從函數(shù)觀念到函數(shù)思想:代數(shù)式的結(jié)構(gòu)化整體性教學(xué)*

劉志昂

(江蘇省蘇州市高新區(qū)第五初級中學(xué)校 215151)

1 函數(shù)觀念與函數(shù)思想

觀念是指思想意識,函數(shù)觀念即函數(shù)的思想意識．函數(shù)觀念是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,在沒有學(xué)習(xí)函數(shù)概念及相關(guān)性質(zhì)之前,用函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域和值域及函數(shù)的性質(zhì)等去理解、感悟一些潛在的函數(shù)關(guān)系,加深對數(shù)學(xué)知識的理解,是函數(shù)思想的滲透．

函數(shù)思想是人類在長期的社會實踐及理論推理中得出來的現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)公式之間的關(guān)系,是學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì)后,根據(jù)生活實際或者數(shù)學(xué)問題中的變量間的對應(yīng)關(guān)系,構(gòu)建函數(shù)模型,再運用函數(shù)知識解決問題．函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題最重要、最基本的思想方法之一．

2 結(jié)構(gòu)化整體性教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)指出:教學(xué)內(nèi)容是落實教學(xué)目標(biāo),發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體．在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系．一方面了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義,了解課程內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容的安排意圖;另一方面強(qiáng)化對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實背景,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā),建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)．通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容,幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣,發(fā)展核心素養(yǎng)．[1]85

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化整體性教學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),探尋結(jié)構(gòu)化的知識體系,重視“通性通法”的教學(xué)．引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中從整體上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容,積累學(xué)習(xí)的一般方法和基本思維經(jīng)驗,并遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)中,達(dá)到問題解決的目的．

3 基于函數(shù)觀念的代數(shù)式結(jié)構(gòu)化整體性教學(xué)

數(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)之一,是學(xué)生認(rèn)知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型的基石,可以幫助學(xué)生從數(shù)量的角度,清晰準(zhǔn)確地認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實世界[1]53．

用字母表示數(shù),拉開了代數(shù)式學(xué)習(xí)的序幕．在代數(shù)中,用字母表示數(shù)意味著字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運算和推理而得到一般性的結(jié)論,進(jìn)而用字母來表示數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系(相等關(guān)系和不等關(guān)系)以及兩個變量之間的關(guān)系,從而進(jìn)行代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)的學(xué)習(xí)．

代數(shù)中的用字母表示數(shù),連接了各類代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),形成結(jié)構(gòu),因而教學(xué)中更應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)的整體性和運算的一致性．

3.1 代數(shù)式教學(xué)中函數(shù)觀念的滲透

3.1.1 用字母表示數(shù)的教學(xué)

用基本運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式．由此可見,用字母表示數(shù)是代數(shù)式學(xué)習(xí)的基石．

《課標(biāo)2022》對第三學(xué)段(5～6年級)數(shù)量關(guān)系的學(xué)業(yè)要求中指出:能在具體情境中,探索用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的方法,感悟用字母表示的一般性[1]25．對第四學(xué)段(7～9年級)數(shù)與式的內(nèi)容要求中指出:借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式,能進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義[1]55．

在用字母表示數(shù)的教學(xué)中,許多版本的教材都選用了從特殊到一般的生活實例來引入．

人教版教材在章頭引言中給出這樣的實例與問題進(jìn)行引入:

例1青藏鐵路線上,在格爾木到拉薩之間有一段很長的凍土地段．列車在凍土地段、非凍土地段的行駛速度分別是100 km/h和120 km/h,請根據(jù)這些數(shù)據(jù)回答下列問題:

(1)列車在凍土地段行駛時,2 h行駛的路程是多少?3 h呢?th呢?[2]53

在《2.1 整式》的開始部分,給出如下的內(nèi)容:

我們來看本章引言中的問題(1)．

列車在凍土地段的行駛速度是100 km/h,根據(jù)速度、時間和路程之間的關(guān)系“路程等于速度乘以時間”,列車2 h行駛的路程(單位:km)是 100×2=200,列車3 h行駛的路程(單位:km)是100×3=300,列車th行駛的路程(單位:km)是100×t=100t①．

在式子①中,我們用字母t表示時間,用含有字母t的式子100t表示路程．[2]54

在教學(xué)中,教師會引導(dǎo)學(xué)生列出如上的算式,然后強(qiáng)調(diào)是一個從特殊到一般的過程,用字母來表示一個個具體的數(shù)．

再如蘇科版教材中有如下的一個問題:

例2用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片,按圖1的方式拼成正方形．

第(1)個圖形中有一個小正方形．

第(2)個圖形比第(1)個圖形多個小正方形．

第(3)個圖形比第(2)個圖形多個小正方形．

第(4)個圖形比第(3)個圖形多個小正方形．

第(10)個圖形比第(9)個圖形多幾個小正方形?第(100)個圖形比第(99)個呢?第(n)個圖形比第(n-1)個呢?[3]66-67

在教學(xué)中,教師同樣會引導(dǎo)學(xué)生解答上述問題,然后強(qiáng)調(diào)這是一個從特殊到一般的過程,用字母來表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系．

但是,如上的教學(xué)是不夠的．

上述的兩個例子中,都是從特殊的、具體的實例到一般的、抽象的用字母表示,這是一個非常典型的數(shù)學(xué)抽象．可是我們的教學(xué)不能僅僅停留在此,應(yīng)該滲透函數(shù)觀念．

我們知道,例1中的100t是t的函數(shù),第2個例子中n2是n的函數(shù)．建議例1的教學(xué)應(yīng)形成如下的表格:

時間…23…t路程…200300…100t

然后設(shè)計如下的追問:

1．路程和時間之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?(路程是時間的100倍,如果路程用s表示,則s=100t)

2．時間的變化對路程有什么影響?(路程隨時間的變化而變化,路程隨時間的增大而增大)

如上的設(shè)計,既明確了兩個變量(路程和時間)之間的對應(yīng)關(guān)系(路程隨時間的變化而變化),滲透了函數(shù)的概念,又明確了路程隨著時間的增大而增大,滲透了函數(shù)的單調(diào)性．

例2的教學(xué)應(yīng)形成如下的表格:

圖形序號1234…910…n-1n小正方形個數(shù)14916…81100…(n-1)2n2

然后設(shè)計如下的追問:

1．小正方形的個數(shù)與圖形序號之間有什么樣數(shù)量關(guān)系?(小正方形的個數(shù)是圖形序號的平方,如果第n個圖形中小正方形的個數(shù)用m表示,則m=n2)

2．圖形序號的變化對小正方形的個數(shù)有什么影響?(小正方形的個數(shù)隨圖形序號的變化而變化,小正方形的個數(shù)隨圖形序號的增大而增大)

3．相鄰兩個大正方形,后一圖形中的小正方形個數(shù)減去前一圖形中小正方形的個數(shù),其結(jié)果與圖形序號之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?圖形序號的變化對結(jié)果有什么影響?

教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過圖形的拼接與算式的規(guī)律探究,還可以概括出第(n)個圖形比第(n-1)個圖形多2n-1個小正方形．

如上的設(shè)計,依然明確了兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,滲透了函數(shù)的概念,又明確了兩個變量之間的變化規(guī)律,滲透了函數(shù)的單調(diào)性．

當(dāng)然,上面的兩個例子還可以從數(shù)列的視角進(jìn)行滲透與教學(xué),而數(shù)列則是建立在自然數(shù)集上的特殊的函數(shù),依然是函數(shù)觀念的滲透．

上述兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系(函數(shù)關(guān)系)的存在與成立,不僅僅是表示特定情境中的實際問題,還可以表示其他的實際問題與數(shù)學(xué)問題,所以人教版數(shù)學(xué)教材七年級上冊中明確指出:用字母表示數(shù)后,同一個式子可以表示不同的含義．其本質(zhì)上說明兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系(函數(shù)關(guān)系)可以賦予不同的實際情境來表示不同的實際問題．因而這樣的數(shù)學(xué)抽象的符號階段,可以擺脫具體的情境而去表示所有的具有同類特征的數(shù)學(xué)關(guān)系．正如史寧中教授所言:符號的表達(dá)必須擺脫具體內(nèi)容,否則這種表達(dá)將不具有一般性,在這種表述基礎(chǔ)上的計算和推理,也將不具有普適性[4]．

正是學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)(包括函數(shù)觀念的滲透),才使得代數(shù)式表示數(shù)與數(shù)量關(guān)系更具有抽象性、一般性與普適性,為其他代數(shù)式(整式、分式與二次根式等)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)．

3.1.2 “列代數(shù)式”的教學(xué)

《課標(biāo)2022》對第四學(xué)段(7～9年級)數(shù)與式的內(nèi)容要求中指出:分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系,并用代數(shù)式表示[1]55．這是對列代數(shù)式的要求．各個版本的教材均沒有單獨的列代數(shù)式的章節(jié),大多散落在用字母表示數(shù)或代數(shù)式的內(nèi)容之中,故在教學(xué)中容易不被重視而一帶而過．

在實際教學(xué)中,應(yīng)該重視列代數(shù)式的教學(xué),它與列方程、不等式和函數(shù)表達(dá)式一樣,可以描述實際生活問題或者其他數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系,是最基礎(chǔ)、最簡單、最一般的,與列方程、不等式和函數(shù)表達(dá)式有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)．

如滬科版數(shù)學(xué)教材中有這樣一道例題:

例3用代數(shù)式表示:把a本書分給若干名學(xué)生,若每人5本,尚余3本,求學(xué)生數(shù)[5]60．

在后續(xù)的教學(xué)中,若給出具體的學(xué)生數(shù)求a的值,則轉(zhuǎn)化為列方程解決問題;若給出學(xué)生數(shù)的范圍,則轉(zhuǎn)化為列不等式解決實際問題;若給出學(xué)生數(shù)為x,則轉(zhuǎn)化為a與x之間的函數(shù)關(guān)系．

3.1.3 “求代數(shù)式的值”的教學(xué)

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算得出的結(jié)果叫作代數(shù)式的值．《課標(biāo)2022》對第四學(xué)段(7～9年級)數(shù)與式的內(nèi)容要求中指出:會把具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計算[1]55．這是對求代數(shù)式的值的要求．許多版本的教材有專門的代數(shù)式的值的章節(jié)．

如滬科版教材部分內(nèi)容如下:

算一算,你每天需要多少睡眠時間?[5]65

這里的關(guān)系式表示的是睡眠時間與年齡這兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,是它們之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式,而求30歲人的睡眠時間則是已知自變量的值(n=30)求對應(yīng)的函數(shù)值(t),是對函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的滲透．

后面的算一算,由于學(xué)生的年齡會存在著差異,所以計算時自變量的值會有不同,因而計算的結(jié)果也會有所差別,說明“對于x的每一個值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng)”,又是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的滲透．

蘇科版教材在相應(yīng)位置設(shè)置了如下的一個探究過程:

填表:

x-3-2-101232x-1-3xx2

根據(jù)所填表格,討論下列問題:

(1)當(dāng)x為何值時,代數(shù)式2x-1的值等于-1?

(2)隨著x的值的增大,代數(shù)式2x-1,-3x的值怎樣變化?

(3)隨著x的值的增大,代數(shù)式x2的值怎樣變化?[3]75

如上的探究活動中,(1)是對函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的滲透,(2)和(3)則是對函數(shù)單調(diào)性的滲透．接著教材中明確指出:一般的,代數(shù)式的值隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化．教學(xué)時,教師應(yīng)該帶著學(xué)生深刻理解它的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,用函數(shù)觀念去分析、理解它,厘清代數(shù)式與函數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),形成結(jié)構(gòu)化的整體性教學(xué)．

3.2 代數(shù)式教學(xué)中函數(shù)思想的統(tǒng)領(lǐng)

3.2.1 用代數(shù)式的知識促進(jìn)對函數(shù)的理解

學(xué)習(xí)了函數(shù)之后,已知函數(shù)表達(dá)式和自變量的值求對應(yīng)的函數(shù)值,就是將自變量的確定值代入解析式求代數(shù)式的值;求函數(shù)值等于零、大于零或小于零時的自變量的值或取值范圍,可以將函數(shù)表達(dá)式(代數(shù)式)大于零、等于零和小于零轉(zhuǎn)化為方程或者不等式來求解．從這個角度來說,代數(shù)式是構(gòu)成函數(shù)的基本單位,是連接函數(shù)與方程、不等式的紐帶．用代數(shù)式的知識促進(jìn)對函數(shù)的理解也是一種結(jié)構(gòu)化的整體性教學(xué)．

3.2.2 用函數(shù)的思想促進(jìn)對代數(shù)式的理解

學(xué)習(xí)了函數(shù)之后,學(xué)生便具備了函數(shù)思想．在復(fù)習(xí),尤其是總復(fù)習(xí)時,對于代數(shù)式便可以明確地說,代數(shù)式的值與代數(shù)式所含字母是變量之間的對應(yīng)關(guān)系,代數(shù)式的值是代數(shù)式所含字母的函數(shù),它隨著字母取值的變化而變化．此時,教師帶著學(xué)生用函數(shù)的思想重新審視學(xué)習(xí)過的代數(shù)式內(nèi)容,加深學(xué)生對代數(shù)式的理解,有利于他們高階思維的形成．

至此,在代數(shù)式、方程和不等式中滲透函數(shù)觀念,以及用函數(shù)思想統(tǒng)領(lǐng)代數(shù)式、方程和不等式的學(xué)習(xí),便構(gòu)建了如圖2的一個學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)．

圖2

用函數(shù)的思想統(tǒng)領(lǐng)代數(shù)式的學(xué)習(xí),關(guān)聯(lián)著方程和不等式的相關(guān)知識,將初中階段學(xué)習(xí)的數(shù)與式內(nèi)容連成一體,讓學(xué)生感悟一般的思維策略和學(xué)習(xí)策略,促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)．

4 結(jié)束語

代數(shù)式教學(xué)中函數(shù)觀念的滲透和函數(shù)思想的統(tǒng)領(lǐng),使代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)組成了結(jié)構(gòu)化的有機(jī)體,有利于從整體上認(rèn)識數(shù)學(xué)知識及其內(nèi)在關(guān)聯(lián),形成知識結(jié)構(gòu)與知識體系．利用數(shù)學(xué)對象的發(fā)生發(fā)展過程和相互聯(lián)系而使學(xué)生認(rèn)識它的內(nèi)容,利用內(nèi)容的各種表現(xiàn)形式及其運動變化,而使學(xué)生深刻理解并掌握數(shù)學(xué)知識的精神實質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法,是數(shù)學(xué)教學(xué)中提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的根本保證[8]．

鄭毓信教授認(rèn)為:“(數(shù)學(xué))深度教學(xué)”的主要含義是數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識和技能深入到思維的層面,由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般的思維策略與思維品質(zhì)的提升[9]．由此,從函數(shù)觀念到函數(shù)思想的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)化整體性教學(xué)是深度教學(xué)．