小學(xué)數(shù)學(xué)遞進(jìn)式系列拓展課的樣態(tài)

作者簡(jiǎn)介

陳云，中小學(xué)高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，曾獲“江蘇省最美教師”“陽(yáng)澄湖教育領(lǐng)軍人才”等榮譽(yù)稱號(hào)。先后獲得“全國(guó)優(yōu)質(zhì)課”比賽一等獎(jiǎng)、“江蘇省優(yōu)質(zhì)課”比賽一等獎(jiǎng)。主持參加多項(xiàng)省、市級(jí)課題研究。在《教育學(xué)術(shù)月刊》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》等刊物發(fā)表論文百余篇。

拓展課的開(kāi)發(fā)和利用有利于幫助學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。好的拓展課內(nèi)容要“高”、起點(diǎn)要“低”、入點(diǎn)要“窄”、范圍要“寬”。不僅如此，好的拓展課還應(yīng)當(dāng)注意構(gòu)建課程體系，同一主題的拓展課應(yīng)在不同學(xué)段循序漸進(jìn)地展開(kāi)，成為系列拓展課，避免拓展課無(wú)厘頭地插入，又無(wú)余音地結(jié)束，給學(xué)生帶來(lái)“悄悄的我走了，正如我悄悄的來(lái)；我揮一揮衣袖，不帶走一片云彩”的惆悵。筆者以“探秘度量衡”為例，探索遞進(jìn)式系列拓展課的樣態(tài)。

一、在探尋知識(shí)背景中扎下拓展之“根”

度量衡的學(xué)習(xí)一般從二年級(jí)開(kāi)始，最初是較小的長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)、簡(jiǎn)單的時(shí)間單位的認(rèn)識(shí)，至三年級(jí)開(kāi)始出現(xiàn)較大的長(zhǎng)度單位、質(zhì)量單位，度量衡逐漸變得“蕪雜”，應(yīng)用上會(huì)出現(xiàn)一些混亂，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生害怕和抵觸的情緒。因此，教師要借助拓展課幫助學(xué)生了解度量衡的產(chǎn)生與來(lái)源，適當(dāng)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)度量衡本質(zhì)的理解，通過(guò)拓展使學(xué)生形成簡(jiǎn)化的、本質(zhì)的、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)更有支持意義的、內(nèi)在邏輯性較強(qiáng)的度量衡的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)，在展現(xiàn)“知識(shí)背景—知識(shí)形成”的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)度量衡的自信心，獲得對(duì)度量衡的實(shí)質(zhì)性理解。因此，三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度單位、質(zhì)量單位之后，便可進(jìn)行“探秘度量衡”的學(xué)習(xí)。

拓展課一：它從哪里來(lái)

1.觀看視頻（長(zhǎng)度單位的產(chǎn)生過(guò)程——節(jié)選自中央電視臺(tái)科學(xué)頻道“探秘度量衡”，如圖1所示）。

2.引導(dǎo)交流：長(zhǎng)度單位是怎樣產(chǎn)生的？最初人們是怎么約定長(zhǎng)度單位的？古人用的長(zhǎng)度單位有哪些？我們學(xué)的這些長(zhǎng)度單位相鄰單位進(jìn)率是什么？

3.觀看視頻（米的長(zhǎng)度是如何一步步精準(zhǔn)的？如圖2所示）并討論：古人用的單位，現(xiàn)在我們?cè)谡綔y(cè)量活動(dòng)中還用嗎？為什么不用了？思考現(xiàn)在的長(zhǎng)度單位是怎么確定的？為什么要重新約定？

4.參與測(cè)量活動(dòng)——選擇合適的工具測(cè)量身邊物體，并交流：我們?cè)谶x擇尺子時(shí)，其實(shí)選擇的是什么？為什么這樣選擇？我們要測(cè)量的物體無(wú)限多，要不要去創(chuàng)造無(wú)限多的測(cè)量單位？為什么？如何用有限的單位去測(cè)量無(wú)限多的物體呢？

5.引發(fā)猜想，課下延伸：如何測(cè)量蘇州到上海的高速公路的長(zhǎng)度？如何測(cè)量地球到月球的距離？茫茫宇宙空間你覺(jué)得還有什么可以測(cè)量的？有沒(méi)有測(cè)量它們的尺子？

這節(jié)拓展課較好地體現(xiàn)了“高”的維度：即內(nèi)容要高，高到能把課內(nèi)外大量的學(xué)習(xí)資源形成彼此關(guān)聯(lián)的知識(shí)金字塔，拓展課不能上成教材內(nèi)容的簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)和總結(jié)，要基于學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)和能力的拓展。“探秘度量衡”的首次拓展，內(nèi)容涉及古今中外，把長(zhǎng)度單位的“前世今生”都完整地呈現(xiàn)了出來(lái)。基于三年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，接受、理解、記憶還是主要的學(xué)習(xí)方式，教師借助音頻、視頻、繪本、故事等形式，緊抓“長(zhǎng)度單位是怎樣產(chǎn)生的”這一主問(wèn)題，輔以“古人用的長(zhǎng)度單位有哪些”等子問(wèn)題，各問(wèn)題之間形成環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題鏈，降低思維難度，轉(zhuǎn)化和分解了主問(wèn)題，十分自然地層層深入。學(xué)生在自學(xué)中成長(zhǎng)、在觀察中推理、在合作交流中豁然開(kāi)朗，不僅獲得了更多課本上沒(méi)有的知識(shí)，還在自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中嘗試探索怎么學(xué)習(xí)，嘗試如何用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。

二、在遷移數(shù)學(xué)方法中萌發(fā)拓展之“芽”

隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法就成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，這些現(xiàn)實(shí)應(yīng)成為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素材。選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，還能更好地幫助學(xué)生提煉學(xué)習(xí)方法、形成學(xué)習(xí)能力。在前面的拓展中，學(xué)生對(duì)度量的本質(zhì)有了充分的了解，這種“了解”需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成“理解”。人為約定的米、厘米這樣的小“長(zhǎng)度”可以用來(lái)測(cè)量大“長(zhǎng)度”，為了便于測(cè)量，我們把小“長(zhǎng)度”記錄在尺子上，那么這種方法可否應(yīng)用到新的測(cè)量活動(dòng)中？怎么測(cè)量面積呢？面積和長(zhǎng)度的區(qū)別在哪里？有沒(méi)有“尺子”能一次性測(cè)量出面積呢？這些問(wèn)題的拓展能幫助學(xué)生深入理解度量的本質(zhì)，也讓學(xué)生在實(shí)現(xiàn)“方法提取—方法應(yīng)用”的過(guò)程中學(xué)會(huì)遷移。至此，可以在四年級(jí)認(rèn)識(shí)了面積的概念之后引入“探秘度量衡”的第二課。

拓展課二：設(shè)計(jì)“面積尺”

1.提出問(wèn)題：長(zhǎng)度是如何測(cè)量的？面積又該怎么測(cè)量？

2.小組合作：設(shè)計(jì)一把“尺子”，測(cè)量出卡紙的大小。

3.集體討論：大家認(rèn)為的“好尺子”有什么共同點(diǎn)？用小正方形測(cè)量卡紙面積時(shí)要鋪幾次？有沒(méi)有一次就能量出卡紙面積的“尺子”？

4.展示圖3并交流：這把“尺子”上面的小方塊是什么？為什么量面積要向橫的、豎的兩個(gè)方向去量？和我們用學(xué)生尺量長(zhǎng)度有什么不一樣？這把“尺子”橫向量出的是什么？縱向量出的又是什么？量完之后相乘得到的又是什么？

5.拓展提升：如果把這把“尺子”逐漸縮小，你還能量出卡紙的面積嗎（如圖4，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)不斷縮小的過(guò)程）？如果把這把“尺子”逐漸擴(kuò)大，你想到了什么（如圖5，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)不斷擴(kuò)大的過(guò)程）？說(shuō)說(shuō)你的感受。

這節(jié)拓展課恰當(dāng)?shù)卦忈屃恕暗汀钡木S度：即起點(diǎn)要低，低到讓每個(gè)學(xué)生都覺(jué)得可以參與。拓展課不是給學(xué)優(yōu)生的“福利”，不能在教學(xué)中對(duì)難題、偏題進(jìn)行無(wú)限挖掘，要為所有學(xué)生的拓展而教。四年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)獲得了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，喜歡動(dòng)手操作，期盼自己能創(chuàng)造出新的東西，這樣的“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”會(huì)給課堂注入活力，讓創(chuàng)新意識(shí)的培育、創(chuàng)新能力的發(fā)展成為可能。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，創(chuàng)造一把新“尺子”有趣并且不難，每一個(gè)學(xué)生都可以參與，卻又能在簡(jiǎn)單的操作過(guò)程中很好地實(shí)現(xiàn)從一維到二維的跨越，讓學(xué)生形成空間觀念。這一階段學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)也在加強(qiáng)，在拓展的過(guò)程中，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生自己提出問(wèn)題：“面積尺”是一把什么樣的尺子？和“長(zhǎng)度尺”相同與不同的地方在哪里？“長(zhǎng)度尺”能直接量出結(jié)果，“面積尺”為什么量完還要計(jì)算？……如何解決這些問(wèn)題？可以指導(dǎo)學(xué)生在操作的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察、思考，通過(guò)同學(xué)之間的相互啟發(fā)，把原本隱性、抽象的思維結(jié)構(gòu)、思考路徑及思維方法呈現(xiàn)出來(lái)，使知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)清晰、形象、可見(jiàn)。這樣的拓展課才能體現(xiàn)操作以外的價(jià)值，也正是學(xué)生努力嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的一種表達(dá)。

三、在完善知識(shí)框架中綻放拓展之“花”

數(shù)學(xué)拓展課程應(yīng)當(dāng)致力于減輕學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，幫助學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的聯(lián)系與理解。當(dāng)學(xué)完小學(xué)階段的所有度量知識(shí)之后，教師就要引領(lǐng)學(xué)生對(duì)整個(gè)度量衡進(jìn)行整體分析，提煉并打通各個(gè)度量單位之間的關(guān)聯(lián)，建構(gòu)起度量主題統(tǒng)整下的脈絡(luò)清晰、條理分明、相互聯(lián)系的度量知識(shí)體系。另一方面，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的量進(jìn)行分類、整理、比較，在概念、原理及進(jìn)率之間構(gòu)建起有效的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，體會(huì)不同度量?jī)?nèi)容之間度量本質(zhì)、度量方法上的一致性和可遷移性，幫助學(xué)生在“尋找聯(lián)系—構(gòu)建整體”的過(guò)程中學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，教師可以在五年級(jí)借助一些度量知識(shí)之間的聯(lián)系開(kāi)展“探秘度量衡”的第三課。

拓展課三：聯(lián)系你我他

1.提出問(wèn)題：能夠一次測(cè)量出體積的“尺子”長(zhǎng)什么樣呢？（如圖6）如果這把“尺子”簡(jiǎn)化成圖7一樣的，還能測(cè)量體積嗎？

2.小組合作，搭建聯(lián)系。整理長(zhǎng)度、面積、體積單位之間的進(jìn)率關(guān)系，記錄下來(lái)，仔細(xì)觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

（1）如圖8，如果想讓相鄰的兩個(gè)單位之間的進(jìn)率相等，括號(hào)里可以添加什么單位？生活中見(jiàn)過(guò)這樣的單位嗎？

（2）可不可以把相鄰面積單位、體積單位之間的進(jìn)率也約定為10呢？結(jié)合“面積尺”“體積尺”的創(chuàng)造過(guò)程進(jìn)行解釋。

（3）如果以米為“主單位”，怎樣才能得到比“米”大和比“米”小的單位？你們還能類推出更大的或者更小的單位嗎？（如圖9）

3.縱向延伸，完善結(jié)構(gòu)

（1）長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位與容積單位、質(zhì)量單位等也會(huì)有關(guān)系嗎？結(jié)合教材內(nèi)容（如圖10）說(shuō)說(shuō)你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）交流課前搜集的資料，了解1千克的質(zhì)量在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)中是如何規(guī)定的以及這個(gè)規(guī)定的演變過(guò)程。繼續(xù)整理容積單位和質(zhì)量單位（如圖11），比較體積單位、質(zhì)量單位和容積單位的進(jìn)率，你們想到了什么？

（3）這些單位的進(jìn)率分別是十、百、千，卻沒(méi)有萬(wàn)，與國(guó)際通用的數(shù)的三位分節(jié)有沒(méi)有關(guān)系？交流課前搜集的資料，提出新的問(wèn)題并合作解決問(wèn)題。

4.合理猜想，延伸課堂：度量衡的約定是隨心所欲的嗎？國(guó)際計(jì)量單位中現(xiàn)行的一些約定會(huì)是永久不變的嗎？

這節(jié)拓展課正好體現(xiàn)“窄”的維度：即入點(diǎn)要窄，窄到可以從一個(gè)小點(diǎn)出發(fā)不斷深入地開(kāi)展探究，拓展課不應(yīng)只是蜻蜓點(diǎn)水般匆匆掠過(guò)，而要能夠以點(diǎn)帶面，形成對(duì)一類知識(shí)、能力的深刻理解。從“聯(lián)系”這個(gè)點(diǎn)深挖下去，耐心傾聽(tīng)學(xué)生對(duì)過(guò)程的解釋，揭示相關(guān)度量知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生整體掌握一種測(cè)量系統(tǒng)，把凌亂的、復(fù)雜的度量單位、進(jìn)率關(guān)系理順、弄懂，構(gòu)建度量認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這一時(shí)期的拓展課，問(wèn)題的提出可以更具框架性，拓展內(nèi)容的推演要基于學(xué)生自己的質(zhì)疑問(wèn)難，幫助學(xué)生發(fā)展批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，孕育講道理、有條理的思維品質(zhì)，這樣的“窄”入點(diǎn)才能帶來(lái)“大”境界。

四、在激發(fā)數(shù)學(xué)思維中結(jié)出拓展之“果”

進(jìn)入中、高年級(jí)，學(xué)生的活動(dòng)空間有了較大的擴(kuò)展，學(xué)生感興趣的問(wèn)題已拓展到客觀世界的許多方面，他們逐漸關(guān)注自然、社會(huì)中的更為廣泛的現(xiàn)象和問(wèn)題。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決應(yīng)用性的數(shù)學(xué)問(wèn)題和簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，更有利于幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，激活數(shù)學(xué)思維，提升應(yīng)用意識(shí)。這一時(shí)期教師可以選擇來(lái)源于自然、社會(huì)中的度量現(xiàn)象和問(wèn)題作為素材，設(shè)計(jì)運(yùn)用度量知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)，具體呈現(xiàn)方式既要符合學(xué)生認(rèn)知需求，又要能夠有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深入思考，幫助學(xué)生在“問(wèn)題情境—求解驗(yàn)證”的過(guò)程中積累度量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。所以，在六年級(jí)復(fù)習(xí)階段，可以介入“探秘度量衡”的總結(jié)課。

拓展課四：有趣的測(cè)量

1.提出問(wèn)題：學(xué)習(xí)了測(cè)量單位，就可以輕松完成各種度量了嗎？

2.量一量：學(xué)校藝術(shù)長(zhǎng)廊的柱子有多粗？學(xué)校藝術(shù)館中心圓形舞臺(tái)的面積有多大？教室里圓柱狀垃圾桶最多能容納多少垃圾？如果要進(jìn)行以上測(cè)量活動(dòng)，你們?cè)撊绾尾僮鳎?/p>

3.比一比：（1）學(xué)校組織放風(fēng)箏比賽，每位選手的風(fēng)箏線同樣長(zhǎng)。當(dāng)所有選手的風(fēng)箏線都放出去時(shí)，誰(shuí)的風(fēng)箏飛得高？

（2）批發(fā)商王叔叔迎來(lái)兩位顧客，要購(gòu)買同一型號(hào)的鐵絲各一捆。顧客甲說(shuō)：我要的鐵絲少，給我長(zhǎng)度短的那一捆吧。顧客乙說(shuō)：正好我需要的多，比較長(zhǎng)的那一捆給我。問(wèn)：哪一堆鐵絲更長(zhǎng)？

4.聽(tīng)故事：古人是如何測(cè)量金字塔的高度的？

5.說(shuō)一說(shuō)：以上測(cè)量活動(dòng)給你們哪些啟示？你們還經(jīng)歷過(guò)哪些有趣的測(cè)量活動(dòng)？和同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)。

6.做一做：4人一組，合作完成測(cè)量距離的任務(wù)（測(cè)量工具：卷尺1把，測(cè)繩1根，標(biāo)桿若干根）。

（1）測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離：在操場(chǎng)上選定A、B兩點(diǎn)（兩點(diǎn)間無(wú)障礙，兩點(diǎn)間的距離大于卷尺和測(cè)繩的長(zhǎng)度），測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，并將測(cè)量的過(guò)程、結(jié)果及體會(huì)記錄下來(lái)。

（2）測(cè)量點(diǎn)到直線的距離：在操場(chǎng)中間的任意位置選擇一點(diǎn)A，測(cè)量點(diǎn)A到跑道（直線）的距離（點(diǎn)A到跑道的距離要大于卷尺和測(cè)繩的長(zhǎng)度），并將測(cè)量的過(guò)程、結(jié)果及體會(huì)記錄下來(lái)。

拓展課就要體現(xiàn)“寬”的特點(diǎn)：即范圍要寬，寬到可以使不同的人有不同的發(fā)展空間，拓展課不是要增加什么新的知識(shí)，而是幫助學(xué)生更好地學(xué)會(huì)思考，不論學(xué)生從哪個(gè)角度去思考，只要他們有所收獲即是拓展。本節(jié)課教師創(chuàng)造貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活、聚焦真實(shí)問(wèn)題的解決和具有社會(huì)價(jià)值的綜合性議題，通過(guò)跨領(lǐng)域的整合方式打破學(xué)科邊界，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科以及社會(huì)生活的有機(jī)融合。這樣綜合性的測(cè)量活動(dòng)，學(xué)生需要自己制定測(cè)量方案、親自參與測(cè)量活動(dòng)，得出屬于自己的結(jié)論。教師的評(píng)價(jià)則采用“滿意原則”和“加分原則”，只要學(xué)生盡力參與并有所感悟都應(yīng)該得到肯定，這就是拓展的價(jià)值，也是學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界所做出的努力。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校）