一道橢圓三點(diǎn)共線問題的探究

孫丕訓(xùn)　潘欣桐

在我們研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)或探索某問題的內(nèi)在規(guī)律時(shí)，適當(dāng)?shù)貙?duì)題目條件進(jìn)行弱化是一種非常有效的方法.本文從2021年朝陽區(qū)二模解析幾何解答題出發(fā)，將其條件進(jìn)行適當(dāng)弱化，得到該問題背后的規(guī)律，并將得到的規(guī)律推廣到雙曲線中.

猜想1 已知圓錐曲線C：mx2+ny2=1（mn≠0），直線l經(jīng)過定點(diǎn)B（x0，y0）且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N.E（s，t）是過點(diǎn)B且與直線mx0x+ny0y=1垂直的直線上的定點(diǎn).設(shè)直線EM，EN分別與直線mx0x+ny0y=1交于兩點(diǎn)P，Q，線段MN，PQ的中點(diǎn)分別為G，H，則直線GH必過定點(diǎn).

猜想2 已知拋物線C：y2=2px（p>0），直線l經(jīng)過定點(diǎn)B（x0，y0）且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N.D（s，t）是過點(diǎn)B且與直線y0y=p（x+x0）垂直的直線上的定點(diǎn).設(shè)直線EM，EN分別與直線y0y=p（x+x0）交于兩點(diǎn)P，Q，線段MN，PQ的中點(diǎn)分別為G，H，則直線GH必過定點(diǎn).