無中生有　有跡可循

何萍　蔡德清

古有女媧補天，今有幾何補線．自進(jìn)入平面幾何學(xué)習(xí)以來，常需面對輔助線解決幾何問題的情形．然而，如何構(gòu)造輔助線卻成為解決幾何問題的絆腳石，考生時常聞風(fēng)喪膽，遲遲怯于下筆．事實上，輔助線的構(gòu)造，建立在考生對幾何知識深刻理解、熟練掌握、靈活應(yīng)用的基礎(chǔ)上，并非毫無章法可言．

1 幾何常遇攔路虎，百思勤練苦嘗試

路徑最值問題是一類具有現(xiàn)實意義的幾何問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值．其中，“將軍飲馬”模型是路徑最短問題中最具代表性的典型題型之一，古今中外不乏數(shù)學(xué)大家深入研究，具有較高的研究價值．尋找最值的過程中，需要嘗試在所有可能的結(jié)果中覓得“最大”或“最小”值，而此時，對學(xué)生而言，卻是構(gòu)造輔助線題型中最高級別難度的問題，考查學(xué)生的幾何直觀感知能力，邏輯推理能力，抽象圖形能力，綜合分析、解決問題能力，滲透分類討論思想，極限思想等．

解決這類平面幾何問題的過程中，考生需不斷構(gòu)造輔助線，反復(fù)推敲，方能找到最值的路徑．如若非要套用模型，固化思維，那么將是山窮水盡，而若能靈活變通，則必定能夠柳暗花明．因此，理解幾何題目中條件里字里行間隱含的內(nèi)在本質(zhì)，抽象提取圖中的關(guān)鍵要素，動手操作，嘗試不同輔助線作法，結(jié)合邏輯推理能力，經(jīng)過反復(fù)有機訓(xùn)練，提煉總結(jié)歸納幾何題解題方法與技巧，則可游刃有余完成幾何證明、求解等難題．

2 似曾相識卻無解，透過題目析本質(zhì)

“將軍飲馬”模型作為大型測試的?？?，中考、質(zhì)檢等不乏其身影，筆者以此模型為例剖析輔助線的來龍去脈．涉及輔助線的幾何題考法較為靈活，但“將軍飲馬”模型的考查常常按部就班置于多姿多彩的幾何背景中，通過抽象出“一線+兩同側(cè)點”的幾何模型，借助軸對稱的幾何變換，利用垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合“兩點之間線段最短”的基本事實，在已知的“定線”上即可尋得最值點．

2.1 由最值構(gòu)造對稱軸

數(shù)學(xué)問題的命制最忌熟悉的套路反復(fù)出現(xiàn)，必將學(xué)生的思維限制在框框條條之中．因此，越是經(jīng)典的題型，越需要創(chuàng)新的呈現(xiàn)，方能開闊眼界，挖掘潛能，拓展思維．于是，2021年莆田市八年級市質(zhì)檢24題橫空出世，本道題的命制反其道而行，不再出現(xiàn)“將軍飲馬”模型中的那條河，那么該如何尋找消失的河呢？本題前兩問是常規(guī)的將軍飲馬問題，筆者不作討論，僅對第三問進(jìn)行剖析．

但有別于常規(guī)題型，對考生而言，似乎看不到“將軍飲馬”的影子，陷入困局，關(guān)鍵問題在于“河”隱身了，仿佛失去了依靠而導(dǎo)致無從下手．此時應(yīng)回歸問題本質(zhì)，轉(zhuǎn)換常規(guī)思維，搜索已有知識，類比聯(lián)想，構(gòu)造恰到好處的輔助線，這也是本題的精妙獨特之處．“將軍飲馬”模型的內(nèi)在核心是對稱性，而本題的亮點也是難點在于對稱軸成為最終的求解目標(biāo)，而不再是輔助工具．此時需要利用對稱不變性，作出點O或點B的對稱點，逐步逆向推導(dǎo)，借助構(gòu)造輔助線補全圖形，構(gòu)建將軍飲馬模型，便可豁然開朗．

與此同時，本題置于尺規(guī)作圖的背景中，無形當(dāng)中命制的創(chuàng)新性又提升一個層次，對考生提出更高的要求，更能展現(xiàn)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．顯然，本題解決過程需要不斷大膽嘗試，巧妙構(gòu)造輔助線，尋找那條失蹤的“河”．回首本題，隱身的“河”即為對稱軸，遵循對稱性原則，抓住對稱變換的變與不變，作出對應(yīng)點，從而便可按部就班解決問題．

從答題情況看，此題失分除了“將軍飲馬”模型的應(yīng)用不夠熟練以外，最主要原因是幾何思維不夠活躍、聯(lián)想能力較弱導(dǎo)致考生無從下手，不敢輕易動筆嘗試．萬丈高樓始于紙上，要建筑摩天大廈，要先設(shè)計宏偉藍(lán)圖，當(dāng)然設(shè)計幾何藍(lán)圖的依據(jù)便是對幾何知識的熟練掌握，對幾何的核心本質(zhì)要了然于胸．同時，最為核心的關(guān)鍵點在勇于動筆嘗試，敢于構(gòu)造輔助線，要有試錯的耐心、糾錯的決心．?dāng)?shù)學(xué)是思維的科學(xué)，而幾何題需要將思維通過動筆直觀展現(xiàn)出來．在思維呈現(xiàn)的過程中，常常需要借助輔助線，使得幾何大廈更加牢固，此時便可構(gòu)造出精彩絕倫的模型．

正如本道題，考生若能將題中簡潔的語言表述翻譯出較為直接明了的條件要求，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為常見的問題，化新知為舊知，將熟練的幾何模型進(jìn)行逆向遷移，動筆構(gòu)造輔助線．也許輔助線無法一步到位，但在無數(shù)次的嘗試甚至錯誤中，能夠有所啟發(fā)、反思、領(lǐng)悟，從而解題過程便呼之欲出．

2.2 構(gòu)造對稱軸求最值

無獨有偶，2021年莆田市九年級市質(zhì)檢24題命制了看似相同卻也不同的題型．

原題呈現(xiàn) 如圖3，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點E為BC邊上的動點，連接DE．過點E作EF⊥BD于點F，點G為DE的中點，連接CF，CG，GF.點M，N分別在ADCD，上，且DM=9/2，DN=1，連接GM，GN，當(dāng)GM+GN取最小值時，求S的值．

感悟啟思 本題第二問的第2小題，目標(biāo)定位在求GM和GN的和的最小值，即路徑最短問題，識別出具體問題背后的一般性后，結(jié)合條件，從復(fù)雜的圖形中，抽象出幾何模型，轉(zhuǎn)化為熟悉的“將軍飲馬”模型．此時，遇到與上例同樣的問題，模型雖已聯(lián)想到，但條件卻與常見問題截然不同，此時，將軍飲馬中的“河”又隱身了．

通過觀察圖形，思考探究，分析題意，點E為主動點在線段CB上運動，DE隨之運動，G為DE中點，得出從動點G在ΔBCD的中位線OP上運動，此時，最關(guān)鍵的輔助線OP便躍然紙上．取得將軍飲馬模型的鑰匙后，便可打開最值的大門，借助作點N關(guān)于OP的對稱點N′，如圖4，線段MN′的長即為GM+GN的最小值．

涉及最值問題，滲透極限思想，需針對具體問題展開更為全面的分析，特別地，與動態(tài)幾何題的相互交融，使得數(shù)形結(jié)合展現(xiàn)得更加豐富、飽滿．本題的關(guān)鍵點便是輔助線OP的尋覓，全方位考查考生幾何直觀、動態(tài)幾何抽象、邏輯推理等關(guān)鍵能力的掌握水平．看似輔助線無從下手，而實際上OP的軌跡通過逐步推導(dǎo)構(gòu)造．實際上，無論多繁雜的題目，都可借助波利亞的四個解題步驟，抽絲剝繭，層層遞進(jìn)解決問題，幾何題尤為如此．當(dāng)然，幾何題有獨特精妙之處，便是至關(guān)重要的輔助線．

綜上所述，例1已知定性的最值點，由點求作對稱軸，需緊抓對稱性，分析對稱變換的變與不變，循序漸進(jìn)思考，活躍逆向思維，類比路徑最短問題的求值，聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，巧妙構(gòu)造輔助線，由最值點反推求作出直線，即對稱軸；例2通過構(gòu)造對稱軸，定量求解最值，由題中線索構(gòu)造輔助線，進(jìn)而借助“將軍飲馬”模型，正面求解最值問題．兩道例題完美展現(xiàn)雙向考查同一個知識點的策略，靈活置換條件、結(jié)論，但隱身的對稱軸保密性較強，通過輔助線的構(gòu)造外顯考查．因此，輔助線的構(gòu)造是否靈活便可綜合考查考生的幾何知識掌握水平．

總而言之，平面幾何問題中，盡管是同一個模型，但是切換為正、反面不同角度，則需創(chuàng)造性又有理有據(jù)構(gòu)造匹配不同題型的恰當(dāng)?shù)妮o助線，要點在于因題而異，由題定線．

3 百般題型皆如此，探本求源構(gòu)輔助

平面幾何題千千萬，切忌題海里漫無目的遨游，解幾何題的旅程尤其需要明確的目標(biāo)．幾何題目設(shè)置的問題便是航行的方向，幾何的定義、公理、定理等知識決定航行的動力，而輔助線就是旅程的航線，尤為重要．航線眾多，構(gòu)造方法多樣，需根據(jù)自身具備的幾何知識，結(jié)合題中條件合情推理、演繹推理，選擇正確的方向．一旦偏航，掌舵者也就是考生，便如無頭蒼蠅，在幾何圖形前束手無策，胡亂打轉(zhuǎn)，隨意構(gòu)造輔助線，無法攻克幾何問題．正所謂“兵馬未動，糧草先行”，要想應(yīng)對航行中遇到的各類難題，考生需儲備充足的幾何知識，武裝充滿幾何思維的大腦，掌握豐富的解題經(jīng)驗．

幾何問題中的輔助線，皆有因果．以題中出現(xiàn)“中點”條件為例，則應(yīng)聯(lián)想到作中位線、直角三角形斜邊上的中線、倍長中線，亦或是利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)、全等三角形的判定、三大幾何變換的性質(zhì)構(gòu)造圖形．與此同時，對于幾何題中出現(xiàn)的線索要擅于挖掘，結(jié)合已掌握的知識，大膽嘗試構(gòu)造輔助線．解題方法、技巧、思維在腦中，但是輔助線在筆下，只有將二者有機結(jié)合，才可攻破幾何難題．初中階段的幾何綜合題，往往是包含千變?nèi)f化的輔助線作法的平面幾何題，全面考查幾何直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，深挖分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)分析問題、解決問題的關(guān)鍵能力，具有較高的命題價值，值得引起關(guān)注．

無論是何種題型，教學(xué)中切不可將模型放在首位，生搬硬套，那必定會本末倒置，限制思維的發(fā)展，而應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生高階、多向思維的發(fā)展，甚至遇到難題時更要不走尋常路，逆向、反向思考，或許能有頓悟之感．模型思想的滲透，應(yīng)當(dāng)在于引導(dǎo)學(xué)生靈活掌握各個知識點，并能夠獨立自主探究，主動構(gòu)建恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，模型?yīng)為生所用，而非將模型奉為學(xué)習(xí)法寶．只有透過問題的表面，挖掘內(nèi)在的本質(zhì)，才能構(gòu)造相得益彰的輔助線，搭線牽橋，配合嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，高效解決問題．明面上，輔助線貌似無中生有，事實上，暗含條件中、圖形中、問題中，有跡可循，從而構(gòu)造打開解題大門的重要輔助線．而這，恰是幾何，更是數(shù)學(xué)的魅力．

女媧補天也許只是傳說，美麗而神秘，然而，輔助線卻是真實存在，是每位中學(xué)生所必須面臨的一道坎，其實它也是神奇而美妙的．面對幾何問題感到困惑迷茫時，可能只是“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，尚未從新問題聯(lián)想到已知、已求、已證中．此時，發(fā)散活躍思維，不走尋常路，不落套路，或倒行逆解，或順勢而為，或另辟蹊徑，構(gòu)造恰如其分的輔助線，以期達(dá)到解題的目的．