基于新積分不等式的時滯負荷頻率控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

郭建鋒 錢 偉 王 楠 費樹岷

基于新積分不等式的時滯負荷頻率控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

郭建鋒1錢 偉1王 楠1費樹岷2

（1. 河南理工大學電氣工程與自動化學院 焦作 454000 2. 東南大學自動化學院 南京 210096）

該文研究了具有時變時滯和負荷擾動的負荷頻率控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。首先，構造新的增廣向量和具有多重積分項的Lyapunov-Krasovskii泛函，建立不同變量間的耦合關系；其次，為了與所構造的泛函緊密配合，提出基于時滯相關矩陣和自由矩陣的積分不等式及基于時滯相關矩陣的反凸組合不等式，對泛函導數(shù)進行更精確的估計，從而得到具有較小保守性的負荷頻率控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)；最后，通過對典型二階時滯系統(tǒng)和單區(qū)域時滯負荷頻率控制系統(tǒng)進行仿真分析，驗證了所得的穩(wěn)定性判據(jù)具有較小保守性，并分析了負荷擾動和控制器參數(shù)對系統(tǒng)時滯上界的影響。

電力系統(tǒng)穩(wěn)定性 負荷頻率控制 時變時滯 Lyapunov-Krasovskii泛函 時滯相關矩陣

0 引言

頻率是衡量電能質量的關鍵指標之一，頻率穩(wěn)定性對電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行至關重要[1]。頻率的波動可能會使發(fā)電機和輔機偏離運行狀態(tài)，從而給電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行及用戶正常用電造成不利影響，所以電網(wǎng)頻率需維持在某個固定值或在其附近小范圍內上下浮動，而負荷頻率控制（Load Frequency Control, LFC）是實現(xiàn)這一目標的有效方法之一，在維持電網(wǎng)頻率和不同區(qū)域間的聯(lián)絡線功率交換方面發(fā)揮著重要作用[2-5]。目前，LFC在廣域互聯(lián)電力系統(tǒng)中得到了廣泛應用。

LFC系統(tǒng)中數(shù)據(jù)測量、信號傳輸?shù)却蠖嘈杞柚_放式通信網(wǎng)絡，這種開放式通信網(wǎng)絡可有效地降低成本且可實現(xiàn)大范圍、大數(shù)據(jù)量的信息交換[6-7]。在借助通信網(wǎng)絡構成信號傳輸、控制回路時，由于網(wǎng)絡帶寬的限制，在傳輸中不可避免地存在通信時滯、數(shù)據(jù)丟失、網(wǎng)絡阻塞與攻擊等問題。其中時滯問題普遍且突出，該問題的存在可能會導致電力系統(tǒng)動態(tài)性能惡化甚至不穩(wěn)定[8-9]。因此，考慮時滯影響下LFC系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題具有重要的理論和現(xiàn)實意義，已成為諸多學者關注的焦點。

目前，研究時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的主要方法有頻域法和時域法。頻域法主要基于特征根的分布來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但往往需要通過求解超越方程得到特征根，計算過程復雜且存在難以求解的問題，因此該方法具有一定的局限性。相比于頻域法，時域法能夠較好地處理系統(tǒng)運行時狀態(tài)信息發(fā)生跳變的情況，且計算過程更加簡便，目前已成為分析時滯LFC系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要方法。時域法中應用最為廣泛的是Lyapunov-Krasovskii（L-K）泛函方法[10]。由于此方法給出的是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，必然存在一定的保守性。為了降低結果的保守性，諸多學者在L-K泛函構造和泛函導數(shù)估計兩個方面進行了深入研究，一些新的L-K泛函構造方法和新的積分不等式被不斷地提出。如泛函構造時有時滯分割方法[11]、增廣型L-K泛函[12]、多重積分項L-K泛函[13]、Delay-product型L-K泛函[14]等方法；在泛函導數(shù)估計時有Jensen不等式[15]、基于Wirtinger積分不等式[9]、基于Free-matrix積分不等式[16]、Relaxed積分不等式[17]、基于Auxiliary-function積分不等式[18]、Bessel-Legendre積分不等式[19]及不同形式的反凸組合不等式[20]等。文獻[5]通過建立一個增廣型L-K泛函，并利用Bessel-Legendre積分不等式對導數(shù)進行處理，給出了LFC系統(tǒng)的最大時滯上界。文獻[6]針對雙時滯微電網(wǎng)，構造了一個具有更多增廣項的L-K泛函，然后應用基于輔助函數(shù)的積分不等式，得到了微電網(wǎng)LFC系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[9]討論了受數(shù)據(jù)采樣時滯影響的LFC系統(tǒng)穩(wěn)定性，為充分利用基于Wirtinger積分不等式，構造了與積分不等式緊密配合的增廣型L-K泛函，從而得到了保守性較小的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[18]通過構造含有三重積分項的增廣型L-K泛函，并應用基于Intermediate-auxiliary-function二重積分不等式對泛函導數(shù)進行估計，得到了更精確的估計邊界，從而獲得了時滯LFC系統(tǒng)保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[21]通過增廣向量，得到增廣型L-K泛函，然后結合基于無窮級數(shù)的積分不等式，得到了時滯LFC系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[22]通過提出一種基于低階時滯相關的L-K泛函，并應用基于Wirtinger積分不等式對其導數(shù)進行估計，獲得了LFC系統(tǒng)較大的時滯上界。需要注意的是，上述文獻采用的方法雖然對獲得較小保守性的穩(wěn)定性判據(jù)有較大貢獻，但在L-K泛函構造方法、泛函導數(shù)估計及兩者有效配合上仍存在較大的提升空間。

基于上述討論，本文進一步研究具有時滯影響和負荷擾動的LFC系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，目的是得到保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)，并深入分析控制器參數(shù)對系統(tǒng)時滯上界的影響。首先，充分考慮系統(tǒng)時滯及其導數(shù)信息，構造一個包含新的增廣向量和多重積分項的L-K泛函，以建立不同變量間的耦合關系，有助于降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性。其次，為了更精確地估計泛函導數(shù)，提出基于時滯相關矩陣（Delay-Dependent-Matrix-Based, DDMB）和基于自由矩陣（Free-Matrix-Based, FMB）的積分不等式，該不等式與所構造的L-K泛函進行有效配合，能更精確地估計泛函導數(shù)。與現(xiàn)有的基于常數(shù)矩陣的積分不等式估計方法相比，這種新的積分不等式通過引入時滯相關矩陣，能充分利用更多的時滯信息。再次，提出擴展的基于時滯相關矩陣（Extended Delay-Dependent-Matrix-Based, EDDMB）的反凸組合不等式，突破現(xiàn)有反凸組合不等式的局限性，擴大其適用范圍。此外，還使用基于輔助函數(shù)的積分不等式，從而得到較小保守性的穩(wěn)定性判據(jù)。最后，通過對典型的二階時滯系統(tǒng)和單區(qū)域時滯LFC系統(tǒng)仿真，驗證了本文方法的有效性。

1 問題描述

LFC系統(tǒng)模型主要包括發(fā)電機-負荷、原動機、調速系統(tǒng)、輔助LFC控制器等模型。發(fā)電機-負荷模型主要描述發(fā)電機輸入端的機械功率變化、電網(wǎng)負荷變化及相應頻率偏離量之間的相互關系。原動機主要用于產(chǎn)生機械功率進而帶動發(fā)電機組發(fā)電，一次調頻也依靠原動機來完成。原動機可以分為許多類別，如水輪機、汽輪機、燃氣輪機等，為了便于分析且不失一般性，本文原動機模型選用常用的非再熱式汽輪機。調速系統(tǒng)主要用于系統(tǒng)一次調頻；輔助LFC控制器主要通過輔助控制器進行系統(tǒng)二次調頻。在電力系統(tǒng)的分析和控制中，往往根據(jù)不同的控制問題和目標建立不同的模型。相對于電網(wǎng)電壓和功角等快速動態(tài)過程，頻率響應屬于較慢的動態(tài)過程，在針對負荷端擾動的分析和設計時，往往采用簡化的低階線性系統(tǒng)來表征系統(tǒng)在運行點附近的動態(tài)特征。因此，在對系統(tǒng)建模時，只需用簡化模型表示出各部分與頻率相關的主要特性即可。

考慮時滯影響和負荷擾動的負荷頻率控制系統(tǒng)模型結構如圖1所示。

圖1 考慮時滯和負荷擾動的LFC結構框圖

其狀態(tài)空間模型可表示為

其中

區(qū)域控制誤差（ACE）通常采用區(qū)域頻率偏差與聯(lián)絡線功率控制模式。第個區(qū)域控制誤差定義為

綜合式（1）～式（4），可得具有時變時滯的LFC閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)模型為

其中

式中，di亦為系統(tǒng)矩陣。

式中，1和為常數(shù)，1為時滯下界，＜1。

為了估計負荷擾動對電力系統(tǒng)的影響，未知的負荷擾動可以假設為當前狀態(tài)和時滯狀態(tài)變量的非線性擾動[5,18]，即

且滿足條件

式中，、為適維的常數(shù)矩陣；、為已知的非負標量。

本文的主要結論需用到以下命題和引理。

則有

其中

證明：定義

由此，可以得到

證畢。

則有

其中

需要注意的是，相比于現(xiàn)有的時滯相關矩陣（DDMB）反凸組合不等式（文獻[20]引理2），命題2放松了對時滯下界1=0的限制，1可以取大于等于0的不同值。當1=0時，命題2簡化為DDMB反凸組合不等式。因此命題2更具一般性。

其中

其中

其中

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)通過構造一個合適的L-K泛函，并采用新的分析方法，得到具有較小保守性的穩(wěn)定性判據(jù)。為簡化表述，定義如下向量。

其中

證明過程詳見附錄。

其中

為了說明本文提出的DDMB和FMB積分不等式、EDDMB反凸組合不等式在估計泛函導數(shù)時的優(yōu)勢，在推論2中采用傳統(tǒng)的FMB積分不等式和反凸組合不等式對L-K泛函的導數(shù)進行估計。

其中

其余符號的定義見推論1。

3 仿真分析

本節(jié)通過對典型的二階時滯系統(tǒng)和單區(qū)域時滯LFC系統(tǒng)進行仿真分析，說明本文結論的優(yōu)越性；同時，還分析了單區(qū)域時滯LFC系統(tǒng)在不同條件下控制器參數(shù)對時滯上界的影響。

3.1 典型二階系統(tǒng)

推論1和推論2在時滯下界1、時滯變化率取不同值時所得到的時滯上界2見表1?？梢钥闯?，當=0.5、1=2s時，推論1得到的時滯上界2比推論2提高了36.04%；當=0.5、1=0時，推論1得到的時滯上界2比推論2提高了19.12%。因此，應用本文提出的積分不等式能有效提高時滯上界，擴大穩(wěn)定裕度。

表1 推論1與推論2結果對比

Tab.1 Comparative results of Corollary 1 and Corollary 2

表2、表3列出了本文推論1與現(xiàn)有部分文獻得到的時滯上界對比數(shù)據(jù)。

表21取不同值、=0.5時，時滯上界2結果對比

Tab.2 Comparative results of h2 for given h1 with μ=0.5（單位：s）

表3取不同值、1=0時，時滯上界2結果對比

Tab.3 Comparative results of h2 for given μ with h1=0

從表2可以看出，當=0.5、1取不同值時，推論1得到的時滯上界2明顯大于文獻[11, 17-18, 23-25]的結果。從表3可以看出，當1=0、取不同值時，推論1得到的時滯上界2明顯大于文獻[12, 16, 19, 26-28]的結果。由此可見，本文方法得到的時滯上界更大，降低了現(xiàn)有結論的保守性。

3.2 單區(qū)域LFC系統(tǒng)

表5和圖2反映了PI控制器參數(shù)（P、I）與系統(tǒng)時滯上界的關系。當P固定時，時滯上界2隨著I增大而減小，且P越小，這種趨勢越明顯。時滯上界2與P之間的關系更為復雜。當I固定時，2隨著P的增加先增大后減小。由此可見，PI控制器參數(shù)對時滯上界的影響非常明顯。圖2可以在不同的時滯上界時，為控制器參數(shù)P、I設計提供參考。

表4 不同條件下允許的時滯上界2

表5P、I取不同值時允許的時滯上界2

Tab.5 Admissible upper bound h2 under different KP and KI

圖2 控制器參數(shù)KP、KI與時滯上界h2的關系

表6、表7給出了本文定理1與現(xiàn)有文獻[5,9,18, 29-30]得到的時滯上界對比數(shù)據(jù)。可以看出，由本文方法得到時滯上界大于其他方法，其中文獻[5]采用Bessel-Legendre積分不等式，文獻[9]運用基于Wirtinger積分不等式，文獻[18]使用基于輔助函數(shù)的積分不等式，文獻[29]運用Jensen不等式和反凸組合技術，文獻[30]運用基于Wirtinger雙重積分不等式。需要說明的是，表6、表7所列的時滯上界數(shù)據(jù)均為基于不同的方法得到估計值，并非系統(tǒng)時滯上界的真實值。越有效的方法得到的時滯上界越接近真實值，這也表明本文提出的新積分不等式在精確估計L-K泛函導數(shù)和提高穩(wěn)定裕度方面具有優(yōu)勢。

表6 無負荷擾動系統(tǒng)P、I取不同值時，時滯上界2結果對比

Tab.6 Comparative results of h2 with different KP, KI of no load disturbance system

表7 負荷擾動系統(tǒng)P、I取不同值時，時滯上界2結果對比

Tab.7 Comparative results of h2 with different KP, KI of load disturbance system

表8P=0.1、I=0.2，1取不同值時，時滯上界2結果對比

Tab.8 Comparative results of h2 with various h1 and KP=0.1, KI=0.2

為了驗證本文結果的準確性，針對單區(qū)域LFC系統(tǒng)模型，采用Matlab/Simulink進行仿真，分兩種情況討論。

1）時滯為恒定情況。選取負荷擾動參數(shù)=0、=0.1，標量=0、=0.025。當P=0.1、I=0.4時，由表4可知系統(tǒng)的時滯上界2=3.32 s。圖3給出了該工況下頻率偏差Δ的變化情況。可以看出，當時滯取上界3.32 s時，頻率偏差收斂到零，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；當時滯（3.60 s）超過上界值時，頻率偏差出現(xiàn)振蕩，無法收斂到零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖3 固定時滯情況下頻率響應曲線

2）時滯為時變情況。選取負荷擾動參數(shù)==0.1，==0.025，當P=0.1、I=0.6時，由表4可知系統(tǒng)的時滯上界2=1.80 s。圖4給出了時滯隨時間變化的系統(tǒng)式（6）的頻率響應。可以看出，當時滯取上界1.80 s時，頻率偏差收斂到零，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；當時滯（2.20 s）超過上界值時，頻率偏差出現(xiàn)振蕩，無法收斂到零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖4 時變時滯情況下頻率響應曲線

除了時滯對系統(tǒng)性能產(chǎn)生影響外，控制器參數(shù)也是影響系統(tǒng)性能的重要因素。為了驗證PI控制器的比例增益P、積分增益I對頻率偏差調節(jié)的影響，考慮固定時滯（=0）和無負荷擾動時（=0、=0），在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，改變P和I，系統(tǒng)頻率偏差動態(tài)響應如圖5和圖6所示。其中，圖5給出了P取相同值、I取不同值時，系統(tǒng)頻率偏差響應曲線?？梢钥闯觯琁越大，系統(tǒng)超調量越小，穩(wěn)態(tài)誤差消除得越快。

圖5 相同KP、不同KI時頻率響應曲線

圖6 相同KI、不同KP時頻率響應曲線

圖6給出了I取相同值、P取不同值時，系統(tǒng)頻率偏差響應曲線?？梢钥闯?，P越大，系統(tǒng)響應速度越快，趨于穩(wěn)定的時間越短，但在初始階段，出現(xiàn)了較大的超調量。

4 結論

本文研究了時滯LFC系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。通過構造增廣向量和具有多重積分項的L-K泛函，增強了不同變量間的耦合關系，為得到保守性小的穩(wěn)定性判據(jù)奠定了基礎。處理泛函導數(shù)時，在傳統(tǒng)自由矩陣積分不等式和反凸組合技術基礎上進行拓展延伸，提出了新的DDMB和FMB積分不等式、EDDMB反凸組合不等式，通過引入時滯相關自由矩陣，充分利用更多的時滯信息，從而使泛函導數(shù)估計更加精確，進而得到了保守性更小的結論。仿真結果表明了該方法的有效性和優(yōu)越性。需要注意的是，該方法在一定程度上增加了計算量。如何在L-K泛函中減少冗余矩陣，從而在保證穩(wěn)定裕度不變的前提下，減小計算量，并考慮LFC系統(tǒng)中非線性和隨機出現(xiàn)的不完全信息等其他因素，是需要在今后工作中進一步研究的問題。此外，本文僅討論了LFC系統(tǒng)各區(qū)域時滯均相同的情況，在實際系統(tǒng)中，還存在多時滯、混合時滯及隨機時滯等更為復雜的情況，這也是需要進一步深入研究探討的問題。

定理1證明如下。

針對系統(tǒng)式（6）構造L-K泛函為

其中

考慮式（A4）中第一個積分項，根據(jù)命題1可得

考慮式（A4）中第二個積分項，根據(jù)引理1和命題2可得

由式（A4）～式（A6）可得

將式（A8）中后兩項二重積分的積分區(qū)間進行分割，得到

將式（A9）～式（A23）代入式（A8）可得

結合式（A2）、式（A3）、式（A7）和式（A24）可得到

利用Schur補引理，式（A26）等價于式（17），證明完畢。

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New Integral Inequality Approach on Stability Criteria for Delayed Load Frequency Control Systems

Guo Jianfeng1Qian Wei1Wang Nan1Fei Shumin2

（1. School of Electrical Engineering and Automation Henan Polytechnic University Jiaozuo 454000 China 2. School of Automation Southeast University Nanjing 210096 China）

In wide-area interconnected power systems, load frequency control (LFC) has a pivotal role in addressing the issue of upholding the variations in system frequency and power exchange between different control areas at desired scheduled values. With the development of smart grid technologies and the emergence of numerous private networks, open communication networks are widely used, which inevitably leads to communication delay. The communication delay is an important factor affecting the stability and performance of LFC system. At present, Lyapunov-Krasovskii (L-K) functional method is one of the main methods to study the stability of LFC system. To this issue, how to construct appropriate L-K functional and estimate the functional derivatives accurately to reduce the conservatism of conclusions is the core problem, and the sustained efforts have been made, but it is far from enough in how to coordinate functional construction with estimating techniques efficiently. In this paper, the stability problem of LFC system with delay influence and load disturbance is further studied, by proposing some new methods, the less conservative stability criteria are obtained, and the influence of controller parameters on the delay margin is analyzed.

Firstly, by considering time delay and load disturbance, the LFC system model is established. Secondly, a new L-K functional with augmented vector and multiple integral terms is constructed. The single integral terms and the double integral terms are introduced, which builds more relations among different vectors. Moreover, state vector and its derivative are augmented to deepen the relationships between L-K functional and the system. Besides, integral functionals with double and triple forms are also created to get a better exploitation of delay information, all of which conduce to the stability criteria with less conservatism.

Then, in order to cooperate with the constructed functional effectively, two inequalities named delay-dependent-matrix-based and free-matrix-based integral inequality (DDMB and FMB integral inequality) and extended delay-dependent-matrix-based reciprocally convex inequality (EDDMB reciprocally convex inequality) are proposed to estimate the functional derivatives more accurately. Compared with the existing estimation approaches with constant matrices, DDMB and FMB integral inequality employs delay-dependent matrices and utilizes more information of time delay and its derivative, which provides more freedom in reducing the conservatism of the main results.Compared with the existing DDMB reciprocally convex inequality, EDDMB reciprocally convex inequality is more general because the value of delay lower bound is relaxed, which expands its scope of application. In addition, auxiliary-function-based integral inequalities (AFBII) together with relaxed integral inequality are also used, which helps to get less conservative stability conditions.

The simulation of typical second-order delay system and single-region delay LFC system are given, and the influence of load disturbance and controller parameters on the upper bound of single-region delayed LFC system under different conditions is analyzed. The following conclusions can be drawn from the simulation analysis: (1) Compared with the research results of some existed literatures, the upper bound of time delay obtained by the proposed method is significantly larger, which indicates that the proposed method can effectively improve the stability margin of time delay and reduce the conservatism of the conclusion. (2) The influence of load disturbance and controller parameters on the upper bound of system delay is obvious, the larger the load disturbance is, the smaller the upper bound of system delay is. When the PI control is applied, the upper bound of time delay decreases with the increase of integral gain, and this trend is more obvious when the proportional gain is smaller. The relation between the upper bound of time delay and the proportional gain is more complicated, the upper bound of time delay increases first and then decreases with the increase of the proportional gain.

Power system stability, load frequency control, time-varying delay, Lyapunov-Krasovskii functional, delay-dependent-matrix-based

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220811

TM712

國家自然科學基金項目（61973105）、河南省創(chuàng)新型科技團隊項目（CXTD2016054）和河南省科技攻關項目（232102240096）資助。

2022-05-14

2022-09-26

郭建鋒 男，1980年生，博士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)分析與控制。E-mail：gjf@hpu.edu.cn

錢 偉 男，1978年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為魯棒控制、智能控制。E-mail：qwei@hpu.edu.cn（通信作者）

（編輯 李冰）