探索教學(xué)新路徑 提高學(xué)生思考力

王素沙

【摘 要】課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式直接影響學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的感知與理解。數(shù)學(xué)新課標(biāo)強調(diào)對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，將具有一致學(xué)科本質(zhì)特征的內(nèi)容整合為一個主題，幫助學(xué)生整體理解和把握課程內(nèi)容。本文以“數(shù)與運算”和“圖形的認(rèn)識與測量”兩個主題的相關(guān)內(nèi)容為例，探討應(yīng)如何通過內(nèi)容的整體分析和教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生掌握核心概念，促進(jìn)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和遷移，提高學(xué)生的思考力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)與運算 圖形的認(rèn)識與測量 學(xué)科本質(zhì) 數(shù)學(xué)思考力

課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式直接影響學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的感知與理解?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強調(diào)對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，將具有一致學(xué)科本質(zhì)特征的內(nèi)容整合為一個主題，可以幫助學(xué)生整體理解和把握課程內(nèi)容。

一、數(shù)與運算

數(shù)學(xué)新課標(biāo)中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，將原來的數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算整合為數(shù)與運算，更好地體現(xiàn)了數(shù)的認(rèn)識與運算的聯(lián)系，有助于學(xué)生從整體上理解、掌握數(shù)與運算的本質(zhì)和關(guān)鍵內(nèi)容，也有助于學(xué)生全面地思考問題，提高學(xué)生的思考力。

數(shù)是運算的基礎(chǔ)，運算是數(shù)的應(yīng)用。數(shù)是基于計數(shù)單位的表達(dá)，運算是尋求計數(shù)單位及其計數(shù)單位的個數(shù)，它們都基于計數(shù)單位。在數(shù)的認(rèn)識方面，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識都可以看成計數(shù)單位的“累積”。在數(shù)的運算方面，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法，無論是整數(shù)的末尾對齊、小數(shù)的小數(shù)點對齊，還是分?jǐn)?shù)的通分，都是將相同計數(shù)單位的個數(shù)進(jìn)行加減。難點在于乘除法的一致性。

（一）乘法教學(xué)一致性

整數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法都是根據(jù)乘法的意義進(jìn)行教學(xué)的，但小數(shù)乘法是根據(jù)積的變化規(guī)律進(jìn)行教學(xué)的。教材是按照先學(xué)習(xí)整數(shù)乘法，再學(xué)習(xí)小數(shù)乘法，最后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的順序編排的。在根據(jù)積的變化規(guī)律進(jìn)行小數(shù)乘法的教學(xué)時，學(xué)生較難理解“越乘越小”的問題，解答這個困惑仍需借助小數(shù)乘法的意義。因此，教師不妨嘗試根據(jù)小數(shù)乘法的意義進(jìn)行小數(shù)乘法的教學(xué)。

利用小數(shù)乘法的意義教學(xué)小數(shù)乘法離不開計數(shù)單位乘計數(shù)單位，為了讓學(xué)生更好地理解0.1×0.1=0.01，教師除了借助數(shù)位順序表、方格圖等，在教學(xué)整數(shù)乘法時也可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)計數(shù)單位乘計數(shù)單位。因此，學(xué)習(xí)乘法的整體思路應(yīng)該是“乘法意義—表內(nèi)乘法—10×10，10×100等計數(shù)單位乘計數(shù)單位—整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)或整百數(shù)—多位數(shù)乘一位數(shù)—兩位數(shù)乘兩位數(shù)—三位數(shù)乘兩位數(shù)—小數(shù)乘整數(shù)—小數(shù)計數(shù)單位乘小數(shù)計數(shù)單位—其他小數(shù)乘法—分?jǐn)?shù)乘整數(shù)—分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位—真分?jǐn)?shù)乘真分?jǐn)?shù)—假分?jǐn)?shù)乘假分?jǐn)?shù)—整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的聯(lián)系”。

這樣重新規(guī)劃教學(xué)路徑，學(xué)生才能在整數(shù)乘法中打好基礎(chǔ)；在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法后找到思考方向；在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時能樂于思考、自主規(guī)劃學(xué)習(xí)方向，提高思考力，培養(yǎng)遷移能力，在整體回顧比較整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的過程中思考乘法運算的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)核心概念。

（二）除法教學(xué)一致性

目前整數(shù)除法和小數(shù)除法都是一個計數(shù)單位一個計數(shù)單位地分，當(dāng)計數(shù)單位不夠分時細(xì)分計數(shù)單位后繼續(xù)分，但分?jǐn)?shù)除法則是根據(jù)逆運算——除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)來教學(xué)的，學(xué)生理解起來有困難。為了實現(xiàn)除法教學(xué)的一致性，在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法時，教師不妨仍然細(xì)分計數(shù)單位。例如， ÷4= ÷4=， ÷= ÷ =14÷15=。通過這樣一致性的教學(xué)路徑，相信學(xué)生一定能根據(jù)學(xué)習(xí)整數(shù)和分?jǐn)?shù)的除法的經(jīng)驗基礎(chǔ)，進(jìn)行一致性的思考，合理進(jìn)行方法的遷移。

（三）溝通四則運算

小學(xué)階段數(shù)的運算主要是四則運算，從運算的本質(zhì)來說，加法是所有運算的基礎(chǔ)，一切運算都可以從加法推演出來。數(shù)的運算最早是從數(shù)的累加開始的，加法運算與自然數(shù)的產(chǎn)生是同步的。自然數(shù)從1開始，在后面不斷累加“1”，就產(chǎn)生更大的數(shù)。用這樣的方式表示更大的數(shù)的時候，就出現(xiàn)了進(jìn)位制，如大部分都是十進(jìn)制。減法是加法的逆運算，與自然數(shù)的產(chǎn)生和加法運算直接相關(guān)。乘法是加法的簡便運算，本質(zhì)上也是加。乘法口訣只表示加的結(jié)果，省略了加的過程。除法是乘法的逆運算。直接從乘法的本質(zhì)理解除法，就是減去若干個相同的數(shù)。

四則運算是相互聯(lián)系的，在學(xué)習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助實際情境，在進(jìn)一步理解加、減、乘、除運算意義的基礎(chǔ)上，溝通它們之間的聯(lián)系，將所學(xué)知識形成體系，理解加、減、乘、除一致性的問題，把握學(xué)科本質(zhì)。

案例一：北京版數(shù)學(xué)二年級上冊“加減乘除的整理與復(fù)習(xí)”

活動一：復(fù)習(xí)加法和乘法的聯(lián)系。

①芳芳用小棒搭四邊形，搭了7個，一共用了多少根小棒？

加法算式：4+4+4+4+4+4+4=28

乘法算式：7×4=28 或 4×7=28 （強調(diào)乘法算式表示的意義：7個4是28）

乘法口訣：四七（二十八）

②麗麗用小棒搭七邊形，搭了4個，一共用了多少根小棒？

加法算式：7+7+7+7 =28

乘法算式：7×4=28 或 4×7=28 （強調(diào)乘法算式表示的意義：4個7是28）

乘法口訣：四七（二十八）

活動二：復(fù)習(xí)減法和除法的聯(lián)系。

①芳芳用28根小棒搭四邊形，可以搭幾個呢？（28里有幾個4）

減法算式： 28-4-4-4-4-4-4-4=0（追問算式的意思）

除法算式： 28÷4=7

乘法口訣：四（七）二十八

②麗麗用28根小棒搭七邊形，可以搭幾個呢？（28里有幾個7）

減法算式：28-7-7-7-7=0 （追問算式的意思）

除法算式：28÷7=4

乘法口訣：（四）七二十八

活動三：討論加、減、乘、除的聯(lián)系。根據(jù)乘法口訣“四七二十八”你能想到哪些算式呢？請你寫一寫，講一講算式背后的故事。

學(xué)生在講算式背后故事的過程中，理解了加、減、乘、除之間的聯(lián)系。在這部分內(nèi)容中，學(xué)生容易理解的是加法和減法互為逆運算、乘法和除法互為逆運算。對于乘法是加法的簡便運算學(xué)生比較有經(jīng)驗，但在理解除法是減法的簡便運算時有困難。下面分享除法初步認(rèn)識（平均分）的教學(xué)片段。

案例二：北京版數(shù)學(xué)二年級上冊“除法的初步認(rèn)識”（平均分）

有12塊糖，分給3個小朋友，要讓每個小朋友分的糖一樣多，請你分一分。

活動要求：（1）請你分一分；（2）要讓人看出你分的過程（每一次怎么分的）。

匯報交流：

方法一：分4次分完，每次每人1塊糖，分完后每人4塊糖。學(xué)生分一次，教師板書一步分的算式。（見圖1）

方法二：分2次分完，每次每人分2塊糖，分完后每人4塊糖。學(xué)生分一次，教師板書一步分的算式。（見圖2）

方法三：1次分完，每人4塊糖。（見圖3）

在分糖的活動中，教師每一次板書減法算式，都能讓學(xué)生體會到平均分與減法的聯(lián)系，為學(xué)生體會除法和減法的關(guān)系做好了鋪墊。

從數(shù)的運算本質(zhì)思考，學(xué)生想獲得數(shù)學(xué)核心知識、把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)及思想方法、提高思維能力、發(fā)展核心素養(yǎng)，都需要教師精心設(shè)計教學(xué)，抓住知識間的內(nèi)在聯(lián)系，把一個個知識點轉(zhuǎn)化成知識的網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生在解決問題的過程中提高思考能力。

二、圖形的認(rèn)識與測量

圖形的認(rèn)識與測量密不可分，數(shù)學(xué)新課標(biāo)對圖形與幾何內(nèi)容進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化整合，將圖形的認(rèn)識與圖形的測量整合成一項主題內(nèi)容。為了幫助學(xué)生理解度量本質(zhì)，培養(yǎng)其空間觀念和推理意識，逐步形成聯(lián)系地看問題的思維方式，形成結(jié)構(gòu)化的思維方式，提高學(xué)生的思考力，在教學(xué)長度、面積與體積時，教師應(yīng)該建立概念與度量的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生能遷移和理解它們概念本質(zhì)的一致性和度量本質(zhì)的一致性。

長度、面積、體積都以單位測量為核心，需要學(xué)生在經(jīng)歷單位的建立中形成量感。量感的培養(yǎng)離不開度量單位產(chǎn)生的必要性，離不開統(tǒng)一度量單位的必要性，離不開換算度量單位的必要性，離不開感知度量工具產(chǎn)生的誤差，離不開正確估計大小。

只有在長度單位的學(xué)習(xí)中打好基礎(chǔ)，在面積單位的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步感受度量單位產(chǎn)生的必要性、統(tǒng)一度量單位的必要性等，才能在體積單位的學(xué)習(xí)中，學(xué)會思考、學(xué)會遷移，學(xué)會用定量的方式思考和解決問題。

案例三：北京版數(shù)學(xué)三年級下冊“面積和面積單位”

活動一：

說清楚圖4中①比②大多少，在這個活動中，學(xué)生從感性認(rèn)知上升到度量意識，感受產(chǎn)生單位的必要性。

活動二：設(shè)計不同的學(xué)具（大正方形、小正方形、圓形等）去量，選擇合適的度量單位。在匯報過程中發(fā)現(xiàn)結(jié)果不一致，體會統(tǒng)一單位的必要性。

案例四：北京版數(shù)學(xué)五年級下冊“體積和體積單位”

活動一：

說清楚圖5中①比②大多少。在活動中感受產(chǎn)生單位的必要性。

活動二：設(shè)計不同的學(xué)具（大正方體、小正方體、球體等）去量，選擇合適的度量單位。在匯報過程中發(fā)現(xiàn)結(jié)果不一致，體會統(tǒng)一單位的必要性。

長度、面積和體積的學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷概念的建立、比較方法的運用、測量工具的選擇和測量單位的產(chǎn)生等，這樣一致性的教學(xué)更能培養(yǎng)學(xué)生全面地去思考問題，從而理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

以上結(jié)合具體教學(xué)案例分析了“數(shù)與運算”和“圖形的認(rèn)識與測量”這兩個主題的教學(xué)實施路徑，這樣的教學(xué)實踐能促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)核心概念，促進(jìn)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和遷移，提高學(xué)生的思考力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。