突顯函數(shù)單調(diào)性的示范作用　發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

鄒信武

1 問(wèn)題的提出

函數(shù)單調(diào)性是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個(gè)基本性質(zhì)，由于它的“抽象性”和“應(yīng)用性”，歷來(lái)都是高中數(shù)學(xué)教師研究的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容.在以往的教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)往往在于如何引導(dǎo)學(xué)生理解“符號(hào)化表示”和“任意性”上，誠(chéng)然，這是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性時(shí)的認(rèn)知障礙，但是，從發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度，函數(shù)單調(diào)性還承載著更多的教育教學(xué)作用.

2 函數(shù)單調(diào)性教學(xué)作用

2.1 函數(shù)單調(diào)性是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的優(yōu)良載體

函數(shù)單調(diào)性是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好教學(xué)素材.函數(shù)單調(diào)性概念的形成中，學(xué)生經(jīng)歷了從圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言再到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程，從具體到一般，從“定性分析”到“定量刻畫(huà)”，可以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；在經(jīng)歷具體函數(shù)圖象的單調(diào)性提煉和函數(shù)單調(diào)性在具體函數(shù)的“直觀圖象”中，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)；在理解函數(shù)單調(diào)性概念中的“全稱量詞”、“特稱量詞”等邏輯用語(yǔ)中，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)；在利用函數(shù)單調(diào)性定義解決具體問(wèn)題中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2.2 函數(shù)單調(diào)性是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的優(yōu)良“示范”

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念和函數(shù)的表示方法之后，在學(xué)生心中可以產(chǎn)生大量的問(wèn)題，如下一步應(yīng)該學(xué)習(xí)（思考）函數(shù)的什么呢？什么是函數(shù)的性質(zhì)？如何尋找函數(shù)的性質(zhì)？又應(yīng)該表達(dá)它們呢？這樣做有什么作用呢？……這些問(wèn)題恰恰利于發(fā)展學(xué)生的“理性思維”.因此，應(yīng)該把握住這一教學(xué)契機(jī)，在函數(shù)單調(diào)性的探求過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生逐步明了研究函數(shù)性質(zhì)的基本框架和路徑，使數(shù)學(xué)中發(fā)展特有的目標(biāo)取向、思考結(jié)構(gòu)、思維方式和符號(hào)化表達(dá)有機(jī)的融入系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)中，形成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)研究過(guò)程，為后續(xù)函數(shù)性質(zhì)研究提供一個(gè)“示范”.

3 函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)過(guò)程

函數(shù)的單調(diào)性概念的形式化過(guò)程，本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程.關(guān)于數(shù)學(xué)抽象，史寧中教授將它分成三個(gè)階段：一是簡(jiǎn)約階段，即抓住事物特征，語(yǔ)言表達(dá)；二是符號(hào)階段，即抓住事物本質(zhì)，符號(hào)表達(dá)；三是普適階段，即抓住事物關(guān)聯(lián)，模型表達(dá).函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)過(guò)程應(yīng)尊重?cái)?shù)學(xué)抽象的層次性，兼顧學(xué)生思維的發(fā)展水平，概念形成與概念同化相結(jié)合.如圖1，將函數(shù)單調(diào)性的概念學(xué)習(xí)分為四個(gè)階段：方法與途徑、辨別與提煉、表征與定義、完備與應(yīng)用.

4 函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

4.1 方法與途徑

引入：前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法，知道函數(shù)是描述客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.這樣，我們就可以通過(guò)研究函數(shù)的變量間的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中事物的間的變化規(guī)律，變化中的不變性就是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì).因此，研究函數(shù)的性質(zhì)，就是研究自變量在變化時(shí)，函數(shù)值呈現(xiàn)出什么樣的變化規(guī)律.那么，哪一種函數(shù)表示方法可以直觀的反映規(guī)律性呢？

設(shè)計(jì)意圖：承前啟后，交代清楚性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的涵義.引出了本節(jié)課的主題——研究函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)指出了研究的途徑：尋找自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律；并且指出研究的出發(fā)點(diǎn)：函數(shù)的圖象.

4.2 辨別與提煉

問(wèn)題1 觀察圖2中的三個(gè)函數(shù)圖象，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)嗎？哪些是三個(gè)函數(shù)圖象共有的性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：這樣的處理，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象中“簡(jiǎn)約階段”的特征，又能統(tǒng)攝后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，體現(xiàn)“大單元”教學(xué)觀.學(xué)生從特殊的三個(gè)函數(shù)圖象中，分析變化規(guī)律，并進(jìn)一步對(duì)它們進(jìn)行提煉和類化，進(jìn)而得到某些“規(guī)律性特征”.這幾個(gè)圖象中，有“上升”、“下降”——單調(diào)性，有中心對(duì)稱和軸對(duì)稱——奇偶性，有極值和最值，還有變化快慢等特征，這些都是今后要研究的性質(zhì).當(dāng)學(xué)生提煉了種種性質(zhì)之后，再指出“上升”、“下降”這樣的圖形特征我們稱為函數(shù)的單調(diào)性，本節(jié)課的目標(biāo)就是準(zhǔn)確的描述這樣的圖象特征.

4.3 表征與定義

問(wèn)題2 我們從簡(jiǎn)單的函數(shù)開(kāi)始，先研究函數(shù)f（x）=x2，g（x）=x3的單調(diào)性.請(qǐng)同學(xué)們用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖象，并描述出它的單調(diào)性情況.

設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課的關(guān)鍵問(wèn)題，設(shè)計(jì)主要從以下幾個(gè)方面考慮：

（1）從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，是我們研究問(wèn)題的一種常見(jiàn)方法.利用特殊函數(shù)的圖象引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明晰單調(diào)性的圖形直觀，并得出圖形直觀描述：從左往右看，y=g（x）圖象在“上升”；當(dāng)x<0時(shí)，y=f（x）圖象“下降”，當(dāng)x>0時(shí)，y=f（x）圖象“上升”.

（2）此處要求學(xué)生使用描點(diǎn)法作圖，使學(xué)生在列表描點(diǎn)過(guò)程中，能直接感受自變量變化時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律，并且把這樣的規(guī)律與圖象變化建立聯(lián)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)圖象描述向代數(shù)刻畫(huà)轉(zhuǎn)變.

（3）選擇f（x）=x2和g（x）=x3的原因還有兩個(gè)：一是通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，并且具有普遍性；二是為后面函數(shù)奇偶性的研究埋下伏筆.

追問(wèn)1：函數(shù)是自變量與因變量的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于f（x）=x2，你能用自變量x與函數(shù)值 f（x）描述剛剛大家得到的函數(shù)圖象的“上升”和 “下降”嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷了描點(diǎn)法作圖過(guò)程，就不難從圖形描述轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)描述性語(yǔ)言：當(dāng)x<0時(shí)，f（x）越?。划?dāng)x>0時(shí)，x越大， f（x）越大.值得注意的是，雖然這樣的描述語(yǔ)言在初中已經(jīng)出現(xiàn)，但是在以往教學(xué)實(shí)踐中，大部分學(xué)生依然不能精確地表述，因此這樣的復(fù)習(xí)還是有必要的.

追問(wèn)2：結(jié)合繪制f（x）=x2的過(guò)程，請(qǐng)你舉例說(shuō)明：當(dāng)x>0時(shí)，x越大， f（x）越大.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)單調(diào)性概念符號(hào)化過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)就是如何讓學(xué)生自然地使用區(qū)間上兩點(diǎn)坐標(biāo)去刻畫(huà)變化規(guī)律.在這個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程中，從一般到特殊，隨著學(xué)生不斷列舉實(shí)例（如1<2，則f（1）< f（2）等），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“上升”圖象中的兩點(diǎn)坐標(biāo)間的大小關(guān)系.

追問(wèn)3：大家發(fā)現(xiàn)了“上升”部分兩點(diǎn)間存在大小關(guān)系，你能用剛才的發(fā)現(xiàn)來(lái)描述“當(dāng)x>0時(shí)，x越大， f（x）越大”嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言描述“上升”這一性質(zhì).這是達(dá)成抽象概念的重要過(guò)程，雖然描述不完善，但是描述脫離了圖象，完成了定性刻畫(huà)向定量刻畫(huà)的轉(zhuǎn)變.

追問(wèn)4：請(qǐng)同學(xué)們判斷：當(dāng)x1，x2∈［0，+∞），如果x1

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，完成函數(shù)單調(diào)性概念形成過(guò)程中的“完備性”.此處是本節(jié)課的難點(diǎn)之一，通過(guò)設(shè)置充分必要條件的判斷，使學(xué)生意識(shí)到“所有點(diǎn)都應(yīng)滿足”，進(jìn)而體會(huì) x1、x2任意性的重要性.

追問(wèn)5：請(qǐng)同學(xué)們用準(zhǔn)確的語(yǔ)言刻畫(huà)f（x）=x2“上升”和“下降”的情況.對(duì)于g（x）=x3呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前面的層層鋪墊，達(dá)成數(shù)學(xué)抽象符號(hào)化.學(xué)生在使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆?hào)語(yǔ)言刻畫(huà)f（x）=x2的g（x）=x3的單調(diào)性情況，體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言的精煉與準(zhǔn)確.

追問(wèn)6：對(duì)于函數(shù)h（x）=|x|又有怎樣的單調(diào)性呢？你能描述出來(lái)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：再通過(guò)一個(gè)特殊函數(shù)單調(diào)性的判斷，深化符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)與理解.讓學(xué)生再一次體會(huì)“圖形語(yǔ)言→自然語(yǔ)言→符號(hào)語(yǔ)言”這一數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.

問(wèn)題3 如圖3，對(duì)于一般的函數(shù)，你能寫(xiě)出這兩種情況的定義.

設(shè)計(jì)意圖：師生一起歸納單調(diào)遞增（減）、增（減）函數(shù)的定義和單調(diào)區(qū)間的定義.關(guān)注學(xué)生符號(hào)語(yǔ)言的準(zhǔn)確性，特別是在區(qū)間、任意、取點(diǎn)等地方的細(xì)節(jié).

4.4 完備與應(yīng)用

問(wèn)題4 教材中的思考：

（1）設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且？ x1，x2∈A，當(dāng)x1

（2）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你還能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？

設(shè)計(jì)意圖：這是概念同化的過(guò)程.因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)性概念的抽象性，可以提供幾個(gè)問(wèn)題給學(xué)生辨析，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解.教材中的兩個(gè)問(wèn)題分別從函數(shù)單調(diào)性中的“任意性”和區(qū)間兩個(gè)方面進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解.

問(wèn)題5 例1：根據(jù)定義，研究函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的單調(diào)性.

例2：物理學(xué)中玻意耳定律p=k/V（k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大，試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明.

例3：判斷函數(shù)y=x+1/x在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)例使學(xué)生體會(huì)單調(diào)性符號(hào)化定義的必要性和實(shí)用性，通過(guò)例1、例2歸納用單調(diào)性定義證明單調(diào)性的步驟，例3則是定義法證明單調(diào)性的推廣和應(yīng)用.

例1和例2本質(zhì)上分別是一次函數(shù)和反比例函數(shù)單調(diào)性的判斷，在初中我們一般采用圖象法進(jìn)行判斷單調(diào)性，這樣判斷的弊端是圖像往往只能得到局部的特征，對(duì)于“無(wú)窮”位置，是無(wú)法解釋的.因此，引導(dǎo)學(xué)生使用定義法證明幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，有助于提升代數(shù)證明、推理能力，同時(shí)也有助于學(xué)生理解“無(wú)窮”的含義，體會(huì)“無(wú)窮”的數(shù)學(xué)處理方法，從中感受數(shù)學(xué)的美和力量.

例3則是通過(guò)一個(gè)學(xué)生相對(duì)陌生的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，進(jìn)而判斷函數(shù)單調(diào)性，使學(xué)生體會(huì)定義法判斷單調(diào)性的強(qiáng)大作用和價(jià)值.

問(wèn)題6 請(qǐng)同學(xué)們思考并回答以下問(wèn)題：

（1）什么叫函數(shù)的單調(diào)性？你能舉出一些具體例子嗎？

（2）你認(rèn)為在理解函數(shù)的單調(diào)性時(shí)應(yīng)把握好哪些關(guān)鍵問(wèn)題？

（3）利用定義證明單調(diào)性的步驟是什么？有哪些注意事項(xiàng)？

（4）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，你對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和方法有什么體會(huì)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題設(shè)置，將本節(jié)課的知識(shí)、方法、技能、過(guò)程等進(jìn)行回顧與提煉，突出函數(shù)單調(diào)性的概念內(nèi)涵和外延，歸納函數(shù)性質(zhì)的研究過(guò)程，為后續(xù)函數(shù)性質(zhì)研究的埋下鋪墊.

5 小結(jié)

通過(guò)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)，我們希望給學(xué)生建立一種研究函數(shù)性質(zhì)的“示范”，在這樣的“示范”下，后續(xù)性質(zhì)的教學(xué)就變成有目的、有方法、有路徑的探究學(xué)習(xí).學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，得到的不僅僅是函數(shù)性質(zhì)本身，還有探尋和研究問(wèn)題的思維不斷得到鍛煉和提升，進(jìn)而達(dá)到“教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)”的教學(xué)效果，最終發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］章建躍.如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（09）：1-8.

本文系南寧市“十四五”規(guī)劃“品質(zhì)課堂建設(shè)”專題課題《三新背景下高中數(shù)學(xué)品質(zhì)課堂的探索與實(shí)踐》（2022PZKT003）階段性成果.