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    妙用數(shù)學(xué)定理,解決生活問(wèn)題

    2023-08-18 13:27:01康海芯
    初中生世界·七年級(jí) 2023年8期
    關(guān)鍵詞:外角度數(shù)內(nèi)角

    康海芯

    三角形內(nèi)角和定理及其外角性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)證明的重要內(nèi)容之一,揭示了三角形的內(nèi)角、外角數(shù)量關(guān)系。它在生活中有廣泛的應(yīng)用,下面我們舉例說(shuō)明。

    一、善用三角形內(nèi)角和,計(jì)算視角度數(shù)

    例1 如圖1,C島在A島的北偏東45°方向,C島在B島的北偏西25°方向,則從C島看A、B兩島的視角∠ACB的度數(shù)為_(kāi)_________°。

    【解析】要求∠ACB的度數(shù),可以考慮連接AB,構(gòu)造△ABC,先求出∠CAB與∠ABC的度數(shù),然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解。

    解:連接AB,如圖2。

    ∵C島在A島的北偏東45°方向,在B島的北偏西25°方向,

    ∴∠CAB+∠ABC=180°-(45°+25°)=110°。

    ∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°,

    ∴∠ACB=180°-(∠CAB+∠ABC)=180°

    -110°=70°。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形內(nèi)角和的應(yīng)用題,解答本題的關(guān)鍵是連接AB構(gòu)造三角形,利用三角形內(nèi)角和定理求解。

    二、活用三角形內(nèi)角和,確定客機(jī)飛行角度

    例2 如圖3,飛機(jī)要從A地飛往B地,因受大風(fēng)影響,一開(kāi)始就偏離航線(AB)18°飛到了C地(即∠A=18°),經(jīng)B地的導(dǎo)航站測(cè)得∠ABC=10°。此時(shí),飛機(jī)必須沿某一方向飛行才能到達(dá)B地。那么,這一方向與水平方向的夾角∠BCD=____________。

    【解析】要求∠BCD的度數(shù),結(jié)合已知條件,根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”求解。因?yàn)椤螦=18°,∠ABC=10°,所以∠BCD=∠A+∠B=28°。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用題,解答本題的關(guān)鍵是抓住所求角度與已知角之間存在的數(shù)量關(guān)系,直接利用三角形的外角性質(zhì)求解。

    三、巧用三角形外角性質(zhì),檢驗(yàn)零件合格性

    例3 一個(gè)零件的形狀如圖4所示,按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°,∠B、∠C應(yīng)分別是21°和32°。檢驗(yàn)工人量得某個(gè)零件∠BDC=148°,就斷定這個(gè)零件不合格。這是為什么?

    【解析】本題只要求出合格零件的∠BDC的度數(shù)即可,可以適當(dāng)添加輔助線,如延長(zhǎng)CD,交AB于點(diǎn)E,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠DEB,再利用三角形外角性質(zhì)求得∠BDC。

    解:如圖5,延長(zhǎng)CD,交AB于點(diǎn)E,

    ∵∠A=90°,∠C=32°,

    ∴∠DEB=∠A+∠C=90°+32°=122°。

    ∵∠B=21°,

    ∴∠BDC=∠DEB+∠B=122°+21°=143°。

    ∵工人量得這個(gè)零件的∠BDC=148°,

    ∴此零件不合格。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用題,解答關(guān)鍵是添加輔助線,構(gòu)造三角形,兩次利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”進(jìn)行求解、驗(yàn)證。

    四、妙用三角形內(nèi)角和,科學(xué)調(diào)整椅子角度

    例4 圖6是折疊式沙發(fā)椅的示意圖,相關(guān)數(shù)據(jù)已經(jīng)標(biāo)注在圖中。AE與BD的交點(diǎn)為C,且∠A、∠B、∠E的大小保持不變。為更舒適,需調(diào)整∠D的大小,使∠EFD=120°,則圖6中∠D應(yīng)____________(填“增加”或“減少”)____________°。

    【解析】如圖7,延長(zhǎng)EF,交CD于點(diǎn)G。先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB=75°,再利用“對(duì)頂角相等”可得∠GCE=∠ACB=75°,然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠FGD=105°,最后利用三角形的外角性質(zhì),求出調(diào)整后∠D的度數(shù)為15°。所以∠D應(yīng)減少5°。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)的綜合題,解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線,構(gòu)造新的三角形,利用三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)進(jìn)行求解。

    (作者單位:廣東省深圳市龍華中學(xué))

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