基于大觀念、大問題視角下的數(shù)學(xué)深度教學(xué)

劉鑫鈞

1 問題的提出

新課程改革以來，自主、合作的探究式課堂精彩紛呈.因此，如何讓學(xué)生在教師引領(lǐng)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性且揭示本質(zhì)的問題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的深度教學(xué)就顯得尤為重要.由于人們總是在一定觀念指導(dǎo)或影響下進(jìn)行活動［1］，而問題又是數(shù)學(xué)的心臟，因此，以怎樣的觀念“指路”，設(shè)計怎樣的問題“引路”，實現(xiàn)課堂的深度教學(xué)就成為一個重要的課題.基于這一問題，本文從大觀念、大問題的視角出發(fā)，探究如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的深度教學(xué).這就需要厘清三個問題：大觀念、大問題是什么？什么教學(xué)才是深度教學(xué)？基于大觀念、大問題怎樣實施深度教學(xué)從而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

2 問題的解決

2.1 大觀念、大問題與深度教學(xué)的理解

2.1.1 大觀念與大問題

大觀念不是具體的信息、知識和概念，而是信息的聯(lián)結(jié)者、知識的組織者和概念的搭建者.換言之，大觀念指的是知識背后的知識，概念背后的概念，是知識和概念的上層組織者.康德指出：“人類所有的認(rèn)識都是以觀察為起點，然后成了概念，最后以觀念作為終站.”［2］康德認(rèn)為觀念就是概念的概念，是知識的最高形態(tài).

大觀念具有四個基本的特征：首先，大觀念是一種聯(lián)結(jié)，居于學(xué)科核心；其次，大觀念具有可遷移性和持久性；再次，大觀念是抽象的，習(xí)得過程緩慢；最后，大觀念的表述方式是多樣的［3］.大觀念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)如下：第一，大觀念是數(shù)學(xué)學(xué)科最基礎(chǔ)、最本質(zhì)、最核心的觀念，能夠反映數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征和規(guī)律；第二，大觀念是學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠逐漸形成的，只有理解這些大觀念，才能深切體會數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；第三，大觀念是對數(shù)學(xué)問題發(fā)展、變化的基本判斷，有利于豐富學(xué)生對問題本質(zhì)的認(rèn)識，從而涵養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

大問題是“能夠鼓勵、啟發(fā)甚至是要求學(xué)生超越特定的主題而幫助學(xué)生對所學(xué)知識達(dá)到更系統(tǒng)、更深入的理解的可遷移的問題［3］.大問題不著眼于解決某個具體知識點或具體的問題，而是在大觀念的基礎(chǔ)上形成的更開放的、更具反思性和整合性的元問題.大問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心問題，是滲透、落實大觀念重要且基本的載體.

大問題具有三個基本的特征：首先，大問題具有開放性：大問題不是事實性問題，不對細(xì)節(jié)提問，不追求標(biāo)準(zhǔn)答案.其次，大問題具有整合性：大問題之“大”并不是抽象的大，大問題必須落實在學(xué)科知識基礎(chǔ)之上，必須著眼于核心素養(yǎng)的落實.大問題能促進(jìn)知識的整合，打破知識、專題的隔閡，以整體思考代替單點突破式的零散學(xué)習(xí).最后，大問題具有反思性與迭代性.大問題不是一次就能解決的，大問題會隨著學(xué)習(xí)深入而不斷迭代升級，從而實現(xiàn)對大觀念進(jìn)一步深入的感悟與理解.

2.1.2 深度教學(xué)

深度教學(xué)是讓學(xué)生深度參與教學(xué)過程且深刻把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué).對“深度參與”而言，僅靠記憶、理解等是不夠的，還需要操作、體驗、批判、反思等學(xué)習(xí)活動；對于“深刻把握”而言，僅記住知識的符號、含義是不夠的，還必須把握知識背后的價值、邏輯、方法以及運用知識進(jìn)行創(chuàng)造.“深度教學(xué)，并不追求教學(xué)內(nèi)容的深度和難度，不是指教學(xué)內(nèi)容越深越好，而是相對于知識的內(nèi)在構(gòu)成要素而言，知識教學(xué)不停留在符號層面，而是豐富教學(xué)的層次，實現(xiàn)知識教學(xué)的豐富價值.

深度教學(xué)具有兩個基本的特征：第一，“深度參與教學(xué)過程”的目的是實現(xiàn)學(xué)生與學(xué)習(xí)內(nèi)容的充分互動，這是深度教學(xué)的過程性特征.深度教學(xué)必須讓學(xué)生充分地參與教學(xué)過程，因此教師只能進(jìn)行“有限教導(dǎo)”.在教學(xué)中，教師必須盡力控制自己的講授、指導(dǎo)，給學(xué)生充足的學(xué)習(xí)機會：一方面，教師要“少講”，以便給學(xué)生足夠的學(xué)習(xí)時間；另一方面，教師要“隱身”，以便讓學(xué)生全身心地投入學(xué)習(xí).第二，“深刻把握學(xué)習(xí)內(nèi)容”是指要實現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗體系的充分融合，這是深度教學(xué)的結(jié)果性特征.因此教師應(yīng)充分利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，通過創(chuàng)設(shè)問題情境將新知識與學(xué)生已有的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，讓知識學(xué)習(xí)成為一個從學(xué)生內(nèi)心生長出來的過程，而不是一個從外部強加的過程.生活情景或問題情境的創(chuàng)設(shè)，使理論知識得以活化，讓知識有了靈性.教學(xué)應(yīng)該“由‘抽象知識轉(zhuǎn)向‘具體情境，注重營造學(xué)習(xí)情境的真實性”［4］.

2.2 基于大觀念、大問題的數(shù)學(xué)深度教學(xué)策略

在進(jìn)行深度教學(xué)時，我們首先要明確，什么樣的大觀念是學(xué)生通過不斷訓(xùn)練可以逐漸習(xí)得的，“大問題”教學(xué)中又應(yīng)當(dāng)設(shè)計怎樣的問題？本文以2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第22題為例，提出筆者的一些思考.

通過對比題源與高考真題，我們發(fā)現(xiàn)無論是題干信息，還是解法套路，相似度極高.那么有個疑問自然就擺在面前：為什么講過的題型學(xué)生在考試中不能獨立解決？對于這個問題，每位教師可能有不同的回答，但是有一個不爭的事實就是，高三的題海訓(xùn)練是在機械、記憶等低層次的水平上訓(xùn)練.這種過度的訓(xùn)練，學(xué)生的思維不但不能得到提升，反而定勢，教師的教學(xué)行為來源于教師的教學(xué)觀念，這種觀念就是，通過大量做題，就能提高學(xué)生解題能力.事實上，很多學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)之后，學(xué)生的解題水平就定格了，在后面的二輪、三輪復(fù)習(xí)中幾乎得不到發(fā)展.怎么解決呢？這就要求教師在教學(xué)過程中必須要有“大觀念”，并且在教學(xué)過程中能設(shè)計“大問題”，滲透這種大觀念，從而積累基本的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)解題水平.

2.2.1 立足化歸樹立“同構(gòu)”大觀念，培養(yǎng)學(xué)生深度觀察能力

何為“同構(gòu)”，下面以2021屆八省聯(lián)考第8題為例具體闡述“同構(gòu)”的具體內(nèi)涵.

例2 已知a

A.c

從結(jié)構(gòu)上看，ae5=5ea，be4=4eb，ce3=3ec具有某種相似性，但又沒顯現(xiàn)出來，能否將內(nèi)隱的一致結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出來呢？若將三個式子變成eaa=e55，ebb=e44，ecc=e33，這樣三個式子在形式上結(jié)構(gòu)相同，從而想到構(gòu)造函數(shù)f（x）=exx.

要發(fā)現(xiàn)同構(gòu)，則需要對試題進(jìn)行深度的觀察，巧妙的變形，將試題內(nèi)部的一致性結(jié)構(gòu)展示出來，然后構(gòu)造函數(shù)，從而破解問題.從八省聯(lián)考這樣一份具有很強的導(dǎo)向性試卷中，我們發(fā)現(xiàn)在平常的解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)大力培養(yǎng)學(xué)生的“同構(gòu)”大觀念.

2.2.2 基于“同構(gòu)”巧設(shè)大問題，培養(yǎng)學(xué)生深度轉(zhuǎn)化能力

如何將一個形式上不一致，結(jié)構(gòu)上不同的式子轉(zhuǎn)化為形式上一致，結(jié)構(gòu)相同的式子呢？即設(shè)置怎樣的大問題實現(xiàn)同構(gòu).回到高考題，第二問中主要條件就是等式blna-alnb=a-b，這樣就可以向?qū)W生提出下面的問題：

問題1 條件等式如何同構(gòu)？方法有哪些？

顯然大問題1不是事實性問題，不對細(xì)節(jié)提問，不追求標(biāo)準(zhǔn)答案，具有很強的開放性.如果學(xué)生感到有困難，則教師需要將大問題1分解為三個小問題：

問題1.1 條件等式屬于哪一類式子？

在問題1.1的追問下，學(xué)生通過對式子結(jié)構(gòu)的深度觀察，發(fā)現(xiàn)式子出現(xiàn)對數(shù)運算，從而明確此類式子是對數(shù)等式，而且細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，將a，b互換，式子不變，這樣就發(fā)現(xiàn)該式屬于雙變量下對稱的對數(shù)等式.在明晰式子的特征之后，問題就轉(zhuǎn)化為雙變量下對稱的對數(shù)等式如何同構(gòu).從而提出下面的問題.

問題1.2 這一類式子通常的處理方法是什么？具體怎么操作？

經(jīng)過對上述四道試題的分析、探討，發(fā)現(xiàn)同構(gòu)這種思想在函數(shù)、不等式中應(yīng)用廣泛，處理的方法具有極大的相似性：對不等式或等式，亦或是函數(shù)，通過變形轉(zhuǎn)化為相同的結(jié)構(gòu)，然后構(gòu)造一個新函數(shù)來解決原問題，這種方法顯然是具有普遍性的.

3 結(jié)語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》最大的一個亮點就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，必須要進(jìn)行深度教學(xué)，即在教學(xué)中要有大觀念的滲透，讓學(xué)生對所學(xué)知識及方法有一個整體的高層次的感悟、體會，這就需要以大問題引路，設(shè)計有助于大觀念滲透，有利于思維發(fā)展和問題解決的具有開放性、反思性問題，提供“全景立場”，即不同的方法，相異甚至是沖突的觀點，在比較中形成自己對知識對象的深刻認(rèn)識，理性判斷，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容更具有系統(tǒng)性，深入性理解，發(fā)展學(xué)生批判性思維、理性、和創(chuàng)新能力等核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)［M］.成都：四川教育出版社，2001：124—125.

［2］（德）康德著，鄧曉芒譯.純粹理性批判［M］.北京：人民出版社.2004：544—545.

［3］盛慧曉.大觀念與基于大觀念的課程建構(gòu)［J］.當(dāng)代教育科學(xué)，2015.12.

［4］陳佑清.論活動與發(fā)展之間的相關(guān)對應(yīng)性［J］.教育研究，2005，10（2）：77—82.