基于“三新”背景，掌握兩種方法

宋秀云

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，高中數(shù)學(xué)新教材對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)課程將《立體幾何》內(nèi)容分成兩部分：必修第二冊(cè)第八章《立體幾何初步》和選擇性必修第一冊(cè)第一章《空間向量與立體幾何》．第一部分內(nèi)容，要求學(xué)生在掌握立體幾何的基本概念和基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、幾何直觀能力和空間想象能力等；第二部分內(nèi)容則引入空間向量的概念，提供了解決幾何問題的新思路和新方法，拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)視野，也有助于學(xué)生更深入的理解幾何知識(shí)．

1．實(shí)例分析

基于“三新”（新教材、新課程、新高考）背景，結(jié)合幾何學(xué)的數(shù)學(xué)史發(fā)展過程，以及立體幾何的教學(xué)要求，在解決立體幾何問題時(shí)主要借助兩種常規(guī)方法來解決問題：綜合法和向量法．下面結(jié)合最新模擬卷中的數(shù)學(xué)試題加以分析與應(yīng)用，進(jìn)一步對(duì)比綜合法和向量法這兩種方法在解決空間立體幾何問題中的聯(lián)系與差異．

例1 （2023屆八省八校高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題20）如圖1，菱形ABCD中，∠ABC=120°，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上（不含端

點(diǎn)），且EF=λDB（0<λ<1），沿EF將△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如圖2所示．

（1）當(dāng)λ為何值時(shí)，BF⊥PD；

（2）若直線PC與平面BCDEF所成角的正切值為1/3，求平面PEF和平面PBD夾角的大?。?/p>

此題以圖形折疊問題來創(chuàng)設(shè)問題情境，第（1）小題以參數(shù)λ的求值來設(shè)置，探究線線垂直關(guān)系問題．這里既含有參數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，也含有空間元素位置關(guān)系的邏輯推理，兩者合理交匯與融合，借助平面圖形的折疊，形成疊加效應(yīng)，從平面幾何到立體幾何，又從立體幾何到平面幾何，合理升降維度，巧妙數(shù)學(xué)思維；

第（2）小題以線面角的確定來設(shè)置，求解面面角的大小問題．這里以空間角中兩個(gè)最典型的線面角與面面角為條件與結(jié)論，合理創(chuàng)設(shè)條件來求解對(duì)應(yīng)的結(jié)論，形成不同空間元素之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建一個(gè)更加完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系．

在實(shí)際處理以上兩個(gè)問題時(shí)，都可以借助綜合法來邏輯推理，也可以借助向量法來數(shù)學(xué)運(yùn)算，都可以從不同視角與層面加以分析與解決，達(dá)到解決問題的目的，真正有效考查考生的知識(shí)與能力．

2．試題解析

4．方法總結(jié)

在立體幾何中，判斷或處理空間元素的位置關(guān)系以及求解空間角或空間距離等問題時(shí)，綜合法和向量法是兩種最常用的分析方法．對(duì)比以上兩種解決方法以及對(duì)應(yīng)的解題思路，各有千秋，各有特點(diǎn)．

4．1 綜合法

綜合法解決問題的依據(jù)是相關(guān)概念和定理，正確的認(rèn)識(shí)概念和定理的本質(zhì)是解決問題的基礎(chǔ)．在具體幾何圖形中，位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化，都需要學(xué)生經(jīng)歷不同層次的探索與認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷觀察、想象、操作、推理等過程，對(duì)學(xué)生理解圖形本質(zhì)的特征是有實(shí)質(zhì)性幫助．在使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)方面，要精準(zhǔn)，簡(jiǎn)明，有層次，有條理的表達(dá)出來；熟練的掌握自然語言、圖象語言和符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ@也是重視幾何教學(xué)的一個(gè)重要原因．

同時(shí)，綜合法證明幾何元素間的位置關(guān)系主要是通過判定定理和性質(zhì)定理來處理；計(jì)算角度和距離是依據(jù)作、證、求的三個(gè)過程，即，作出所要求的距離和角的輔助線，接著說明所得到的確實(shí)是按照定義或概念的距離和角，最后使用正弦定理、余弦定理等平面幾何知識(shí)來計(jì)算得到所要求問題的解．解決這類問題的技巧性較大，綜合性較強(qiáng)．不僅要求學(xué)生要有合情合理的邏輯推理能力，而且還需要一定的空間想象能力．

4．2 向量法

向量法在立體幾何中的運(yùn)用是通過給出直線的方向向量和平面的法向量來表示空間中對(duì)應(yīng)直線和平面的位置關(guān)系，一般的解題思路是按照下面三個(gè)步驟來完成：第1步建立圖形和向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題所涉及的點(diǎn)、直線和平面，進(jìn)而把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第2步向量運(yùn)算，通過向量的運(yùn)算性質(zhì)來研究幾何問題所涉及到的位置關(guān)系和計(jì)算問題；第3步翻譯，把向量運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)譯為相應(yīng)的幾何意義．

運(yùn)用向量法解決這類問題是把空間幾何元素之間的各種關(guān)系“隱藏”到向量的運(yùn)算當(dāng)中去了．這種解題方式關(guān)鍵是要求學(xué)生掌握向量這一概念體系，包括平面和空間向量概念定義，運(yùn)算性質(zhì)，基本定理，向量的平行、垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等，以“數(shù)”研“形”，讓學(xué)生體會(huì)到空間向量解決立體幾何問題的工具性作用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法．

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進(jìn)一步落實(shí)“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求，高考立體幾何知識(shí)模塊的命題特色更加創(chuàng)新，更加開放，更加重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握，更加重視數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與應(yīng)用．以立體幾何為場(chǎng)景，新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出更多、更高的要求，教學(xué)中我們需要結(jié)合必修與選擇性必修兩部分內(nèi)容，注重單元教學(xué)設(shè)計(jì)的課時(shí)表達(dá)，通過綜合法與向量法單獨(dú)教學(xué)與對(duì)比教學(xué)，更好體現(xiàn)立體幾何教學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思維的系統(tǒng)性、思想的一致性、方法的普適性，不斷全方位、多層次地發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為所有學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展與終身學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

本文是江蘇省教研室第十四期立項(xiàng)課題：基于素養(yǎng)本位的高中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究（課題號(hào)：2021JK14-L263）階段性研究成果.