基于范希爾理論的“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)探索

陸婭君　冉勝利　王睿

“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是高中階段學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，通常被安排在“圓錐曲線的方程”內(nèi)容的最后一節(jié)，其內(nèi)容是對(duì)初中二次函數(shù)內(nèi)容的深化，其形式是這一章中變化最多的也是最為抽象．因此，該教學(xué)在厘清概念的基礎(chǔ)上，要緊緊地契合學(xué)生的幾何思維現(xiàn)狀，幫助學(xué)生發(fā)展其幾何思維水平．范希爾理論能衡量學(xué)生的幾何思維水平，對(duì)于幾何教學(xué)具有一定的指導(dǎo)意義，還能促進(jìn)學(xué)生幾何思維水平的提升[1]．范希爾理論的核心內(nèi)容有兩個(gè)：一是幾何思維的五個(gè)水平（視覺、分析、非形式化的演繹、形式的演繹、嚴(yán)密性），用以診斷學(xué)生的幾何思維水平；二是與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段（學(xué)前咨詢、引導(dǎo)定向、闡明、自由定向、整合），提出了一種幾何教學(xué)的模式[2]．本文基于范希爾理論對(duì)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)進(jìn)行分析，以期能更好地進(jìn)行幾何教學(xué)．

1 學(xué)前咨詢階段——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，感知拋物線

學(xué)前咨詢階段是指以本節(jié)課的知識(shí)為對(duì)象，教師根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)設(shè)置問題，然后師生之間以對(duì)話的形式進(jìn)行交流，旨在更好地設(shè)計(jì)課堂教學(xué)．學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，能夠確認(rèn)拋物線的圖象，但不能準(zhǔn)確把握拋物線的具體特征和性質(zhì)．此外，學(xué)生在初中物理中已經(jīng)學(xué)習(xí)了如光的反射以及成像原理等知識(shí)．所以，教師選取手電筒發(fā)光作為拋物線的實(shí)物模型創(chuàng)設(shè)情境，既貼合學(xué)生生活實(shí)際，也符合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，讓學(xué)生更好地投入課堂學(xué)習(xí)．

情境中教師用兩只手電筒正對(duì)著黑板，其中一只手電筒發(fā)出一束平行光線，而另一只手電筒發(fā)出了微弱的光線，幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)中抽象出拋物線．

師：這是為什么呢？

生：觀察兩只手電筒可以發(fā)現(xiàn)，其中一只手電筒有燈罩，有燈罩的手電筒發(fā)出一束平行光．

師：有燈罩的這只手電筒之所以能發(fā)出平行光，是由怎樣的幾何結(jié)構(gòu)決定的？

解釋：如圖1所示，根據(jù)手電筒的燈罩結(jié)構(gòu)可知：這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面，是由過燈泡所在位置的縱截面與曲面的交線旋轉(zhuǎn)而成．

師：那么交線會(huì)是怎樣的曲線？如圖2所示．

生：拋物線．

師：它是怎樣形成的？又該如何定義拋物線？

設(shè)計(jì)意圖 通過將拋物線運(yùn)用于手電筒的實(shí)例，并以師生對(duì)話的形式引導(dǎo)學(xué)生直觀感知生活中的拋物線，從而形成感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生積累空間觀念的經(jīng)驗(yàn)，為下一階段的學(xué)習(xí)做好認(rèn)知準(zhǔn)備．

2 引導(dǎo)定向階段——問題啟發(fā)，探索幾何性質(zhì)

引導(dǎo)定向階段是指在教師有目的的引導(dǎo)下，學(xué)生能感知教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行的方向，逐漸走向領(lǐng)悟拋物線的幾何性質(zhì)．學(xué)生在上一階段通過對(duì)實(shí)物進(jìn)行抽象，得出了拋物線圖形，但是仍需進(jìn)一步從數(shù)學(xué)角度分析手電筒的發(fā)光結(jié)構(gòu)特征．此階段重點(diǎn)在于教師引導(dǎo)學(xué)生觀察光的反射軌跡，通過反射原理和對(duì)稱性找出虛光源的位置，再通過動(dòng)態(tài)分析得出定點(diǎn)與定直線并認(rèn)識(shí)拋物線的幾何特征，學(xué)生能夠達(dá)到“分析”的層次．

問題1 拋物線的形成與哪些因素有關(guān)？

在上一階段中，學(xué)生便知道拋物線的形成與燈泡所在點(diǎn)的位置有關(guān)．開啟電源時(shí)，手電筒發(fā)出了一束平行光線，實(shí)際上是由光源發(fā)出的．但從視覺效果上看，每一條平行光線就好像是從燈罩后面某個(gè)確定的虛擬位置（即虛光源處）直線發(fā)出的．不難得出，拋物線的形成與虛光源的位置有關(guān)．

問題2 虛光源所處的位置應(yīng)該如何來確定？

在拋物線上任取點(diǎn)P，設(shè)從P點(diǎn)反射出去的光線為PT，根據(jù)視覺效果可以初步判斷虛光源一定位于光線PT的反向延長(zhǎng)線上．根據(jù)光的反射定律，實(shí)光源和虛光源是關(guān)于反射鏡面對(duì)稱的，因此做出點(diǎn)P所在的反射鏡面，如圖3所示．

問題3 如何找到實(shí)光源F關(guān)于反射鏡面的對(duì)稱點(diǎn)？

過實(shí)光源F做鏡面的垂線，垂線FF′與PT的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F′，由此便找到了一個(gè)虛光源F′的位置，如圖4所示．

問題4 虛光源的分布存在怎樣的規(guī)律？

再做出三條平行光線的虛光源，并抹去作圖痕跡，如圖5所示．

問題5 這四個(gè)虛光源F′A，B，C的分布存在怎樣的規(guī)律？

學(xué)生不難得出，這4點(diǎn)是共線的．

問題6 如果反射點(diǎn)P取遍整條拋物線，虛光源會(huì)形成怎樣的圖形？

利用幾何畫板直觀驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)無數(shù)的虛光源點(diǎn)形成了一條直線，如圖6所示．根據(jù)以上的探究得到：拋物線的形成與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線有關(guān)．

問題7 拋物線上的點(diǎn)與定點(diǎn)和定直線存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

因?yàn)閷?shí)光源F和虛光源F′是關(guān)于鏡面對(duì)稱的，由剛才的作圖便得到：拋物線上的點(diǎn)P與定點(diǎn)F′和定直線l的距離相等，由此便得到了拋物線的幾何特征．

設(shè)計(jì)意圖 教師為學(xué)生仔細(xì)安排教學(xué)活動(dòng)的順序，幫助學(xué)生明確教學(xué)活動(dòng)的探究方向，親身體驗(yàn)知識(shí)的生成過程．幾何畫板動(dòng)態(tài)地展示了“點(diǎn)P取遍拋物線上所有的點(diǎn)時(shí)，虛光源形成一條直線”的現(xiàn)象，揭示了拋物線形成因素的內(nèi)在聯(lián)系；把“手電筒的燈罩原理”直觀呈現(xiàn)出來，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)．

3 闡明階段——抽象概括，形成概念

闡明階段是指基于之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和教師的引導(dǎo)，學(xué)生理解特定的數(shù)學(xué)語言，逐步感知概念的含義并能表達(dá)出幾何性質(zhì)之間的聯(lián)系．學(xué)生在上一階段已經(jīng)將拋物線的幾何特征分析完成，需要進(jìn)一步將其抽象概括，形成概念．在教師的提示下，學(xué)生類比橢圓與雙曲線的概念得到拋物線的定義．在此過程中，教師需要對(duì)數(shù)學(xué)語言的使用進(jìn)行規(guī)范，幫助學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫳磉_(dá)．該階段學(xué)生處于“非形式化的演繹”水平，需要結(jié)合具體圖象對(duì)概念進(jìn)行理解．

師：如何根據(jù)拋物線的幾何特征得到拋物線的定義？

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生利用類比的方式得到拋物線定義：在平面內(nèi)，與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．

師：如果直線l經(jīng)過定點(diǎn)F，那么到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡又是什么？

師：如何根據(jù)拋物線的幾何特征畫拋物線？

分析：回顧剖析拋物線幾何特征的過程．如圖6所示，實(shí)光源F和虛光源F′關(guān)于反射鏡面對(duì)稱，因此反射點(diǎn)P（即拋物線上的一點(diǎn)）就位于線段FF′的垂直平分線上．因此，拋物線可以這樣來做：在平面內(nèi)取定一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l，在直線l上任取點(diǎn)F′，做出線段FF′的垂直平分線，拋物線上的點(diǎn)就在這條垂直平分線上．

師：如何確定拋物線上的點(diǎn)在垂直平分線上的具體位置？

分析：過F′做直線l的垂線，與FF′的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接PF，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等，因此點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡就是拋物線，并用幾何畫板展示拋物線的形成過程，如圖7所示．

活動(dòng)：給定一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l，大家自己動(dòng)手畫出一條拋物線．（工具：拉鏈、直角三角板、圖釘、畫筆）

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)歷利用定義畫拋物線的過程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．通過幾何畫板把抽象的問題直觀化，使得學(xué)生更深入地理解拋物線的定義以及作圖方式．

4 自由定向階段——內(nèi)化概念，全面理解

自由定向階段是指學(xué)生在多步作業(yè)或以不同方式完成作業(yè)的過程中，獲得知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，逐步深化對(duì)概念的理解并能夠完善相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．學(xué)生能夠?qū)⑾鄳?yīng)的文字表達(dá)與圖象相對(duì)應(yīng)，尚沒有達(dá)到“形式演繹”水平．因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在坐標(biāo)系中分析拋物線的幾何性質(zhì)，進(jìn)一步確定拋物線的方程．通過此階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以了解到利用坐標(biāo)法研究幾何問題的重要性和了解拋物線幾何性質(zhì)的意義．

師：我們已經(jīng)用文字語言描述了拋物線的定義，那么用符號(hào)語言又該如何來描述？

問題 假設(shè)（）Mxy，，求平面內(nèi)到定點(diǎn)F（p/2，0）（p>0）與到定直線：l：x=－p/2距離相等的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

生：y2=2px（p>0）.

此時(shí)，教師再改變定點(diǎn)和定直線的位置，便得到拋物線的另外三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程．

分析：拋物線有四種標(biāo)準(zhǔn)方程，每一種標(biāo)準(zhǔn)方程刻畫著不同的函數(shù)圖象，如何畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象？（運(yùn)用幾何畫板展示拋物線的解析式與圖象變換的動(dòng)態(tài)過程，并幫助學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象）．

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生自主學(xué)習(xí)，主動(dòng)參與到知識(shí)的形成過程中，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．通過推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“定點(diǎn)”與“定直線”是拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵要素，體會(huì)用代數(shù)運(yùn)算研究拋物線幾何性質(zhì)的過程．

5 整合階段——總結(jié)升華，掌握方法

整合階段是指學(xué)生通過回顧、反思自己所用的方法并形成一種觀點(diǎn)，使得知識(shí)對(duì)象和關(guān)系被整合統(tǒng)一并內(nèi)化進(jìn)一個(gè)新的思維領(lǐng)域．“嚴(yán)密性”層次不是簡(jiǎn)單的幾節(jié)課就能形成發(fā)展的，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷比較、提煉、總結(jié)，才能在大腦中形成結(jié)構(gòu)嚴(yán)密、完整的知識(shí)體系．

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了什么？

總結(jié)知識(shí)的生成過程，理解拋物線相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，如表1．

（1）本節(jié)課是如何剖析拋物線的幾何特征？

（2）是利用什么方法將拋物線的文字語言轉(zhuǎn)化為了符號(hào)語言？

設(shè)計(jì)意圖 回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)及所用方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想、坐標(biāo)法在幾何中的運(yùn)用．將新學(xué)習(xí)的知識(shí)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成知識(shí)的綜合圖式，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

范希爾理論是對(duì)學(xué)生思維水平的刻畫，教師在實(shí)際的幾何課堂教學(xué)中不能簡(jiǎn)單的基于學(xué)情進(jìn)行教學(xué)，而是要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展過程，關(guān)注到幾何思維水平之間的障礙．所以，基于范希爾理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)是立足于學(xué)生主體性、關(guān)注學(xué)生過程性發(fā)展的教學(xué)，有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)中提升思維品質(zhì)、發(fā)展核心素養(yǎng)．本教學(xué)設(shè)計(jì)依托“閱讀材料”欄目?jī)?nèi)容，以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為情境，根據(jù)學(xué)生的思維水平進(jìn)行提問，以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，借助幾何畫板直觀地展示了拋物線形成軌跡的過程，使學(xué)生逐步抽象并真正地理解拋物線的幾何性質(zhì)，將數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等核心素養(yǎng)的發(fā)展貫穿在教學(xué)過程中．