例探圓錐曲線問題中的易錯(cuò)點(diǎn)

孫微微

圓錐曲線是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容，主要重點(diǎn)考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.本文就針對(duì)圓錐曲線中的幾類易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行舉例分析.

易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程要焦點(diǎn)位置的討論

例1 已知雙曲線mx2+ny2=1的漸近線方程為y=±3x，則該雙曲線的離心率為（）.

A．2或23/3 B．6或23/3

C．2或3 D．2或6

解析：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸時(shí)，b/a=3，所以e=c/a=c2/a2=a2+b2/a2=1+b2/a2=2.

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸時(shí)，a/b=3，所以e=c/a=1+b2/a2=23/3.故選A.

易錯(cuò)警示：雙曲線方程因焦點(diǎn)位置不同導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的漸近線方程也不一樣，因此要討論焦點(diǎn)的位置.

知識(shí)點(diǎn)撥：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），對(duì)應(yīng)的漸近線方程為y=±b/ax；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2/a2－x2/b2=1（a>0，b>0），對(duì)應(yīng)的漸近線方程為y=±a/bx.

易錯(cuò)點(diǎn)2：忽視橢圓中a、b、c的大小關(guān)系

例2 已知直線y=kx+2與橢圓x2/9+y2/m=1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）.

A．m≥4B．0

C．4≤m<9D．m≥4且m≠9

解析：因?yàn)橹本€y=kx+2恒過（0，2）點(diǎn)，要使直線y=kx+2與橢圓x2/9+y2/m=1恒有公共點(diǎn)，只需點(diǎn)（0，2）在橢圓上或橢圓內(nèi)，所以02/9+22/m≤1，即m≥4.又m≠9，所以m≥4且m≠9.故選D.

易錯(cuò)警示：本題容易錯(cuò)選A，方程x2/a2+y2/b2=1中a=b表示圓，不是橢圓.

知識(shí)點(diǎn)撥：方程x2/a2+y2/b2=1中，若a>b>0，則表示橢圓；若a=b，則表示圓.

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視檢驗(yàn)結(jié)論

例3 已知Rt△ABC的斜邊為AB，點(diǎn)A（－2，0），B（4，0），則點(diǎn)C滿足的方程為．

解析：設(shè)C（x，y），由于直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為M（1，0），如圖1所示，則半徑為3，即得圓的方程為（x－1）2+y2=9.但是頂點(diǎn)C不能在直線AB上，因此y≠0.因此C點(diǎn)滿足的方程為（x－1）2+y2=9（y≠0）．

易錯(cuò)警示：忽視檢驗(yàn)結(jié)論致錯(cuò).點(diǎn)C是直角三角形的頂點(diǎn)，即C點(diǎn)不能在直線AB上，所以y≠0．

知識(shí)點(diǎn)撥：畫圖，通過數(shù)形結(jié)合找到解題方法及限制條件.

易錯(cuò)點(diǎn)4：忽視隱含條件.

例4 已知2x2+y2=6x，則x2+y2的取值范圍為．

解析：由已知得y2=6x－2x2，因y2=6x－2x2≥0，故0≤x≤3，故x2+y2=－x2+6x=－（x－3）2+9.當(dāng)x=0時(shí)，x2+y2有最小值為0；當(dāng)x=3時(shí)，x2+y2有最大值9，故x2+y2的取值范圍是［0，9］.

易錯(cuò)警示：題中條件包含兩個(gè)意思：一是y2=6x－2x2，即y2可以用x的代數(shù)式表示，二是y2=6x－2x2≥0，即0≤x≤3，這個(gè)條件往往被忽略，產(chǎn)生錯(cuò)解.

知識(shí)點(diǎn)撥：利用函數(shù)與方程的思想是解決本題的突破口.

易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視Δ>0這一前提條件

例5 已知橢圓x2/4+y2=1，過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍.

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+2（k≠0），設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1），把直線l的方程代入橢圓方程得（4k2+1）x2+16kx+12=0，△=16（4k2－3）>0，得k<－3/2或k>3/2.x1+x2=－16k/4k2+1，x1x2=12/4k2+1，因?yàn)椤螦OB為銳角，所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=4（4－k2）/1+4k2>0，解得－2

綜上，k的取值范圍為（－2，－3/2）∪（3/2，2）.

易錯(cuò)警示：在解決直線與圓錐曲線相交且有交點(diǎn)時(shí)，需考慮一元二次方程根的判別式大于0，否則容易出錯(cuò).

知識(shí)點(diǎn)撥：運(yùn)用“一元二次方程根的判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有交點(diǎn)的重要方法.