圖2及式（9）可知，η決定阻尼比的幅值，τ決定阻尼比隨頻率的變化速率.在實(shí)際工程中，土體受載后被壓密，變形模量將增大（E∞＞E0），因此不會(huì)出現(xiàn)η ＜ 1的情況，不再討論該情況.

3 波動(dòng)方程求解

根據(jù)彈性波動(dòng)理論可知，土體和樁基的頻率域Navier波動(dòng)方程為

式中：us、up、ρs、ρp分別為土體和樁基的位移矢量和密度；與流變性土體不同，樁基為均質(zhì)彈性材料，其Lamé常數(shù)λp、μp為常數(shù).

引入勢(shì)函數(shù)?s、ψs，對(duì)us在極坐標(biāo)系下進(jìn)行Helmholtz分解，得到

將式（12）代入式（10），可得

式中：kl1、kt1分別為土體中壓縮波和剪切波的波數(shù)，kl1= ω/cl1、kt1= ω/ct1，其中cl1、ct1為2種波的波速.

將式（12）代入本構(gòu)方程（5），可得

引入勢(shì)函數(shù)?p、ψp，對(duì)樁基波動(dòng)方程進(jìn)行Helmholtz分解，可得

式中：kl2、kt2分別為樁基中壓縮波和剪切波的波數(shù).

根據(jù)彈性波散射理論[25]，將土體和樁體的勢(shì)函數(shù)?s、ψs、?p、ψp用柱波函數(shù)展開，可得

式中：Am1、Am2、Bm1、Bm2、Cm1、Cm2為待定積分常數(shù)，通過樁-土界面條件確定；Jm、Ym分別為m階第1類和第2類Bessel函數(shù)，其中m為整數(shù).

將式（17）代入式（12）、（14）、（16），可得土體和樁基位移場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)的級(jí)數(shù)表達(dá)式：

式中：系數(shù)矩陣Fm、Gm、fm、gm、Dm、dm均為已知的二階矩陣，具體表達(dá)式見附錄.

根據(jù)樁-土界面處（r=r0）的位移和應(yīng)力連續(xù)，得到界面條件如下：

將式（18）代入式（19），可得待定系數(shù)Am1、Am2與Bm1、Bm2的關(guān)系：

將式（20）代入式（18），可以將土體位移寫為

式中：Pm、Qm為已知的二階矩陣，表達(dá)式見附錄.

為了推導(dǎo)樁-土周期結(jié)構(gòu)的彌散方程，須將極坐標(biāo)系中的土體位移轉(zhuǎn)換到元胞系統(tǒng)的直角坐標(biāo)系（x-y）中，轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

式中：

將圖1(c)中元胞4個(gè)邊界上的法向位移表示為

式中：n= [nx,ny, -nx, -ny]為4個(gè)邊界對(duì)應(yīng)的單位法向量；系數(shù)矩陣Ω為8N×8N階矩陣，矩陣元素由的矩陣元素組成，其中N為每個(gè)邊界上選取的計(jì)算點(diǎn)數(shù).Ω與的矩陣元素對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

式中：

根據(jù)Bloch-Floquet定理可知，周期結(jié)構(gòu)中的所有場(chǎng)量Φ均滿足如下周期條件：

式中：X為坐標(biāo)矢量，X= [x,y]；k為波矢，k= [kx,ky].

對(duì)元胞邊界上的位移運(yùn)用周期條件（25），可得

將式（26）代入式（23），可得樁-土系統(tǒng)的特征方程：

式中：Ω31、Ω32、Ω41、Ω42為Ω中的二維分塊矩陣；

將式（27）進(jìn)一步整理為標(biāo)準(zhǔn)方程形式：

式（28）為8N×8N階矩陣方程，其中I為4N×4N階單位矩陣；V=Uexp(ikx,ya)，其中U為元胞邊界上的位移矩陣，；矩陣T1、T2、T3的表達(dá)式見附錄.

利用非凡解條件，可得

式（29）為樁-土周期結(jié)構(gòu)的彌散方程，det表示取行列式.對(duì)方程給定角頻率ω，在第一不可約布里淵域Γ-X-M（見圖3）中搜索滿足方程的波矢kx、ky，可得周期系統(tǒng)中壓縮波和剪切波的彌散曲線（頻率-波數(shù)關(guān)系）.當(dāng)搜索Γ-X邊界時(shí)（0 ≤kx≤π/a），方程中的指數(shù)項(xiàng)取exp(ikxa)；當(dāng)搜索X-M（0 ≤ky≤ π/a）邊界時(shí)，指數(shù)項(xiàng)取exp(ikya).

圖3 第一不可約布里淵域Fig.3 First irreducible Brillouin zone

4 算例分析

對(duì)本文的求解方法和計(jì)算程序進(jìn)行驗(yàn)證.可知，當(dāng)τ = 0時(shí)，土體模型退化為線彈性模型.Huang等[26]利用平面波展開法，計(jì)算線彈性土排樁地基的禁振帶隙.圖4給出本文退化模型Γ-X邊界上的剪切波彌散曲線，所需的計(jì)算參數(shù)取值如表1所示，并與Huang的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.圖中，f*為歸一化無量綱頻率，f*= ωa/(2πct2).對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文解與Huang的結(jié)果能夠吻合.圖4中的陰影區(qū)域?yàn)橹芷诮Y(jié)構(gòu)的禁振帶隙，當(dāng)0 ≤ ω≤500 rad/s時(shí)出現(xiàn)了2個(gè)帶隙，fu、fl分別為帶隙的上界頻率和下界頻率，帶隙寬度W*=fu-fl.

表1 土和樁的計(jì)算參數(shù)表Tab.1 Table of calculation parameters of soil and pile

圖4 本文退化解與文獻(xiàn)[26]解的對(duì)比圖Fig.4 Comparison chart of degradation result of proposed method and reference [26]

為了對(duì)比流變性對(duì)帶隙的影響，利用Rayleigh黏彈性模型[27]計(jì)算阻尼比為常數(shù)時(shí)的帶隙，與流變性模型進(jìn)行結(jié)果對(duì)比.如圖5所示為Rayleigh模型的常阻尼比ξ = 0.177與流變模型(ξd)max=0.177的結(jié)果對(duì)比，(ξd)max= 0.177對(duì)應(yīng)于η = 1.5.對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Rayleigh模型的計(jì)算結(jié)果與線彈性無阻尼模型的結(jié)果無明顯差異.流變模型的計(jì)算結(jié)果顯示，在考慮土體流變性后，帶隙明顯上移，帶寬小幅減小.

圖5 常阻尼模型與流變模型的帶隙結(jié)果對(duì)比Fig.5 Band gap results comparison between constant damping model and rheological model

通過改變Rayleigh模型的常阻尼比ξ，考察ξ對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響（計(jì)算結(jié)果見表2）.從表2可知，只有當(dāng)阻尼比非常大（接近0.7）時(shí)，才會(huì)對(duì)帶隙產(chǎn)生影響，但實(shí)際土體的阻尼比不可能達(dá)到0.7.由此可見，常阻尼模型不能反映土體流變性對(duì)排樁地基帶隙的影響.相反，流變性模型的分析結(jié)果表明，土體流變性會(huì)引起帶隙位置上移，帶寬減小.即便在阻尼比很小的情況下，這種現(xiàn)象依然很明顯.

表2 不同阻尼比取值下的帶隙結(jié)果Tab.2 Band gap results with different damping ratios

如圖3所示為η增大時(shí)帶隙的變化曲線（即阻尼比幅值增大）.可知，前半段曲線（0 ＜ η ＜ 6）帶隙小幅上移、帶寬減小，在η ＞ 6后（對(duì)應(yīng)于(ξd)max＞0.544），帶隙上移加快，由于下界頻率增速顯著慢于上界頻率，帶寬顯著增大.實(shí)際土體的模量比不會(huì)大于6，阻尼比達(dá)不到0.5，因此圖6中后半段曲線在實(shí)際中不會(huì)出現(xiàn).

圖6 帶隙隨模量比的變化曲線Fig.6 Variation curve of band gap with modulus ratio

η決定阻尼比的幅值，τ決定阻尼比隨頻率的變化速率.如圖7所示為帶隙隨τ的變化曲線，由此分析阻尼比的變化速率對(duì)帶隙的影響.可知，隨著松弛時(shí)間的增大，帶隙大幅上移，帶寬顯著減小，當(dāng)松弛時(shí)間達(dá)到0.01 s時(shí)趨于收斂，帶隙不再隨松弛時(shí)間變化.對(duì)比圖6、7可以看出，松弛時(shí)間對(duì)帶隙的影響明顯大于模量比.由此證明，流變性影響帶隙的因素主要是阻尼的時(shí)變效應(yīng)，而非阻尼值.

圖7 松弛時(shí)間對(duì)帶隙的影響Fig.7 Effect of relaxation time on band gap

如圖8所示為帶隙隨樁基填充率Fs的變化曲線，F(xiàn)s=πr20/a2.可知，盡管流變性導(dǎo)致帶隙位置上移且?guī)挏p小，但帶隙隨Fs的變化規(guī)律與線彈性土地基一致，即隨著填充率的增大，帶隙寬度先增大后減小.當(dāng)松弛時(shí)間較大時(shí)，帶隙寬度隨Fs的變化率減?。ㄒ妶D8(b)中τ=10-2s對(duì)應(yīng)的曲線），說明流變性能夠降低填充率對(duì)帶隙的影響.

圖8 帶隙隨樁基填充率的變化曲線Fig.8 Variation curve of band gap with Fs

5 結(jié) 論

（1）流變性土的阻尼比隨頻率發(fā)生非單調(diào)性變化，始終態(tài)模量比決定阻尼比的幅值，而松弛時(shí)間決定阻尼比隨頻率的變化速率.阻尼比的幅值隨著模量比的增大而增大，松弛時(shí)間越大，阻尼比隨頻率的變化速率越大.

（2）土體流變性引起排樁地基的帶隙位置上移，且?guī)挏p小.模量比和松弛時(shí)間越大，則帶隙位置上移，帶寬減小越明顯.松弛時(shí)間對(duì)帶隙的影響程度顯著大于模量比，這是土體流變性影響帶隙的主要因素.

（3）流變性減弱了樁基填充率對(duì)帶隙的影響，土體流變性越強(qiáng)，帶隙隨填充率的變化幅度越小.

（4）受土體流變性的影響，實(shí)際工程中排樁地基的帶隙頻率高于理論值，且?guī)挏p小，減弱了排樁的隔振效果，消除樁周土的流變性將有利于排樁發(fā)揮隔振作用.

附錄(Appendix)：

式中：