變中抓不變

陳英

［摘 要］較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題，常常會讓學(xué)生無從下手、望而生畏。但萬變不離其宗，引導(dǎo)學(xué)生認真審題，在變量中挖掘出不變的量，以“不變”應(yīng)“萬變”，解決問題的突破口就能打開，問題也就迎刃而解。

［關(guān)鍵詞］分數(shù)應(yīng)用題；變量；不變量

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0090-03

較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題中往往有很多變化的量，教師可以變問題、變條件、變內(nèi)容，通過舉一反三，引導(dǎo)學(xué)生主動聯(lián)結(jié)知識間的聯(lián)系，深入分析問題，在比較辨析中真正領(lǐng)悟“變中抓不變”的數(shù)學(xué)思想方法，切實提高學(xué)生分析問題、解決問題能力。

一、問題凝視

教材在六年級分數(shù)單元編排了思考題：學(xué)校田徑隊女生人數(shù)原來占田徑隊總?cè)藬?shù)的[13]，后來有6名女生加入，這樣女生人數(shù)就占田徑隊總?cè)藬?shù)的[49]?，F(xiàn)在田徑隊有女生多少人？

初讀題目，學(xué)生以為很簡單，誤認為單位“1”總?cè)藬?shù)沒有發(fā)生變化，6人對應(yīng)的分率是（[49-13]），導(dǎo)致錯誤。事實上，“又來了6名女生”使得數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，[13]和[49]兩個分率對應(yīng)單位“1”的實際數(shù)量也就不同。

二、成因透視

1.題目數(shù)量關(guān)系復(fù)雜

上題以思考題的形式出現(xiàn)，就說明它具有一定的綜合性，體現(xiàn)在“又有6名女生加入”這個動態(tài)變化的量，一下子提高了題目的難度系數(shù)。學(xué)生理不清數(shù)量關(guān)系，自然找不到正確的解題方法。此題從字面上看只描述了女生人數(shù)和總?cè)藬?shù)，其實還隱藏著男生人數(shù)這個量。由于有6名女生加入，引起女生人數(shù)發(fā)生了變化，總?cè)藬?shù)也隨之發(fā)生了變化。如果還是從總?cè)藬?shù)這個變量入手，會給解題帶來很大的困難。若仔細分析題中的條件，就會發(fā)現(xiàn)男生人數(shù)不變這個條件，也就是男生人數(shù)前后都沒有發(fā)生變化。因此，解題關(guān)鍵是緊抓男生人數(shù)這個不變量，巧妙計算現(xiàn)在女生人數(shù)。

2.學(xué)生思維水平不足

小學(xué)生的思維正處于直觀形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。教材中只編排的單位“1”已知的兩步計算的分數(shù)應(yīng)用題教學(xué)，而省略了單位“1”未知的兩步計算的分數(shù)應(yīng)用題教學(xué)。學(xué)生對需要兩步計算的分數(shù)除法問題還處在通過畫線段圖來理解單位“1”的階段，而一下子躍到動態(tài)變化的量——單位“1”發(fā)生改變，需要跳躍性的思維，但大部分學(xué)生的思維還沒達到這水平。

三、出路審視

1.找準知識銜接點

學(xué)生覺得分數(shù)應(yīng)用題很難，這很正常，因為學(xué)生在生活中很少遇到關(guān)于分數(shù)的問題。對此，教師不妨換個角度，從學(xué)生實際的認知水平入手，把分數(shù)知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生擅長的整數(shù)知識。比如，利用分數(shù)和比的聯(lián)系將“學(xué)校田徑隊女生人數(shù)原來占田徑隊總?cè)藬?shù)的[13]”的“[13]”轉(zhuǎn)化成1∶3，也就是把學(xué)校田徑隊女生看作1份，總數(shù)看作3份；當然還能把男生看作2份，所以女生人數(shù)是男生人數(shù)的[12]。同理，當女生人數(shù)發(fā)生變化，占田徑隊總?cè)藬?shù)的[49]時，把學(xué)校田徑隊現(xiàn)在女生人數(shù)看作4份，總數(shù)看作9份，男生人數(shù)就可以看作5份，所以女生人數(shù)是男生人數(shù)的[45]。

2.緊扣知識關(guān)鍵點

對較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題，用常規(guī)的分析思路解題往往比較困難，教師可引導(dǎo)學(xué)生在變化中抓不變，讓不變量化隱為顯。女生人數(shù)和總?cè)藬?shù)是思考題中動態(tài)變化的量，但變化中隱含著某個不變量，就是男生人數(shù)始終不變。找準男生這個不變量是解題的關(guān)鍵點，求出男生人數(shù)后，女生人數(shù)也就順利得到解決。

3.挖掘知識發(fā)散點

數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是讓學(xué)生學(xué)會解答某一個思考題，更要讓學(xué)生掌握解決這類問題的數(shù)學(xué)思想方法和舉一反三的能力?？砂杨}目變“三變”，引申出題組練習(xí)，讓學(xué)生在變化中真正理解“變中抓不變”的數(shù)學(xué)思想方法。一變，變問題。把問題變成“原來田徑隊有女生多少人？”“現(xiàn)在田徑隊一共多少人？”；二變，變條件。本題是男生人數(shù)不變，也就是其中一個量是不變量，改變條件后，呈現(xiàn)另外兩種類型：和是不變量，差是不變量。三變，變內(nèi)容。把問題拓展到濃度問題、百分率問題等，這些問題雖然情境不同，但本質(zhì)相同，都是需要抓住不變量來解題。通過這些“變”，就能切實提高學(xué)生解決實際問題的能力。

四、教學(xué)重構(gòu)

1.深入淺出，理解本質(zhì)

（1）舊分率轉(zhuǎn)化成份數(shù)

師：根據(jù)分數(shù)和比的聯(lián)系，看到這句話“學(xué)校田徑隊女生人數(shù)原來占[13]”，你能想到什么？

生1：[13]可以轉(zhuǎn)化成1∶3，也就是把學(xué)校田徑隊女生看作1份，總數(shù)看作3份。

生2：除了女生人數(shù)和總數(shù)，還能想到男生人數(shù)占了2份。

師：看到“女生人數(shù)就占田徑隊總?cè)藬?shù)的[49]”這句話呢？

生3：可以把學(xué)校田徑隊女生人數(shù)看作4份，男生人數(shù)看作5份，總數(shù)看作9份。

師：根據(jù)分數(shù)和比之間的關(guān)系，可以把分數(shù)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成整數(shù)應(yīng)用題來解答。女生人數(shù)前后發(fā)生變化，總?cè)藬?shù)也隨之發(fā)生變化，什么沒變？

生4：男生人數(shù)沒變。

生5：雖然把原來的男生人數(shù)看作2份，把后來的男生人數(shù)看作5份，但是男生人數(shù)不變，為方便計算，把男生人數(shù)統(tǒng)一成10份。

師：把男生人數(shù)前后統(tǒng)一成10份，根據(jù)比的基本性質(zhì)，女生人數(shù)前后的份數(shù)發(fā)生什么變化？

生6：原來的女生人數(shù)調(diào)整為5份，現(xiàn)在的女生人數(shù)調(diào)整為8份。

師：正因為有6名女生加入，所以女生人數(shù)由原來的5份增加到8份，你想到了什么？

生7：3份女生人數(shù)是6人，所以一份女生人數(shù)是2人。

生8：現(xiàn)在田徑隊女生人數(shù)占8份，一份2人，所以現(xiàn)在女生有16人。

師：我們可以把解題思路整理成表格。（見表1）

（2）舊分率轉(zhuǎn)化成新分率

師：剛才我們緊扣不變量，把舊分率轉(zhuǎn)化成份數(shù)來解決問題。其實也可以把舊分率轉(zhuǎn)化成新分率來解決問題。大家都試一試。

生9：男生人數(shù)是不變量，把男生人數(shù)看作單位“1”。

生10：學(xué)校田徑隊女生人數(shù)原來占[13]，轉(zhuǎn)化成原來女生人數(shù)占男生的[12]。

生11：“女生人數(shù)占田徑隊總?cè)藬?shù)的[49]”轉(zhuǎn)化成“現(xiàn)在女生人數(shù)占男生的[45]”。

生12：6人對應(yīng)的分率是（[45-12]），男生人數(shù)等于6÷（[45-12]）=20（人）。

生13：現(xiàn)在女生人數(shù)為20×[45]=16（人）。

2.變式練習(xí)，舉一反三

（1）變問題

師：如果把問題改成現(xiàn)在田徑隊一共有多少人？你會解答嗎？

生1：解題思路不變?，F(xiàn)在田徑隊人數(shù)一共有18份，所以總?cè)藬?shù)為2×18=36（人）。

師：你還能提什么問題？如何解答你提出的問題？

生2：原來田徑隊一共有多少人？原來田徑隊一共占15份，所以田徑隊一共有2×15=30（人）。

生3：原來田徑隊女生有多少人？原來田徑隊女生占5份，所以原來田徑隊女生有2×5=10（人）。

生4：田徑隊男生多少人？田徑隊男生占10份，所以田徑隊男生有2×10=20（人）。

師：大家真了不起，提出了這么多問題。這些問題有什么共同點？

生5：問題雖然有變化，但解題思路相同，都是先找準男生人數(shù)這個不變量，再求出一份有幾人，最后看有這樣的幾份。

（2）變條件

師：如果把條件改一改，你還能看出誰是不變量嗎？

出示題目：學(xué)校田徑隊訓(xùn)練人員占休息人員的[15]，后來有1名休息人員加入訓(xùn)練，這樣訓(xùn)練人員人數(shù)就占休息人員的[14]。田徑隊一共有多少人？

生6：因為訓(xùn)練人員發(fā)生了變化，休息人員也跟著變化，而田徑隊總?cè)藬?shù)沒有發(fā)生變化，也就是本題的不變量是總數(shù)。

師：把條件再改一下，看看不變量是什么？學(xué)校田徑隊女生人數(shù)是男生的[13]，各離隊6人，這時女生人數(shù)是男生的[14]。田徑隊原有男、女生各多少人？

生7：因為各離隊6人，男生人數(shù)發(fā)生了變化，女生人數(shù)也發(fā)生了變化，總?cè)藬?shù)也隨之變化，但男女人數(shù)的差沒有發(fā)生變化，也就是本題的不變量是男生和女生人數(shù)的相差數(shù)。

題目千變?nèi)f化，會做一道題，并不代表掌握了。通過“三變”條件，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟“變中抓不變”思想：求變是為了更好地建構(gòu)，在變化中迅速捕捉不變量，不變量可以是“和不變”“差不變”“部分量不變”等。

（3）變內(nèi)容

出示題目：有一杯200克的鹽水，鹽的質(zhì)量占鹽水的20%，加了一些水后，鹽的質(zhì)量占鹽水的12.5%，求加了多少克的水。

生8：加了一些水后，水的質(zhì)量變化了，隨之鹽水的質(zhì)量也變化了，但鹽的質(zhì)量是不變的。

師：剛才是加水使?jié)舛冉档?，如果是通過蒸發(fā)使水減少呢？

出示題目：賓賓在科學(xué)課上配制了含鹽16%的鹽水200克。結(jié)果發(fā)現(xiàn)鹽水的濃度低了，需要用酒精加熱，使水蒸發(fā)。如果要使鹽水的含鹽率提高到20%，需要蒸發(fā)掉多少克水？

生9：蒸發(fā)了一些水后，水的質(zhì)量變化了，隨之鹽水的質(zhì)量也變化了，但鹽的質(zhì)量是不變的。

生10：在鹽不變的情況下，不管是添加水還是蒸發(fā)水，都會引起濃度變化，要解決問題，還要在變化中緊扣不變量，抓不變量是解題關(guān)鍵。

師：同一種零件，張師傅做了20個，經(jīng)檢驗，合格率為80%。為使合格率提高到95%，張師傅應(yīng)連續(xù)生產(chǎn)多少個合格產(chǎn)品？這題的變量和不變量又是什么呢？

生11：合格率由80%提高至95%，合格的產(chǎn)品數(shù)量發(fā)生變化，零件總數(shù)也發(fā)生變化，但不合格的產(chǎn)品數(shù)量不變。抓住不合格產(chǎn)品數(shù)量是解題關(guān)鍵。

通過變問題、變條件、變內(nèi)容，讓學(xué)生深入分析問題實質(zhì)，精準把握解題關(guān)鍵。學(xué)生通過舉一反三，感悟更加深刻，解題思路更加清晰，認知結(jié)構(gòu)也更加完善，在變化中抓不變量這一數(shù)學(xué)思想方法已在心中生根。

綜上所述，解決較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題時，要讓學(xué)生根據(jù)題中的已知條件分析數(shù)量關(guān)系，以不變量作為突破口，以達到事半功倍的效果。“變中抓不變”的數(shù)學(xué)思想方法不僅可以拓寬學(xué)生的解題思路，還可以在解題過程中加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解、建立知識之間的聯(lián)系、提高解決實際問題的能力。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 張明霞，林俊.在變化與關(guān)聯(lián)中整體建構(gòu)：“周長變、變、變”拓展課教學(xué)片段與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（20）：50-51，62.

[3] 柳軍民.巧抓不變量解分數(shù)應(yīng)用題：稍復(fù)雜分數(shù)應(yīng)用題解題方法初探[J].新課程（下），2017（11）：101.

（責(zé)編 梁桂廣）