基于直觀想象探究一道切線問題

吳志湖

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形狀與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).筆者基于直觀想象視角，探究一道曲線的切線問題.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2022年武漢市高三年級九月調(diào)研考試第12題）已知函數(shù)f（x）=ex－1+lnx，則過點（a，b）恰能作曲線y=f（x）的兩條切線的充分條件可以是（ ）.

A.b=2a－1>1B.b=2a－1<1

C.2a－1

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)與方程等知識，考查運算求解能力，推理論證能力，直觀想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象，邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

二、解法探究

解法1：f′（x）=ex－1+1/x.設(shè)切點為（x0，ex0－1+lnx0），切線l的方程為y=（ex0－1+1/x0）（x－x0）+ex0－1+lnx0.

由已知有b=（ex0－1+1/x0）（a－x0）+ex0－1+lnx0=aex0－1+a/x0+（1－x0）ex0－1+lnx0－1.????? 故切線的條數(shù)等價于上述關(guān)于x0的方程解的個數(shù).令g（x）=aex－1+a/x+（1－x）ex－1+lnx－1，則g′（x）=（a－x）（ex－1－1/x2），g′（1）=0，g（1）=2a－1.

當(dāng)a≤0時，令g′（x）=0，得x=1.當(dāng)00，g（x）遞增；當(dāng)x>1時，g′（x）>0，g（x）遞減.又x→0時，y→－∞；x→+∞時，y→－∞.故當(dāng)b=2a－1≤－1時，方程只有一解，切線只有一條.當(dāng)b<2a－1≤－1時，方程有兩解，切線有兩條，故D正確.

當(dāng)0

當(dāng)a>1時，易得g（x）在（0，1），（a，+∞）上遞減，在（1，a）上遞增.又x→0時，y→+∞；x→+∞時，y→－∞.當(dāng)b=2a－1>1時，方程有兩解，切線有兩條，故選項A正確；而當(dāng)2a－1

綜上，本題選AD.

解法2：f′（x）=ex－1+1/x，f（1）=1.因為f′（x）=ex－1+1/x>0，所以函數(shù)f（x）為增函數(shù).又x→0時，y→－∞；x→+∞時，y→+∞.所以y軸為曲線的豎直漸近線.

又f″（x）=ex－1－1/x2在（0，+∞）上遞增且f″（1）=0.當(dāng)01時，f″（x）>0，函數(shù)為凸函數(shù).點P（1，1）為曲線y=f（x）拐點，拐點處的切線方程為y=2x－1.做出圖像，如圖1所示：

由圖1可知，對于選項A，此時點（a，b）在拐點處的切線上，且在拐點P的右上方，能做出兩條切線，其中一條就是拐點處的切線.對于選項B，點（a，b）在拐點處的切線上，且在拐點P的左下方，但當(dāng)點（a，b）在y軸的左側(cè)時，注意到y(tǒng)軸是曲線的漸近線，此時只可作出一條切線.對于選項C，點（a，b）在拐點處的切線上方，又在函數(shù)圖像下方，此時能做出3條切線.對于選項D，點（a，b）在拐點處切線下方，且在y軸的左側(cè)（含y軸），此時能做出2條切線.故選AD.

點評：解法一通過定量計算，將切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程解個數(shù)問題，最終解決問題.解法二通過定性分析，結(jié)合圖像，直觀解決問題.從解法二可知：過一點作曲線的切線，切線的條數(shù)問題與點在平面中所處的位置有關(guān).結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，分析點與曲線、曲線拐點處的切線和曲線的漸進線的位置，我們便直觀作出判斷.基于直觀想象，我們更容易窺得問題的本質(zhì)，既可直觀解決此類問題，還可洞悉作者的命題思路.

三、理解應(yīng)用

曲線的切線問題是高考的重要考查內(nèi)容，以下繼續(xù)解析兩道高考試題，進一步感悟此類問題的直觀解法.

例1 （2021年全國新高考Ⅰ卷第7題）若過點a，b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）.

A．eb

C．0

解析：函數(shù)y=ex是凸函數(shù)且x軸是曲線y=ex的切線.由函數(shù)圖像（見圖2）可知，只有點a，b在漸近線上方，且在圖像下方，才可作出兩條切線.故選D.

例2 （2022年全國新高考Ⅰ卷第15題）若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是.

解析：由y′=（x+a+1）ex可知，函數(shù)y=（x+a）ex在（-∞，－a－1）上遞減，在區(qū)間（－a－1，+∞）上遞增.又x→－∞時，y→0，所以x軸是曲線y=（x+a）ex的漸近線.

由y″=（x+a+2）ex可知，函數(shù)為（-∞，－a－2）的凹函數(shù)，區(qū)間（－a－2，+∞）上的凸函數(shù).點（-a－2，－2e－a－2）為曲線的拐點，曲線在拐點處的切線方程為y+2e－a－2=－e－a－2（x+a+2），可求得此切線與x軸交于點A－a－4，0.

又曲線y=（x+a）ex與x軸交于B－a，0.做出簡圖（見圖3），結(jié)合圖3可知：只有坐標(biāo)原點O在A點左側(cè)，或者在B點右側(cè)，才可做出兩條切線.

故－a－4>0或者－a<0，從而答案為a<－4或a>0..

四、試題命制

基于直觀想象，我們可掌握此類試題的命題手法，進行試題命制.以下命制兩道試題，供讀者賞析.

試題1 若過點（1，0）可以作曲線y=ln（x+a）的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析：曲線y=ln（x+a）有漸近線x=－a，且與x軸交于點A（1－a，0）.結(jié)合圖像（見圖4）可知，點（1，0）應(yīng)位于A與漸近線之間，故有－a<1<1－a，解得－1

試題2 已知函數(shù)f（x）=x+2/ex，則過點（a，b）至少能作曲線y=f（x）的兩條切線的充分條件可以是（ ）.

A.b=2－a>2B.b=2－a<2

C.2－a

解析：f′（x）=－x－1/ex，f″（x）=x/ex.函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，+∞）上遞減，且點Q（0，2）為曲線y=f（x）的拐點.拐點處的切線方程為y=－x+2.結(jié)合圖像（見圖5）可得：對于選項A，點（a，b）在切線上，且在拐點Q的左上方，此時切線有2條，其中一條為拐點處的切線.對于選項B，點（a，b）在切線上，且在拐點Q的右下方，若它還位于x軸下方.此時只能作出一條切線，為拐點處的切線.對于選項C，點（a，b）在切線上方且在曲線下方，若點在第一象限，可作三條切線；若點在x軸或第四象限時，可作出兩條切線.對于選項D，點（a，b）在切線下方且在曲線上方.若點在第二象限，可做出三條切線；若點在第四象限或x軸，可作出兩條切線.綜上，答案為ACD.