建模：激活數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)新動能

王余娟　殷長征　王飛

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》確定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，具有思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀等數(shù)學(xué)基本特征，是一個相對獨(dú)立又相互交融的有機(jī)整體.其中，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中極為重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是對現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題進(jìn)行提煉、抽象為數(shù)學(xué)模型，求出數(shù)學(xué)模型的解，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的合理性，并用數(shù)學(xué)模型提供的結(jié)論再來解釋實(shí)際問題的一種應(yīng)用過程.通過建立和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題，引領(lǐng)學(xué)生把復(fù)雜問題簡單化、疑惑問題明晰化，從而增強(qiáng)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、建構(gòu)微觀數(shù)學(xué)模型，聚焦模塊知識浸潤核心素養(yǎng)

任何學(xué)科體系都是由不同模塊知識組成的，通過統(tǒng)計2021年全國甲卷理科數(shù)學(xué)考查模塊基礎(chǔ)知識的內(nèi)容高達(dá)60%，其中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)22分、空間向量與立體幾何22分、解析幾何22分、概率統(tǒng)計29分、三角函數(shù)與三角恒等變換15分、數(shù)列12分.由此可見，高中數(shù)學(xué)教師在建構(gòu)微觀數(shù)學(xué)模型時，必須充分利用教材模塊基礎(chǔ)知識幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)建模思路，激發(fā)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)模塊知識，深入鉆研模塊知識，準(zhǔn)確探析模塊知識的來源，靈活運(yùn)用模塊知識突破教學(xué)重難點(diǎn)，聚焦數(shù)學(xué)模塊知識浸潤數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例1 假設(shè)你要將手中的資金用于投資，根據(jù)實(shí)際情況有三個投資方案可供選擇.

投資方案一：每天平均回報80元；

投資方案二：第一天回報20元，此后每一天的回報比前一天的回報多20元；

投資方案三：第一天回報0.8元，此后每一天的回報比前一天的回報翻一番.

結(jié)合題中的三個投資方案，教師有針對性地運(yùn)用一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行教學(xué)，要求學(xué)生結(jié)合所學(xué)模塊知識自主探究、合作建構(gòu)解題模型，潛移默化領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想，循序漸進(jìn)掌握數(shù)學(xué)建模方法，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定堅實(shí)的模塊知識基礎(chǔ).

案例2 在進(jìn)行“一元二次不等式”教學(xué)時，可以從具體實(shí)例引出二次不等式，再引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)角度去解二次不等式，總結(jié)出解一元二次不等式的一般步驟，最后鞏固練習(xí)并以開放性數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的提出和解決結(jié)束本節(jié)課.本節(jié)課通過建構(gòu)適切教學(xué)模型，靈活使用建模方法和技巧，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維潛能，提升學(xué)生核心素養(yǎng)，高效完成學(xué)習(xí)任務(wù).已知某地區(qū)50cm到160cm未成年男性平均體重與某未成年男生身高、體重，根據(jù)電子秤判斷標(biāo)準(zhǔn)，分析判斷該男生體重是否處于正常范圍？教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用已知條件繪制散點(diǎn)圖，再指導(dǎo)學(xué)生利用散點(diǎn)圖繪制函數(shù)曲線圖，建構(gòu)二次函數(shù)模型，最后要求學(xué)生自主檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，使解題思路變得更明晰，解題效果更高效.

二、建構(gòu)中觀數(shù)學(xué)模型，整合學(xué)科要素提升核心素養(yǎng)

近幾年，我國高考改革不斷深入，高考數(shù)學(xué)試題逐漸加大了對數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用能力的考查，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求越來越高，僅靠掌握、理解、運(yùn)用單一的模塊知識已經(jīng)難以達(dá)到應(yīng)對高考的需要，必須著力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識，圍繞數(shù)學(xué)綜合類問題提取高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識，按照數(shù)學(xué)知識的性質(zhì)和邏輯線索強(qiáng)力錘煉學(xué)生綜合應(yīng)用知識能力，引導(dǎo)學(xué)生熟練運(yùn)用所學(xué)多要素數(shù)學(xué)知識，科學(xué)設(shè)計解題路徑，精準(zhǔn)建構(gòu)中觀數(shù)學(xué)模型，通過整合數(shù)學(xué)學(xué)科要素知識提升核心素養(yǎng).

伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們常常需要對網(wǎng)絡(luò)、文本、聲音、圖像等大量信息進(jìn)行數(shù)字化處理，高考數(shù)學(xué)試卷也普遍強(qiáng)化了對考生數(shù)學(xué)建模能力的考查，使數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)、研究、運(yùn)用得到很大發(fā)展.例如2021年新高考Ⅰ卷第16題以折紙對折不同次數(shù)后得到的不同規(guī)格圖形種數(shù)及面積之和為研究目的，要求學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具.試題重點(diǎn)考查了考生數(shù)學(xué)建模思維，尤其是整合數(shù)列求和、錯位相減法等知識的能力，啟示我們在教學(xué)中要善于整合學(xué)科要素知識，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，進(jìn)一步確定參數(shù)、計算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

案例3 在教學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)“函數(shù)”時，教師可以先要求學(xué)生認(rèn)真復(fù)習(xí)鞏固以前學(xué)過的知識，以初中階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容為輔助，運(yùn)用多媒體設(shè)備創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，使用動畫等形式對函數(shù)相關(guān)要素直觀演示，對函數(shù)的概念、函數(shù)的特征等內(nèi)容做重點(diǎn)解析，列出變量x、y之間的關(guān)系，然后再適時引入函數(shù)概念的三個要素，從映射的角度入手全面分析、理解、剖析問題.在此過程中，教師需要利用學(xué)生掌握的已有知識滲透新知識、拓展新思維、突破新問題，引導(dǎo)學(xué)生了解什么是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、如何建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，以便于學(xué)生更加直觀地開展學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、建構(gòu)宏觀數(shù)學(xué)模型，植根客觀實(shí)際強(qiáng)化核心素養(yǎng)

建構(gòu)宏觀數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模的高級階段，它需要站在立德樹人的高度審視數(shù)學(xué)教育，著眼學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展從不同角度培養(yǎng)他們真、善、美的品質(zhì)和創(chuàng)造力，植根客觀實(shí)際廣泛利用社會主義建設(shè)成果等拓展數(shù)學(xué)廣度、挖掘數(shù)學(xué)深度、增強(qiáng)數(shù)學(xué)活度.為此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)緊跟高考數(shù)學(xué)改革發(fā)展的趨勢，常態(tài)化關(guān)注數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)知識同客觀現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)文化緊密結(jié)合，定期或不定期地組織學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)活動，推動學(xué)生在社會實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生在開放性的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，提煉現(xiàn)實(shí)情境、設(shè)置數(shù)學(xué)問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，全面強(qiáng)化學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2021年高考數(shù)學(xué)試題貫徹全面育人要求，注重數(shù)學(xué)文化育人功能，充分發(fā)揮高考數(shù)學(xué)試題深化教學(xué)改革、提高教育質(zhì)量的作用.其中，2021年全國甲卷理科第2題以調(diào)查農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況為背景，反映國家關(guān)心農(nóng)村發(fā)展，著力提高農(nóng)民收入，展示國家實(shí)施“三農(nóng)”政策取得的成果，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心農(nóng)村的現(xiàn)狀與發(fā)展.2021年北京卷第18題，以大規(guī)模核酸檢測等客觀實(shí)際情況為情境，介紹“k合1檢測法”，展現(xiàn)了我國快速檢測新冠病毒的能力：“為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取‘k合1檢測法，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測.”然后，精心設(shè)計具體情境考查考生的解析能力，諸如此類考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題，北京卷至少設(shè)計了3道試題，如第8題的降雨量測量的體積模型，第21題第（Ⅲ）問中歸納、建構(gòu)的“自變量為正整數(shù)的取整函數(shù)”的數(shù)列模型等.這些開放性高考試題的命制與考查，都呼喚數(shù)學(xué)教師盡快打破陳舊的教學(xué)方法和教學(xué)理念，樹立大教學(xué)觀和大數(shù)學(xué)觀，建構(gòu)宏觀數(shù)學(xué)模型.

數(shù)學(xué)建模與現(xiàn)實(shí)生活相互聯(lián)系、密不可分.教師可以利用日常生活實(shí)例為情境設(shè)置數(shù)學(xué)試題，立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識，嘗試建立問題情境與教材知識之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生主動思考問題的欲望，訓(xùn)練學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本技能，逐步樹立數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).假設(shè)“在北京冬奧會舉辦期間，某啡館開展商品促銷活動，凡在該商店購買、消費(fèi)咖啡，可以使用兩個本店咖啡杯兌換一杯咖啡，某運(yùn)動員購買了8杯咖啡請客，在回收空杯后，可以喝到多少杯咖啡？如果購買12杯又能喝到多少杯咖啡？”如此從實(shí)際生活中搜集與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的素材，將實(shí)際生活問題數(shù)學(xué)化，促使學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、加工制作數(shù)學(xué)問題，根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題中的數(shù)量關(guān)系、函數(shù)關(guān)系等建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.

伴隨《中國高考評價體系》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的先后實(shí)施，新一輪高考數(shù)學(xué)改革正進(jìn)一步深入推進(jìn)，全國范圍內(nèi)的新高考數(shù)學(xué)全面貫徹高考評價體系的要求，更新評價理念，堅持改革創(chuàng)新，著眼于培養(yǎng)核心素養(yǎng)的教育目標(biāo)，致力于實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)，在試卷結(jié)構(gòu)、題型設(shè)置、考試內(nèi)容、難度梯度等方面進(jìn)行了大膽創(chuàng)新，特別是命制了許多考查數(shù)學(xué)建模的試題，充分展示了高考數(shù)學(xué)的導(dǎo)向性、時代性、科學(xué)性、選拔性.面對新高考的新挑戰(zhàn)，我們必須應(yīng)時而動、順勢而為，把握機(jī)遇，踔厲奮發(fā)，科學(xué)地把握高考數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系，從微觀、中觀、宏觀三個維度建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，錘煉學(xué)生建模品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生思維潛能，優(yōu)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展.

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本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“設(shè)計思維視角下高中數(shù)學(xué)‘問題鏈的設(shè)計研究”（課題編號：B-a/2020/02/14），江蘇省教科院現(xiàn)代教育技術(shù)研究院立項(xiàng)課題“信息技術(shù)環(huán)境下基于設(shè)計思維的數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)策略研究（課題編號：2019-R-79725）階段研究成果.