定時截尾樣本下廣義逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計

劉華，習(xí)長新

（荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000）

0 引言

廣義逆指數(shù)分布是Abouammoh和Alshingiti于2009年將廣義指數(shù)分布和逆指數(shù)分布結(jié)合后提出的一種新的分布[1]，它是逆指數(shù)分布的推廣，在工程和技術(shù)科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用；且Krishna和Kumar（2013）[2]已經(jīng)通過實例證明在多數(shù)情況下廣義逆指數(shù)分布比指數(shù)分布、逆指數(shù)分布、Weibull分布、伽瑪分布有更好的適用性。近幾年國內(nèi)外很多學(xué)者開始研究這個分布的統(tǒng)計性質(zhì)，文獻(xiàn)[3]在逐步Ⅱ型截尾樣本下證明了廣義逆指數(shù)分布形狀參數(shù)的最大似然估計的存在性和唯一性；文獻(xiàn)[4]基于首次失效逐次截尾樣本研究了廣義逆指數(shù)分布參數(shù)的點(diǎn)估計和區(qū)間估計；文獻(xiàn)[5]在恒定應(yīng)力加速壽命試驗中首先研究了廣義逆指數(shù)分布參數(shù)的極大似然估計，然后利用最小二乘法、加權(quán)最小二乘法、百分位估計法等九種方法研究了參數(shù)的估計，最后通過數(shù)值模擬進(jìn)行比較；文獻(xiàn)[6]在一般逐步Ⅱ型刪失樣本下研究了廣義逆指數(shù)分布參數(shù)的極大似然估計和Bayes估計；文獻(xiàn)[7]研究了URV和URRSS下廣義逆指數(shù)分布在平方損失和Linex損失下參數(shù)的Bayes估計;文獻(xiàn)[8]在Ⅱ型截尾樣本下研究了廣義逆指數(shù)分布形狀參數(shù)的最大似然估計和E-Bayes估計；文獻(xiàn)[9]在Ⅱ型混合截尾樣本下研究了廣義逆指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計并構(gòu)造了參數(shù)的漸近置信區(qū)間，運(yùn)用Lindley，s逼近方法和Tierney Kadane逼近方法得出了參數(shù)的Bayes估計。以上文獻(xiàn)獲取試驗數(shù)據(jù)采用了定數(shù)截尾方法，定時截尾試驗也是一種常見的獲取數(shù)據(jù)的方式，目前只有文獻(xiàn)[10]研究了廣義逆指數(shù)分布在定時截尾下的參數(shù)估計問題，其主要研究在雙邊定時截尾樣本下廣義逆指數(shù)分布形狀參數(shù)的最大似然估計和EM估計，通過數(shù)值模擬得到EM估計效果相對較好。在定時截尾樣本下，有許多學(xué)者[11—17]研究了其他分布的參數(shù)估計問題，但是在定時截尾樣本下廣義逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計暫時沒有學(xué)者研究。本文擬在定時截尾樣本下給出廣義逆指數(shù)分布的形狀參數(shù)、可靠度、危險率的極大似然估計和Bayes估計，并通過數(shù)值模擬比較估計效果。

廣義逆指數(shù)分布的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為：

若用t表示產(chǎn)品的壽命，則可靠度函數(shù)和危險率函數(shù)分別為：

其中，式（1）和式（2）的參數(shù)α（>0）和β（>0）分別稱為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，當(dāng)α=1時，為逆指數(shù)分布。

本文假設(shè)產(chǎn)品壽命服從廣義逆指數(shù)分布，假定分布中尺度參數(shù)β已知，基于定時截尾樣本對形狀參數(shù)、可靠度和危險率進(jìn)行統(tǒng)計分析。

1 形狀參數(shù)的極大似然估計

假設(shè)現(xiàn)有一批壽命服從廣義逆指數(shù)分布的產(chǎn)品，從中隨機(jī)抽取n個產(chǎn)品進(jìn)行試驗，對應(yīng)失效時刻分別為X1,X2,…,Xn，在時刻0開始進(jìn)行跟蹤觀察，進(jìn)行到預(yù)先設(shè)定的時間T（T>0）時結(jié)束試驗，其余沒有失效的產(chǎn)品全部撤離試驗，并假定到時刻T時至少有一個產(chǎn)品失效，此為定時截尾試驗。廣義逆指數(shù)分布在定時截尾試驗下得到的樣本觀察值記為：

定時截尾樣本的聯(lián)合似然函數(shù)為：

其中，C（>0）為常數(shù),與α無關(guān)。對式（3）取對數(shù)后求α的偏導(dǎo)數(shù)，并令=0，得：

計算得α的極大似然估計為：

根據(jù)極大似然估計的不變性，可靠度R(t)和危險率H(t)的極大似然估計分別為：

2 形狀參數(shù)的Bayes估計

2.1 熵?fù)p失函數(shù)下形狀參數(shù)的Bayes估計

定義1[18]：設(shè)隨機(jī)變量X服從概率密度函數(shù)為f(x,α)的分布，其中α為參數(shù)，如果δ是α判別空間中的一個估計，則熵?fù)p失函數(shù)為似然比對數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：

根據(jù)定義1，廣義逆指數(shù)分布的熵?fù)p失函數(shù)為：

經(jīng)化簡得：

令M=1-，對式（6）計算關(guān)于α的后驗期望，得：

欲使式（7）達(dá)到最小，只需要對式（7）計算關(guān)于δ(Y)的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得：

本文選取α的共軛先驗分布為指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為π(α)=λe-λα（其中λ>0為超參數(shù)）。由Bayes公式可得α的后驗概率密度函數(shù)為：

故：

定理1：在定時截尾樣本下，損失函數(shù)為熵?fù)p失函數(shù)，當(dāng)取α的先驗分布為指數(shù)分布時，廣義逆指數(shù)分布參數(shù)α的Bayes估計為：

且該估計是唯一的。

證明：

再由式（9）得到熵?fù)p失函數(shù)下α的Bayes估計為：

由熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)α的Bayes估計的推導(dǎo)過程可知，此估計具有唯一性。

2.2 平方損失函數(shù)下形狀參數(shù)的Bayes估計

定理2：在定時截尾樣本下，當(dāng)損失函數(shù)為平方損失時，取α的先驗分布為指數(shù)分布，則廣義逆指數(shù)分布參數(shù)α的Bayes估計為。

證明:因為在平方損失函數(shù)下，α的Bayes估計為其后驗分布的均值，即=E(α|Y)，而，所以有：

2.3 Linex損失函數(shù)下形狀參數(shù)的Bayes估計

定理3：在定時截尾樣本下，若損失函數(shù)為Linex損失L(α,δ)=ec(δ-α)-c(δ-α)-1，其中c≠0，取α的先驗分布為指數(shù)分布，則廣義逆指數(shù)分布參數(shù)α的Bayes估計為：

證明:由文獻(xiàn)[19]知在Linex損失下參數(shù)α的Bayes估計為，且此估計是唯一的。而E(e-cα|Y)，從而在Linex損失下參數(shù)α的Bayes估計為：

在Linex損失函數(shù)定義中，可以看出，當(dāng)c>0時，低估造成的損失小于高估；當(dāng)c<0時，結(jié)論相反。因此在后文的數(shù)值模擬中主要討論c>0的情況。

從式（11）至式（13）可以看出，參數(shù)α的Bayes估計中都含有超參數(shù)λ，故λ也需要進(jìn)行估計，下面用極大似然估計法研究超參數(shù)λ的估計。

2.4 超參數(shù)λ的估計

廣義逆指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為式（1），α的先驗分布為π(α)=λe-λα，則其經(jīng)驗概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為：

以f(yi)、F(T)分別代替式（3）中的f(yi,α)、F(T,α)，則似然函數(shù)式（3）變?yōu)椋?/p>

對上式取對數(shù)后求λ的偏導(dǎo)數(shù)，并令=0，得：

上式變形為：

式（14）關(guān)于λ無顯式解，但可以證明此方程的解存在且唯一。

所以g2(λ)在(0,+∞)上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的凹函數(shù)。

記式（15）符合預(yù)定義精度要求的迭代值為λ?，將λ?代入式（11）至式（13）就可求出α的Bayes估計。

2.5 Bayes估計的容許性

引理2[20]：對于給定的Bayes決策問題，若對給定的先驗分布π(α)，α的Bayes估計δ(X)是唯一的，則δ(X)是容許的。

定理4：對于廣義逆指數(shù)分布，在定時截尾樣本下，取α的先驗分布為指數(shù)分布，在熵?fù)p失、平方損失、Linex損失函數(shù)下，α的Bayes估計都是容許的。

證明：由前面證明的定理可知，在熵?fù)p失、平方損失、Linex損失函數(shù)下，參數(shù)α的Bayes估計都是唯一的。再根據(jù)引理2可知，α的Bayes估計都是容許的。

3 可靠度和危險率的Bayes估計

定理5：在定時截尾樣本下，當(dāng)β已知時，若α的先驗分布為π(α)=λe-λα，則有下列結(jié)論：

（1）在熵?fù)p失函數(shù)下，可靠度函數(shù)R(t)的Bayes估計為：

（2）在平方損失函數(shù)下,可靠度函數(shù)R(t)的Bayes估計為：

（3）在Linex損失函數(shù)下，可靠度函數(shù)R(t)的Bayes估計為：

證明（1）：

從而在熵?fù)p失函數(shù)下，可靠度函數(shù)R(y)的Bayes估計為：

令y=t就得到了t時刻的可靠度R(t)在熵?fù)p失函數(shù)下的Bayes估計為式（16）。

證明（2）：在平方損失函數(shù)下，可靠度函數(shù)R(y)的Bayes估計為：

令y=t就得到了t時刻的可靠度函數(shù)R(t)在平方損失函數(shù)下的Bayes估計為式（17）。

證明（3）：

從而在Linex損失函數(shù)下，可靠度函數(shù)R(y)的Bayes估計為：

令y=t就得到了t時刻的可靠度函數(shù)R(t)在Linex損失函數(shù)下的估計為式（18）。

定理6：在定時截尾樣本下，當(dāng)β已知時，若α的先驗分布為π(α)=λe-λα，則有下列結(jié)論：

（1）在熵?fù)p失函數(shù)下，危險率H(t)的Bayes估計為：

（2）在平方損失函數(shù)下，可靠度函數(shù)H(t)的Bayes估計為：

（3）在Linex損失函數(shù)下，可靠度函數(shù)H(t)的Bayes估計為：

證明（1）：

從而在熵?fù)p失函數(shù)下，危險率函數(shù)H(y)的Bayes估計為：

令y=t就得到了t時刻的危險率函數(shù)H(t)在熵?fù)p失函數(shù)下的Bayes估計為式（19）。

證明（2）：在平方損失下，危險率函數(shù)H(y)的Bayes估計為：

令y=t就得到了t時刻的危險率函數(shù)H(t)在平方損失函數(shù)下的Bayes估計為式（20）。

證明（3）：

從而在Linex損失函數(shù)下，危險率函數(shù)H(y)的Bayes估計為：

令y=t就得到了t時刻的危險率函數(shù)H(t)在Linex損失函數(shù)下的Bayes估計為式（21）。

4 數(shù)值模擬

本文利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，以討論形狀參數(shù)的極大似然估計和Bayes估計的效果。對樣本容量n、截尾時刻T取不同的值，利用估計均值（MEAN）和均方誤差（MSE）來評價參數(shù)的估計效果。具體的模擬步驟如下：

步驟1：給定n、T及參數(shù)α=3、β=2。

步驟2：生成n個均勻分布隨機(jī)數(shù)ui～U(0,1)，由（i=1,2,…,n）生成服從廣義逆指數(shù)分布的樣本x1,x2,…,xn；令2,…,n），生成定時截尾樣本序列和。

步驟3：給定λ的初始估計λ0，按照式（15）進(jìn)行迭代計算超參數(shù)λ的估計值，精度取c=10-5。

步驟4：分別按照式（4）、式（11）至式（13）計算α的極大似然估計?M、熵?fù)p失函數(shù)下的Bayes估計?BE、平方損失函數(shù)下的Bayes估計?BS、Linex損失函數(shù)下的Bayes估計α?BL。其中，在Linex損失函數(shù)定義中，當(dāng)c>0時，低估造成的損失小于高估，因此模擬過程中令c=0.8。

步驟5：重復(fù)執(zhí)行步驟2至步驟4共1000次，將得到的α的各種估計值的平均值作為α的最終估計值，并計算均方誤差，其中均方誤差計算公式為。

步驟6：在不同的n和T下，重復(fù)上述過程。

模擬結(jié)果見表1。模擬結(jié)果表明，在相同條件下，平方損失函數(shù)下形狀參數(shù)α的估計要劣于其他估計。其中，當(dāng)樣本容量小于等于50時，熵?fù)p失函數(shù)和Linex損失函數(shù)下參數(shù)α的估計精度較高；當(dāng)樣本容量大于50時，各種估計相差不大，都體現(xiàn)了大樣本的性質(zhì)。隨著樣本量的增加，α的各種估計均值與真值的偏差及均方誤差逐漸減小，說明估計精度在提高。

表1 定時截尾樣本下廣義逆指數(shù)分布形狀參數(shù)α的估計試驗結(jié)果

產(chǎn)品的可靠度和危險率估計是可靠性理論研究的重要問題之一。類似以上模擬過程，根據(jù)式（5）和式（16）至式（21）給出廣義逆指數(shù)分布產(chǎn)品的可靠度和危險率的各種估計，表2和下頁表3分別給出了在不同時刻t可靠度和危險率的極大似然估計和不同損失函數(shù)下Bayes估計的均值和均方誤差。從可靠度估計的數(shù)值模擬結(jié)果中可以看出,在相同條件下,可靠度的Bayes估計整體優(yōu)于最大似然估計,在Bayes估計中Linex損失函數(shù)下可靠度的估計的效果最好，特別是在小樣本場合Bayes估計的優(yōu)勢更加明顯。隨著定時截尾時刻T的增加，所有估計的均方誤差均在減小。隨著樣本容量的增加，所有估計的均方誤差均逐漸減小，說明估計精度提高了。從危險率估計的數(shù)值模擬結(jié)果中可以看出，在相同條件下，Linex損失函數(shù)下危險率的估計效果較好；隨著定時截尾時刻T的增加，所有估計的精度均在提高；隨著樣本容量的增加，所有估計的精度也均在提高。

表2 定時截尾樣本下廣義逆指數(shù)分布可靠度R(t)的估計試驗結(jié)果

表3 定時截尾樣本下廣義逆指數(shù)分布危險率H(t)的估計試驗結(jié)果

5 結(jié)論

本文在定時截尾樣本下，得到了廣義逆指數(shù)分布的形狀參數(shù)、可靠度和危險率的最大似然估計和Bayes估計。利用蒙特卡洛方法給出數(shù)值模擬，比較了最大似然估計和Bayes估計。其中，形狀參數(shù)在熵?fù)p失和Linex損失函數(shù)下的估計精度較高；可靠度的Bayes估計整體優(yōu)于最大似然估計；危險率在Linex損失函數(shù)下的估計效果較好。整體來說，所有估計的精度均隨著截尾時間T的增大而提高；同時，隨著樣本容量的增加，所有估計量的精度也均在逐漸提高。