例析平移坐標(biāo)系法求解函數(shù)問題

樓思遠(yuǎn)

文［1］研究了平移坐標(biāo)系法在圓錐曲線中的應(yīng)用，實際上，平移坐標(biāo)系法對處理部分函數(shù)問題也有立竿見影的效果.我們知道，在平面內(nèi)對直角坐標(biāo)系任意進(jìn)行平移后，函數(shù)圖象的形狀、直線的斜率、線段的長度，多邊形的面積等均保持不變，特別的，只對直角坐標(biāo)系左右平移時，函數(shù)的零點個數(shù)也保持不變，我們把這些不變的量統(tǒng)稱為“運動不變量”，基于這些不變量以及函數(shù)本身的性質(zhì)，通過適當(dāng)?shù)钠揭谱鴺?biāo)系來對解題思路作出調(diào)整，可起到化繁為簡的效果，并揭示出問題的本質(zhì).

一、實例分析

例1 若對任意的a，b∈R，不等式x2+ax+b≤1在區(qū)間［m，n］上恒成立，則n－m的最大值為.

分析：原函數(shù)含有兩個參數(shù)，比較復(fù)雜，現(xiàn)將直角坐標(biāo)系平移使得原點O與二次函數(shù)y=x2+ax+b的頂點重合，則二次函數(shù)解析式變?yōu)閥=x2，如圖1所示，注意到平移過程中函數(shù)的形狀保持不變，因此可以將原問題轉(zhuǎn)化為在圖1的基礎(chǔ)上求解.

二．幾點思考

對上述幾個問題而言，直接求解將十分繁瑣，作為對照，通過平移坐標(biāo)系這一操作，可以直指問題的本質(zhì)，以簡馭繁快速解答.這其中，結(jié)合題意進(jìn)行觀察與嘗試，發(fā)現(xiàn)并抽象出“運動不變量”是解題思路（平移直角坐標(biāo)系）的關(guān)鍵，因此，數(shù)學(xué)抽象能力是根本所在.文［2］指出：“數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成內(nèi)容，在新的教學(xué)改革中，數(shù)學(xué)抽象位于核心素養(yǎng)首位，意在通過對學(xué)生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生利用推理、運算、建模等數(shù)學(xué)活動方式揭示世界中蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律”.在平時的教學(xué)過程中，教師應(yīng)重視學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)，及時調(diào)整教學(xué)手段和教學(xué)方法，從情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)等維度開展數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的教學(xué)，另外，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀想象與數(shù)據(jù)分析等思維方式，從相似問題中抽象出一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律與解題技巧.

本文僅就平面直角坐標(biāo)系的平移展開了討論.實際上，從橫向角度而言，對空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行平移，可以簡化立體幾何問題的坐標(biāo)運算；從縱向角度而言，除了平移外，對直角坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)與伸縮等變換，可以解決其各種類型的問題，例如通過旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系可以將等軸雙曲線轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的圖象，從而簡化運算過程，等等，此類問題待讀者進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)

［1］.吳佐慧.平移坐標(biāo)系法在圓錐曲線問題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2018（8）.

［2］.劉 薇.數(shù)學(xué)核心，抽象為基——高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2021（12）.