基于趨勢(shì)擬合法、平滑法和ARIMA 模型的流量預(yù)測(cè)

馬政達(dá)（中國(guó)聯(lián)通研究院，北京 100048）

1 研究背景

隨著寬帶用戶(hù)網(wǎng)絡(luò)需求的快速增長(zhǎng)和固網(wǎng)數(shù)據(jù)的大幅提升，運(yùn)營(yíng)商越來(lái)越重視寬帶用戶(hù)的使用體驗(yàn)，并投入更多的精力用于固網(wǎng)寬帶網(wǎng)絡(luò)設(shè)備的擴(kuò)容和維護(hù)［1?2］，科學(xué)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)容量已成為運(yùn)營(yíng)商發(fā)展的重要議題。網(wǎng)絡(luò)流量指標(biāo)是評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)管理質(zhì)量的重要參數(shù)，對(duì)流量的預(yù)測(cè)是指依據(jù)設(shè)備歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)一段時(shí)間的流量進(jìn)行建模與估計(jì)，相較于流量達(dá)到告警閾值后再升級(jí)設(shè)備，流量預(yù)測(cè)可以幫助網(wǎng)絡(luò)管理員掌握網(wǎng)絡(luò)變化的規(guī)律，更合理地安排預(yù)算、設(shè)備升級(jí)和割接計(jì)劃，也極大地改善了用戶(hù)上網(wǎng)體驗(yàn)。此外，隨著運(yùn)營(yíng)商算力的提升，流量預(yù)測(cè)甚至可以應(yīng)用到用戶(hù)級(jí)別，為提供個(gè)性化服務(wù)做支撐，因此流量預(yù)測(cè)一直是網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域的重要研究方向［3?5］。

通常當(dāng)OLT 上聯(lián)口的寬帶利用率峰值到達(dá)70%時(shí)就需要開(kāi)始考慮流量擴(kuò)容［6］，同時(shí)用戶(hù)的下行網(wǎng)絡(luò)流量往往要高于上行網(wǎng)絡(luò)流量，因此對(duì)OLT 上聯(lián)口的下行流量速率峰值進(jìn)行時(shí)間序列的分析、預(yù)測(cè)具有重要意義，是OLT擴(kuò)容的主要技術(shù)指標(biāo)。

寬帶設(shè)備的流量速率是網(wǎng)管系統(tǒng)記錄的主要數(shù)據(jù)之一，OLT 下行流量速率峰值數(shù)據(jù)可以看做是一組時(shí)間序列，對(duì)于時(shí)間序列的分析主要包括模型識(shí)別、模型擬合、模型診斷3個(gè)步驟［7］。

在模型識(shí)別階段需要根據(jù)時(shí)間序列的時(shí)序圖特征和統(tǒng)計(jì)量特征選擇合適的模型。時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型有很多，包括趨勢(shì)擬合法、平滑法及ARIMA 等模型。運(yùn)營(yíng)商積累了大量流量數(shù)據(jù)，但對(duì)這類(lèi)數(shù)據(jù)的處理往往比較粗獷，經(jīng)常使用到的流量預(yù)測(cè)方法有線(xiàn)性擬合法和移動(dòng)平均法，這些方法操作簡(jiǎn)單，模型直觀，但也存在擬合度低、預(yù)測(cè)效果差的缺點(diǎn)［8］。相比而言，Holt?Winters 模型和ARIMA 模型增加了更復(fù)雜的模型維度和參數(shù)類(lèi)別，可以更充分地?cái)M合復(fù)雜的流量趨勢(shì)及短期的隨機(jī)趨勢(shì)。

2 建模及預(yù)測(cè)

選取一臺(tái)典型的OLT 的上聯(lián)口，將其周末的下行速率峰值數(shù)據(jù)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)流量數(shù)據(jù)）作為研究對(duì)象，時(shí)間跨度為2018年9月到2019年5月，共33周。將前30周數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后3 周數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。圖1 所示為流量數(shù)據(jù)訓(xùn)練集的時(shí)序圖、自相關(guān)系數(shù)圖（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)圖（PACF）。

圖1 流量數(shù)據(jù)訓(xùn)練集的時(shí)序圖和相關(guān)性分析

2.1 趨勢(shì)擬合法

趨勢(shì)擬合法就是將時(shí)間作為自變量，對(duì)應(yīng)的流量觀察值作為因變量，建立序列值隨時(shí)間變化的回歸模型的方法。依據(jù)觀察值的時(shí)序圖，如果時(shí)序圖中序列表現(xiàn)出線(xiàn)性的長(zhǎng)期趨勢(shì)，可以考慮使用線(xiàn)性擬合；如果長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出非線(xiàn)性特征，則可以嘗試使用曲線(xiàn)擬合［9］。

從圖1的流量時(shí)序圖中可以看出流量趨勢(shì)平穩(wěn)上升，呈現(xiàn)出線(xiàn)性趨勢(shì)，因此進(jìn)行線(xiàn)性擬合，結(jié)果如圖2所示。

圖2 線(xiàn)性擬合模型

該線(xiàn)性擬合模型可以表示為：

依據(jù)式（1），可以計(jì)算出未來(lái)3期線(xiàn)性擬合模型的預(yù)測(cè)值，如表1所示。

表1 線(xiàn)性擬合模型的3期預(yù)測(cè)值與誤差率

2.2 平滑法

平滑法通過(guò)對(duì)過(guò)去數(shù)據(jù)的加權(quán)平均處理，減少短期波動(dòng)對(duì)序列的影響，盡可能地展示數(shù)據(jù)的直觀趨勢(shì)。

移動(dòng)平均法是最常見(jiàn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法之一，通過(guò)計(jì)算過(guò)去n期數(shù)據(jù)的平均值作為預(yù)測(cè)值，其表達(dá)式為：

圖3所示為4期平均移動(dòng)法的流量擬合。

圖3 移動(dòng)平均擬合模型

依據(jù)式（2），可以計(jì)算出未來(lái)3期移動(dòng)平均模型的流量預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)誤差率，如表2所示。

表2 移動(dòng)平均模型的3期預(yù)測(cè)值與誤差率

移動(dòng)平均法簡(jiǎn)單直觀，以前n期數(shù)據(jù)的平均值作為最后一期的預(yù)測(cè)值，往期數(shù)據(jù)的權(quán)重都是1/n，即在移動(dòng)平均法中，n期的每一條數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值的影響是相同的。但在實(shí)際流量分析中，不同時(shí)間的數(shù)據(jù)對(duì)當(dāng)前流量大小的影響是不同的（一般時(shí)間越近，影響越大），為了更好地反映這種情況，需要調(diào)整往期數(shù)據(jù)的權(quán)重。美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Holt 在簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法的基礎(chǔ)上，添加了對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)擬合，提出了Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑模型，該模型適用于含有遞增趨勢(shì)的序列，Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑模型的平滑公式為：

式中：

θt——序列每階遞增量

α，β——2個(gè)平滑系數(shù)

該模型后經(jīng)Winters 改進(jìn)，形成了Holt?Winters 三參數(shù)指數(shù)平滑模型，該模型除了可以擬合長(zhǎng)期趨勢(shì)，還可以擬合周期性變化。

考慮到圖1 流量時(shí)序圖中僅包含遞增趨勢(shì)，為其建立Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑模型并進(jìn)行3 期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，結(jié)果如圖4所示。

圖4 Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑擬合模型

圖4 中黑色實(shí)線(xiàn)是流量觀測(cè)值，藍(lán)色虛線(xiàn)是模型擬合值，藍(lán)色點(diǎn)為預(yù)測(cè)值，淺色陰影為95%的預(yù)測(cè)值置信區(qū)間，深色陰影為80%的預(yù)測(cè)值置信區(qū)間。預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)誤差率如表3所示。

表3 Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑模型的3期預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)誤差率

2.3 ARIMA模型

ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Model）模型全稱(chēng)為差分自回歸移動(dòng)平均模型，由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box 和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Jenkins 提出［11］，是在ARMA模型的基礎(chǔ)上增加了差分運(yùn)算的時(shí)間序列分析模型。ARMA模型對(duì)平穩(wěn)序列的分析技術(shù)已經(jīng)非常成熟，如果一個(gè)序列可以通過(guò)差分使之變?yōu)槠椒€(wěn)，那么使用ARIMA 模型對(duì)該序列的分析也將是可靠、易行的［12?15］。ARMA 模型是AR 模型和MA 模型的有機(jī)組合，具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱(chēng)為ARMA（p，q）模型：

式中：

φp、θq——AR部分和MA部分的待估參數(shù)

εt——零均值、方差記為的白噪聲

如果一個(gè)序列{X(t),t∈T}可以通過(guò)d次差分得到一個(gè)平穩(wěn)的過(guò)程，且該過(guò)程服從ARMA（p，q）模型，則稱(chēng){X(t),t∈T}是ARIMA（p，d，q）過(guò)程［16］。

圖1 的流量時(shí)序圖中有明顯的遞增趨勢(shì)，且ACF圖中自相關(guān)系數(shù)衰減較慢，在16階延遲附近又落在了2 倍標(biāo)準(zhǔn)差的參考線(xiàn)之外，顯著不為0，因此可以認(rèn)為該流量數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)時(shí)間序列?？紤]到時(shí)序圖中的遞增趨勢(shì)，嘗試使用差分運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列。

對(duì)流量數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分運(yùn)算，做出其時(shí)序圖、自相關(guān)系數(shù)圖、偏自相關(guān)系數(shù)圖（見(jiàn)圖5）。

圖5 一階差分序列的時(shí)序圖和相關(guān)性分析圖

從圖5可以看出，該差分?jǐn)?shù)列時(shí)序圖的均值穩(wěn)定、波動(dòng)范圍有限且無(wú)明顯趨勢(shì)或周期，自相關(guān)系數(shù)迅速衰減到0 附近，該差分序列可能為平穩(wěn)時(shí)間序列。進(jìn)一步使用ADF 檢驗(yàn)對(duì)該序列的平穩(wěn)性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

表4 一階差分序列的ADF檢驗(yàn)

從表4可以看出，3種類(lèi)型的p值均明顯小于0.05，因此拒絕原假設(shè)，該序列為平穩(wěn)時(shí)間序列。

在平穩(wěn)時(shí)間序列中，若某一時(shí)刻的狀態(tài)對(duì)下一時(shí)刻沒(méi)有相關(guān)性，則意味著該序列未來(lái)的數(shù)據(jù)無(wú)法通過(guò)現(xiàn)在及過(guò)去的狀態(tài)進(jìn)行推斷，對(duì)這樣的流量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)是沒(méi)有價(jià)值的。因此要進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，判斷該流量數(shù)據(jù)是否有預(yù)測(cè)價(jià)值。

在圖5 中，一階差分序列的ACF 圖中，1、3、4 階自相關(guān)系數(shù)明顯不為零，初步判斷該序列不是純隨機(jī)序列，進(jìn)一步考察該序列的LB統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果如表5所示。

表5 一階差分序列的純隨機(jī)性檢驗(yàn)

從表5 可以看出，一階差分序列延遲6 階、12 階的LB統(tǒng)計(jì)量的p值均明顯小于0.05，所以拒絕原假設(shè)，該一階差分序列不是純隨機(jī)序列，可以用來(lái)做預(yù)測(cè)分析。

通過(guò)上面的分析可知，原流量數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)一階差分運(yùn)算后是一個(gè)平穩(wěn)的非純隨機(jī)性序列，這樣就可以為差分序列構(gòu)建ARMA 模型。在圖5的ACF圖中可以看出一階差分序列的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)逐漸衰減的趨勢(shì)，符合拖尾特征；PACF 圖中，只有一階和三階偏自相關(guān)系數(shù)落在了2 倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍外，剩下的系數(shù)趨向于0，可認(rèn)為是一階、三階截尾或拖尾。嘗試選擇MA（1）、MA（3）、ARMA（1，1）、ARMA（4，1）模型擬合該差分序列。模型的選取應(yīng)遵從從簡(jiǎn)原則，在能充分表示序列的前提下所含參數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)該最少［16］，因此對(duì)4 個(gè)ARMA 模型進(jìn)行最小信息量檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如表6 所示。

表6 ARMA模型參數(shù)評(píng)估

從表6 可以看出，無(wú)論是AIC 還是BIC，MA（1）模型都是最優(yōu)選擇，結(jié)合該序列為流量數(shù)據(jù)通過(guò)一階差分得到，因此使用帶漂移項(xiàng)的ARIMA（0，1，1）模型來(lái)擬合原流量數(shù)據(jù)。為考察ARIMA（0，1，1）的有效性，對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即對(duì)殘差序列的檢驗(yàn)，結(jié)果如圖6所示。

圖6 殘差序的標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖、ACF和純隨機(jī)性檢驗(yàn)圖

從圖6 可以看出，殘差序列的各階白噪聲檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值均大于0.05，原假設(shè)成立，殘差序列是白噪聲，即該擬合模型顯著成立，因此為流量數(shù)據(jù)建立ARIMA（0，1，1）模型，并進(jìn)行3 期流量預(yù)測(cè)，圖7 為擬合模型的預(yù)測(cè)效果，表7列出了預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)誤差率。

表7 ARIMA（0，1，1）模型的3期預(yù)測(cè)值、置信區(qū)間與誤差率

圖7 ARIMA（0，1，1）擬合模型的預(yù)測(cè)效果

圖7 中黑色實(shí)線(xiàn)是流量觀測(cè)值，藍(lán)色虛線(xiàn)是模型擬合值，藍(lán)色點(diǎn)為預(yù)測(cè)值，淺色陰影為95%的預(yù)測(cè)值置信區(qū)間，深色陰影為80%的預(yù)測(cè)值置信區(qū)間。

2.4 模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較

文章針對(duì)OLT 流量構(gòu)建了線(xiàn)性擬合、平均移動(dòng)、Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑和ARIMA（0，1，1）4 種模型，為評(píng)估各模型的預(yù)測(cè)性能，采用平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，4種模型的平均絕對(duì)百分誤差（MAPE）如表8 所示。從表8 可以看出，ARIMA（0，1，1）和Holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)平均誤差率為2.06%、2.68%，誤差相對(duì)都比較小，預(yù)測(cè)效果表現(xiàn)較好；而線(xiàn)性擬合和平均移動(dòng)模型的預(yù)測(cè)誤差分別為4.43%、4.01%，誤差較大，不適合用來(lái)對(duì)精度有較高要求的流量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表8 4種模型的平均絕對(duì)百分誤差（MAPE）

3 預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)

網(wǎng)絡(luò)流量信息具有很大的隨機(jī)性，前一日的流量大小理論上不能影響到當(dāng)日的流量，對(duì)流量預(yù)測(cè)的本質(zhì)是對(duì)用戶(hù)上網(wǎng)習(xí)慣的推斷，個(gè)人行為具有很大的隨機(jī)性，群體行為表現(xiàn)出的規(guī)律性更大，因此越是靠近北向的端口，對(duì)流量進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)學(xué)分析的意義越大，這也是文章對(duì)OLT 上聯(lián)口分析的原因。對(duì)應(yīng)地，越是南向的設(shè)備，流量表現(xiàn)出的隨機(jī)性越強(qiáng)，此時(shí)篩選出有意義的數(shù)據(jù)比逐個(gè)預(yù)測(cè)更有價(jià)值。

本文使用到趨勢(shì)擬合法和平滑法對(duì)流量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，這些方法具有原理簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便、易于解釋等優(yōu)點(diǎn)，在提取明顯的、確定的信息時(shí)有一定優(yōu)勢(shì)，缺點(diǎn)是相關(guān)性信息在加權(quán)平均中丟失，隨機(jī)性信息浪費(fèi)嚴(yán)重，這可能是本文在流量預(yù)測(cè)時(shí)ARIMA 模型略?xún)?yōu)于Holt模型的原因，使用ARIMA 模型在處理平穩(wěn)序列、差分平穩(wěn)序列時(shí)可以更加充分地體現(xiàn)流量中的短期相關(guān)關(guān)系。

4 展望

本文以周數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)建模與網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)獲得了不錯(cuò)的效果。伴隨著運(yùn)營(yíng)商算力的提升，未來(lái)若能夠拿到海量的流量數(shù)據(jù)，則可以考慮使用LSTM 等機(jī)器學(xué)習(xí)來(lái)擬合更加復(fù)雜的模型。但并不是所有預(yù)測(cè)問(wèn)題都適合使用機(jī)器學(xué)習(xí)，在多變量的非線(xiàn)性時(shí)間序列預(yù)測(cè)時(shí)，特別是在大樣本的情況下機(jī)器學(xué)習(xí)會(huì)獲得更好的表現(xiàn)，針對(duì)平穩(wěn)或差分平穩(wěn)時(shí)間序列，在樣本較少的情況下，使用ARIMA 等統(tǒng)計(jì)建模法更具優(yōu)勢(shì)［17?20］。

流量數(shù)據(jù)會(huì)受到多種因素影響，在后續(xù)的研究中應(yīng)該考慮將現(xiàn)有模型與其他預(yù)測(cè)模型進(jìn)行組合，構(gòu)建多因素的組合模型，以緩解模型預(yù)測(cè)的滯后問(wèn)題，提高預(yù)測(cè)靈敏度和準(zhǔn)確性［21?24］。