巧設(shè)數(shù)學(xué)變式　凸顯思維進(jìn)階

吳湘蕓

高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).精心設(shè)計(jì)例題及變式，由表及里、由淺入深、由易到難，循序漸進(jìn).例題與習(xí)題是教材的重要組成部分，要準(zhǔn)確把握習(xí)題的容量、難度.提供具有不同層次要求的習(xí)題，關(guān)注知識(shí)的發(fā)生過程，展示學(xué)生的思維過程，溝通知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)遷移，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，幫助學(xué)生掌握知識(shí)，提高課堂效率，鍛煉學(xué)生思維.

一、變換條件，培養(yǎng)思維靈活性

題目看似不同，實(shí)則本質(zhì)相同.把握知識(shí)類型，分析水平層次.可以更改條件的不同表述，轉(zhuǎn)換問題呈現(xiàn)形式，也可變換條件與結(jié)論，尋求不同之處.啟發(fā)學(xué)生比較異同點(diǎn)，復(fù)習(xí)各類知識(shí)點(diǎn)，挖掘深層含義，抓住問題實(shí)質(zhì)，掌握每種題型的相關(guān)解法.

例1 （1）若關(guān)于x的不等式4x2+ax+4>0的解集是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）對任意的實(shí)數(shù)x，若不等式4x2+ax+4≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)y=4x2+ax+4的圖像都在x軸的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（4）若關(guān)于x的不等式ax2+4x+4>0的解集是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)說明：二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題，也是二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次不等式恒成立的問題.如果二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，不要忘記對參數(shù)進(jìn)行分類討論.解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用.強(qiáng)化條件中字母的適用范圍，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生分析異同點(diǎn)，能夠及時(shí)抓住問題的本質(zhì)，培養(yǎng)思維的靈活性.

例2 （1）對x∈R，若關(guān)于x的不等式mx2－mx+m－6<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（2）對m∈－2，2，不等式mx2－mx+m－6<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

設(shè)計(jì)說明：第一問根據(jù)m=0與m≠0兩種情況分類討論，結(jié)合兩次函數(shù)圖象及性質(zhì)求解；第二問將y=mx2－mx+m－6看成以m為自變量的函數(shù)，研究新函數(shù)在給定區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值符號(hào)即可.本題在解決不等式恒成立問題時(shí)滲透函數(shù)思想，根據(jù)變量合理構(gòu)造函數(shù).不等式中變換主元，函數(shù)發(fā)生改變，既呼應(yīng)例1中的恒成立問題，又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

二、設(shè)置階梯，培養(yǎng)思維深刻性

變換問題的思考角度，由淺入深、由易到難，層層鋪墊，在條件的難度進(jìn)階中總結(jié)題型方法以及分析思路，幫助學(xué)生，感悟數(shù)學(xué)思想，積累思維經(jīng)驗(yàn)，逐步提高解題能力.

例3 （1）求函數(shù)f（x）=x2+2x+2的最小值.

（2）求函數(shù)f（x）=x2+2x+2（x>－2）最小值.

（3）求函數(shù)f（x）=x2+2x+2（x≥a）的最值.

（4）若函數(shù)f（x）=x2－2ax+2在－1，1上的最小值為－1，求實(shí)數(shù)a的值.

設(shè)計(jì)說明：第一、二小問中將二次函數(shù)配方畫圖，屬于基礎(chǔ)題，學(xué)生求解并不困難.第三問由定量改為變量，需要分類討論，考查定軸動(dòng)區(qū)間，難度進(jìn)階.第四問已知最值，求參數(shù)范圍，考查動(dòng)軸定區(qū)間.問題不斷轉(zhuǎn)換，從初中的二次函數(shù)求最值進(jìn)階為高中角度的分類求參數(shù)，讓學(xué)生自己真正理解為何分類、如何分類.例題涵蓋高中二次函數(shù)求最值的各類解法，通過層層設(shè)計(jì)讓學(xué)生注意到解題方法上的差異.

三、由點(diǎn)及面，培養(yǎng)思維發(fā)散性

一題多變，由一道題目復(fù)習(xí)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，尋找解題規(guī)律，將知識(shí)融會(huì)貫通.引導(dǎo)學(xué)生思維由淺顯引向縱深，獲得更高層次的認(rèn)識(shí).在變式的層層轉(zhuǎn)化下發(fā)現(xiàn)知識(shí)的共同性，解決一類問題從而解決多種問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

例4如圖1所示，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)，Q是PA的中點(diǎn)，G為ΔAOC的重心，AB是圓O的直徑，且AB=2AC=2.

（1）求證：QG∥平面PBC；

（2）求點(diǎn)G到平面PAC的距離．

變式1 求點(diǎn)A到平面PAC的距離．

變式2 求點(diǎn)G到平面PBC的距離.

變式3 取AC中點(diǎn)M，求MQ到平面PAC的距離.

變式4 求平面MQO到平面PAC的距離.

設(shè)計(jì)說明：本題考查線面平行的判定、平面與平面平行的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算.第一問由線線平行推出線面平行.變式1利用“G為ΔAOC的重心”這一條件，發(fā)現(xiàn)距離的關(guān)系轉(zhuǎn)變，是第二小問的深化，可以直接作出距離，也可用等積法進(jìn)行轉(zhuǎn)換.變式2就可用等體積法求解距離.變式3利用MQ∥平面PAC，發(fā)現(xiàn)線面之間的距離其實(shí)就是點(diǎn)到面的距離.同樣，變式4中，若能發(fā)現(xiàn)平面MQO∥平面PAC，那么就能將面面之間的距離也轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面之間的距離了.通過不斷分解，持續(xù)探究，逐步遞進(jìn)就再追溯本源，最后引導(dǎo)思維從發(fā)散走向收斂，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，對復(fù)習(xí)的知識(shí)有全面而深刻的認(rèn)識(shí).

四、判別對錯(cuò)，培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性

古人云：“疑為思之始，學(xué)之端.”在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，找出解法中的錯(cuò)誤，并剖析原因，改錯(cuò)后給出正解，通過判斷對錯(cuò)找出缺失，糾正錯(cuò)誤思維，養(yǎng)成科學(xué)思考習(xí)慣的同時(shí)，讓學(xué)生在辨析中加深對知識(shí)的理解，向數(shù)學(xué)思維的更深處漫溯.

例5有一道題“若函數(shù)f（x）=24ax2+4x－1在區(qū)間－1，1內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”.某同學(xué)給出了如下解答：由f（－1）f（1）=（24a－5）·（24a+3）<0，解得－1/8

設(shè)計(jì)說明：例5中考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍.當(dāng)零點(diǎn)不滿足所在區(qū)間左右端點(diǎn)值異號(hào)時(shí)，無法用零點(diǎn)存在性定理完成.方法一，首先要對字母a是否為0進(jìn)行討論，當(dāng)a不為0時(shí)，容易遺漏端點(diǎn)值同號(hào)的情況；方法二，將參量變量分離，x=0時(shí)單獨(dú)討論，x≠0時(shí)轉(zhuǎn)化為y=a與新函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn).

例6 已知=（cosx，sinx），=（3，－3），∥，x∈0，π，求x.

解：因?yàn)?（cosx，sinx），=（3，－3），∥，所以－3cosx=3sinx.所以x=5π/6.上述解答是否正確，若不正確，請說明理由，并給出正確解答.

設(shè)計(jì)說明：利用向量共線的條件列式，在求角之前先要求出三角函數(shù)值.法一可求出tanx的值，注意正切公式的應(yīng)用條件以及角的范圍，常有學(xué)生漏寫；法二利用配角公式得到sinx+π/6=0或cosx－π/3=0，同樣需要求出角的范圍.

五、自選條件，培養(yǎng)思維開闊性

特定設(shè)計(jì)的問題（非常規(guī)問題、開放性問題、結(jié)構(gòu)不良問題），問題的條件或目標(biāo)不確定，需要探究.要嘗試引導(dǎo)學(xué)生展示數(shù)學(xué)理解力，從不同角度思考條件之間的關(guān)系，體會(huì)各種方法的適用特點(diǎn).對結(jié)論的有效性進(jìn)行預(yù)估，滿足學(xué)生自主探索的欲望，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

例7 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，△ABC的面積為S.現(xiàn)有以下三個(gè)條件：①2c+bcosA+acosB=0；②sin2B+sin2C－sin2A+sinB.sinC=0；③a2－b2－c2=43/3S.請從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)填到下面問題中的橫線上，并求解.已知向量=4sinx，43，=cosx，sin2x，函數(shù)f（x）=·－23，在△ABC中，a=fπ/3，且，求2b+c的取值范圍.

設(shè)計(jì)說明：先用向量數(shù)量積公式得出f（x）=·－23=4sin2x－π/3.

條件①，選用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡得到角A的大??；也可利用射影定理bcosA+acosB=c，從而求出角A.

條件②，選用余弦定理得到角A的大??；

條件③，選用余弦定理及三角形面積公式化簡得到等式3sinA+cosA=0，可用配角公式或化為tanA=－3，得到角A的大小.此時(shí)可求得A=2/3π，則a=23.再利用正弦定理化簡2b+c，采用消元的方式，如，2b+c=43cosC或2b+c=43sinB+π/6，求出2b+c∈23，43.

本題的三個(gè)條件分別考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，穿插向量及三角函數(shù)求解取值范圍，但三個(gè)條件得到的結(jié)論相同，都是為了求出角A的大小.

六、自主編題，培養(yǎng)思維創(chuàng)造性

自主出題，打破常規(guī)，觸碰知識(shí)內(nèi)核，建構(gòu)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu).在編題過程中凸顯邏輯思維，體現(xiàn)創(chuàng)造性、敏捷性、多項(xiàng)性.題目千變?nèi)f化，要讓學(xué)生真正理解知識(shí)，才能運(yùn)用自如.平時(shí)可讓學(xué)生根據(jù)自己的能力水平自己設(shè)計(jì)不同類型、不同層次的練習(xí)，激活創(chuàng)新思維.

例8 設(shè)橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，|AF|=1，離心率為1/2.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BF⊥HF，且∠MOA≥∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍.

設(shè)計(jì)說明：本題第一問考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題.由a－c=1，e=c/a=1/2，求得a=2，c=1，b=3.所以橢圓的方程為x2/4+y2/3=1.

第二問考察橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系.由題意設(shè)出直線l的斜率為k（k≠0），則直線l的方程為y=k（x－2）.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得（4k2+3）x2－16k2x+16k2－12=0，Δ=256k4－4（4k2+3）（16k2－12）=144>0.利用根與系數(shù)的關(guān)系列式，解得x=2，x=8k2－6/4k2+3，則B8k2－6/4k2+3，－12k/4k2+3.因?yàn)镕（1，0），設(shè)H（0，y0），由BF⊥HF，得BF·HF=0，求得y0=9－4k2/12k.直線MH的方程為y=－1/kx+9－4k2/12k，與y=k（x－2）聯(lián)立，解得xM=20k2+9/12（k2+1）.由∠MOA≥∠MAO，得|MA|≥|MO|，得xM≤1，解得k∈［－6/4，6/4］.

本題涉及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角形中大角對大邊的運(yùn)用，體現(xiàn)了“整體運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合”的思想方法，考察運(yùn)算能力.

選擇題目時(shí)要關(guān)注情境和問題的創(chuàng)設(shè)，關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容主線之間的關(guān)聯(lián)以及六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間的協(xié)調(diào).設(shè)置題目時(shí)要對知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深度分析，對學(xué)生可能想到的問題充分預(yù)設(shè)，利用題目的改變促進(jìn)學(xué)生的深度參與，逐漸培育學(xué)生的高階思維，以促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)為價(jià)值旨?xì)w.

參考文獻(xiàn)

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