基于深度置信網(wǎng)絡算法的面向鐵磁材料旋轉磁滯損耗的矢量磁滯模型

馬陽陽 李永建 孫 鶴 楊 明 竇潤田

基于深度置信網(wǎng)絡算法的面向鐵磁材料旋轉磁滯損耗的矢量磁滯模型

馬陽陽1,2李永建1孫 鶴1楊 明1竇潤田1

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室（河北工業(yè)大學） 天津 300130 2. 國網(wǎng)河北省電力有限公司滄州供電分公司 滄州 061000）

鐵磁材料磁滯建模是電氣工程領域的基礎性理論研究之一。該文基于深度置信網(wǎng)絡（DBN）算法結合磁滯算子空間理論提出一種矢量磁滯模型。在模型結構中，引入郎之萬函數(shù)作為映射函數(shù)對磁滯數(shù)據(jù)進行輸入轉換計算。利用多個磁滯算子構建算子空間生成高維算子數(shù)據(jù)，算子空間的數(shù)據(jù)輸出作為DBN模型的輸入，結合DBN算法表征算子數(shù)據(jù)與模型輸出的非線性關系。利用樣本的磁感應強度數(shù)據(jù)和生成的算子數(shù)據(jù)訓練模型，獲得模型參數(shù)。通過仿真表明構建的模型可以有效地描述鐵磁材料在旋轉磁化情況下的非線性特性和各項異性。同時，結合磁損分離理論改進磁損模型中相應的損耗系數(shù)，構建動態(tài)磁損計算模型，并將磁滯模型獲得的數(shù)據(jù)應用于動態(tài)損耗計算。仿真表明，構建的磁滯模型可以有效地表征鐵磁材料的實際磁化特性和損耗情況。

磁滯模型 深度置信網(wǎng)絡算法 磁滯算子 磁滯損耗

0 引言

電工裝備如電機和變壓器的優(yōu)化設計中，鐵心的電磁場分析至關重要[1-3]。構建描述鐵磁性材料磁化特性的磁滯模型有助于提升電磁場分析的精度。傳統(tǒng)的磁滯模型可以分為標量磁滯模型和矢量磁滯模型。標量模型的研究起步較早，其中，Preisach模型是一種經(jīng)典的模型[4]。這一模型的建模思想是利用多個服從特定分布的磁滯算子共同描述材料的磁滯特性，該模型具備相當高的精度和有效性，然而相對過大的計算量和同余性是其不足之處。Jiles-Atherton（J-A）模型是另一種被廣泛應用的基于物理意義的標量磁滯模型[5-6]。J-A模型的構建基于現(xiàn)有的疇壁移動和疇壁旋轉的鐵磁材料磁滯特性的數(shù)學理論，具有明確的物理特性而且計算量不大，但是其在描述小回環(huán)性質時不如Preisach模型，對材料的局部磁化特性的刻畫不夠強大。

在電工裝備的實際運行中，磁場是一個矢量場，同時，在某些電工裝備如變壓器的T形結構處存在旋轉磁場[7-8]。對此，標量磁滯模型很難精確地描述這一情況。相對而言，矢量磁滯模型可以有效地表征材料在矢量場情況下的磁滯特性?；诮?jīng)典的Preisach模型，文獻[9]提出了矢量Preisach模型，通過考慮不同磁化方向的標量模型的綜合效應使之可以計算矢量的情況。相對而言，Stoner-Wohlfarth（S-W）模型是另一種基于材料微磁學機理提出的矢量磁滯模型，但是計算量也較大[10]。同時，由于它不能解釋渦流損耗，不考慮各個粒子的相互作用以及磁化歷史的影響，所以，該模型適用范圍受限。結合上述兩種模型的優(yōu)點，2006年E. Della Torre課題組提出了一類混合矢量磁滯模型：一般矢量磁滯（Della Pinzaglia Cardelli, DPC）模型[11]。DPC模型本質上是對于傳統(tǒng)的Preisach模型在矢量方向擴展。相對于傳統(tǒng)的Preisach模型，DPC模型采用矢量磁滯算子參與計算。每個算子的輸出為一個二維的或者三維的矢量，模型根據(jù)特定的分布綜合算子的輸出作為總的輸出。相對而言，DPC模型的辨識仍然需要較長的時間，這一缺點在磁滯算子數(shù)目變多時更為明顯。另一種考慮磁滯算子的模型是Play模型[12]，不同于靜止的DPC模型的磁滯算子，Play算子在材料的磁化過程中根據(jù)磁化軌跡的位置而變化。因此，Play模型需要的磁滯算子的數(shù)目較少，同時計算量和辨識時間都較少。然而Play模型的分布函數(shù)計算過程相對復雜。

鐵磁材料的磁化機理涉及磁疇的運動過程，十分復雜。磁疇的運動機理涉及交換能、外場能、各項異性能等多種能量形式[13]。傳統(tǒng)的磁滯模型，如Preisach模型、Play模型及DPC模型僅使用傳統(tǒng)的數(shù)學工具，因此很難精確地表征材料的磁化過程。此外，J-A模型無法精確考慮精細的物理機理；S-W模型的模型磁化機理過于簡化而且計算量過大，以上這些模型對于矢量磁滯建模物理機理不明確導致的非線性關系建模困難的問題。相對于傳統(tǒng)模型，神經(jīng)網(wǎng)絡算法善于解決物理機理不明確的黑箱系統(tǒng)的建模問題。因此，很多學者采用神經(jīng)網(wǎng)絡技術構建磁滯模型。如文獻[14]利用長短期記憶網(wǎng)絡（Long Short-Term Memory Network, LSTM）構建機器人導管的磁滯模型，同時也證明了深度學習算法在磁滯模型構建中的有效性；文獻[15]利用神經(jīng)網(wǎng)絡算法構建二維矢量磁滯模型，該模型具備較好的性能但是其多個神經(jīng)網(wǎng)絡的結構使得模型結構較為復雜，同時未能說明其數(shù)據(jù)保證不發(fā)散的原理；文獻[16]采用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的結構以前一時刻的磁化數(shù)值遞推求解后一時刻的數(shù)值，存在數(shù)據(jù)誤差遷移的可能性，且不一定能表現(xiàn)小回環(huán)特征，以及不一定能夠表現(xiàn)材料勵磁特性；文獻[17]結合循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡（Recurrent Neutral Network, RNN）結構構建HRNN（Hysteretic-RNN）可以有效地描述材料的一階回轉曲線，在該模型中單個神經(jīng)元類似于磁滯算子的結構，具備記憶特性，但是該模型為標量模型，不能推廣到矢量情況。

考慮到傳統(tǒng)磁滯模型與已有的神經(jīng)網(wǎng)絡類模型的不足之處，本文結合深度學習算法和傳統(tǒng)模型中的磁滯算子的思想進行矢量磁滯建模。在模型構建中，通過引入宏觀磁滯算子構成算子空間對輸入的磁滯數(shù)據(jù)進行處理，將磁滯數(shù)據(jù)的磁滯特征轉化為非線性特性。利用深度置信網(wǎng)絡（Deep Belief Networks, DBN）對樣本進行特征提取，表征這一非線性關系，構建矢量磁滯模型。由于DBN模型是數(shù)據(jù)驅動的，因此，材料本身不明確的物理機理的矢量磁滯建模問題被轉換為深度學習網(wǎng)絡訓練問題。根據(jù)磁損分離理論改進相應的損耗系數(shù)使得矢量磁滯模型的數(shù)據(jù)進行損耗計算可以應用于動態(tài)情況。通過仿真數(shù)據(jù)可以證明本模型具有很好的精度和泛化能力。

1 磁滯算子與磁滯算子空間

1.1 磁滯算子

鐵磁材料的磁滯特性是一種復雜的非線性特性。磁滯模型中磁滯算子的作用是利用本身的記憶特性對輸入的磁場強度函數(shù){1,2,???,H}和輸出的磁通密度函數(shù){1,2,???,B}之間構建映射關系，其中為磁滯模型的維數(shù)。通過磁滯算子的映射，每個確定的生成多個算子值來定位，也就是將磁性材料在空間上的磁化狀態(tài)唯一化。

傳統(tǒng)磁滯算子有很多種，根據(jù)模型形式可以分為標量磁滯算子和矢量磁滯算子[18]。標量磁滯算子主要用于處理標量磁滯數(shù)據(jù)，如Preisach模型采用的繼電特性的磁滯算子，以及基于齒輪滯后原理的Play算子等，兩類算子特性如圖1所示。

圖1 兩種標量磁滯算子

相應地，矢量磁滯算子也有很多種。如考慮微磁學的相關理論的DPC算子、S-W算子和矢量單元算子，以及在標量Play算子基礎上發(fā)展的矢量Play算子等。含有磁滯算子的磁滯模型一般可以表示為

式中，()為磁滯算子關于的輸出；為磁滯算子的個數(shù)；為非線性或者線性函數(shù)。特別地，對于標量Preisach模型為線性函數(shù)。

1.2 宏觀磁滯算子

通過對鐵磁材料磁滯特性的分析，文獻[19]提出了一種標量的宏觀磁滯算子。這種磁滯算子可以有效地描述材料的磁滯特性中的記憶特性和擦除特性。算子的表達式為

式中，()為當前的輸出；為當前的輸入；為距離當前輸入最近的極值點；()為對應的輸出值；為壓縮系數(shù)。顯然，算子的當前輸出是在歷史極值點輸出的基礎上發(fā)生變化的。

采用如圖2a中的輸入為例說明該磁滯算子的特性。圖2中，分別在算子的輸入的上升支和下降支各有一個局部極值點，對應的算子輸出產(chǎn)生一個小回環(huán)。小回環(huán)的產(chǎn)生證明了算子具備記憶特性。而小回環(huán)之后的數(shù)據(jù)與主回環(huán)有關，可以證明算子同時滿足擦除特性。若不斷在磁滯回線的最大值處生成多個磁滯回環(huán)，那么模型就產(chǎn)生一階回轉曲線。注意到，圖中的磁滯回線不是關于橫軸對稱的，這是因為算子的輸出與模型的初始值（對應于材料的剩磁狀態(tài)）有關，在實際應用中，初始值根據(jù)之前磁化狀態(tài)的軌跡確定。

圖2 宏觀磁滯算子的特性

為了精確表征算子的性能，在本算子中定義材料充磁過程：當鐵磁材料當前的輸入值（磁場強度）的絕對值大于歷史極值的絕對值時，材料處于充磁過程，此時，材料的磁化狀態(tài)僅與當前的輸入值相關。當材料處于充磁狀態(tài)，算子的輸出為

式中，E()為算子處于充磁狀態(tài)當前的輸出；為當前的輸入。在本文的仿真中，磁滯數(shù)據(jù)均為旋轉磁化數(shù)據(jù)，材料未處于充磁狀態(tài)。但是，式（3）的定義可以使得宏觀磁滯算子在圖2中的激勵下的輸出關于橫軸對稱，有利于完善宏觀磁滯算子的特性。

1.3 磁滯算子空間

將多個磁滯算子組合成一個集合，那么這樣一個集合就構成了一個磁滯算子空間。如果算子空間中包含有個磁滯算子，對于輸入的，經(jīng)過算子空間運算可以產(chǎn)生維的數(shù)據(jù)，即

2 基于DBN算法矢量磁滯建模

2.1 深度置信網(wǎng)絡

深度置信網(wǎng)絡（DBN）算法是由G. E. Hinton 在2006年提出的一種生成模型。相對于傳統(tǒng)的機器學習算法，DBN具有強大的特征提取能力與非線性表征能力?；パa先驗理論以及受限玻耳茲曼機（Restricted Boltzmann Machines, RBM）與有向連接神經(jīng)網(wǎng)絡的等效性原理作為DBN算法的理論基礎保證了模型在實際應用中的有效性。近年來，DBN算法在圖像識別、故障診斷、數(shù)據(jù)預測等領域得到大量的應用[20-22]。

DBN模型由多個RBM的堆疊實現(xiàn)深層的網(wǎng)絡結構。RBM是一種基于能量的無監(jiān)督模型，由可見層和隱藏層構成。RBM的結構如圖3所示。圖3中，為權重，V-Layer為可見層，H-Layer為隱藏層。v和h分別為可見層與隱藏層的二值節(jié)點的取值（0或者1）。

圖3 RBM的結構

定義RBM的能量為

經(jīng)過多個RBM堆疊，DBN的網(wǎng)絡結構如圖4所示。通常情況下，訓練DBN需要兩個步驟：①采用對比散度（Contrastive Divergence, CD）貪婪算法對單個RBM逐層無監(jiān)督訓練；②采用反向傳播（Back Propagation, BP）算法或者醒眠算法對整個DBN網(wǎng)絡進行全局參數(shù)微調。前者也被稱作“預訓練”，是一種無監(jiān)督的訓練方法，主要使網(wǎng)絡參數(shù)可以盡量表征數(shù)據(jù)的特征分布；后者是一種有監(jiān)督的訓練，使模型可以有效擬合訓練集的標簽。

2.2 矢量磁滯模型

基于前文所述的宏觀磁滯算子構成的算子空間和DBN算法，本文提出一種新結構的矢量磁滯模型，模型結構如圖5所示。模型的大體結構分為輸入映射函數(shù)、磁滯算子空間和DBN模型三個部分。

2.2.1 輸入映射

在實際中的磁滯數(shù)據(jù)中，輸入的數(shù)據(jù)的變化范圍從數(shù)A/m到數(shù)kA/m，而宏觀磁滯算子的輸入是無量綱且有限的，所以如果直接通過算子進行處理勢必得不到合適的數(shù)據(jù)。為了適應宏觀磁滯算子的特性且能體現(xiàn)磁滯現(xiàn)象的飽和特性，本文利用Langevin函數(shù)對磁滯數(shù)據(jù)進行輸入映射。

在輸入映射的過程中首先將磁滯數(shù)據(jù)轉換為極坐標的形式，獲得數(shù)據(jù)的幅值和相位A和。直接利用Langevin函數(shù)對幅值進行壓縮映射，而相位保持不變。Langevin函數(shù)為

圖5 矢量磁滯模型的結構

式中，Ae。e主要用來調整Langevin函數(shù)的曲線形狀，根據(jù)經(jīng)驗值可選取e=350 A/m，可以證明，當→0時，=0；→∞時，1。

對于Langevin函數(shù)來說，輸入的是磁場強度，輸出的是無量綱的值。為了表明Langevin函數(shù)的特性，使函數(shù)輸入的磁場強度的幅值由0增加到3000 A/m，Langevin函數(shù)的輸出變化如圖6所示。

圖6 Langevin函數(shù)

由圖6可以看出，隨著磁場強度的增大，函數(shù)的輸出存在飽和的現(xiàn)象，可以部分地體現(xiàn)材料的實際狀況。

2.2.2空間中磁滯算子的分布——算子空間

空間中磁滯算子的分布如圖7所示?？臻g中，在空間的右半平面確定個方向（以原點出發(fā)構成條射線），每個方向上放置一個磁滯算子。經(jīng)Langevin函數(shù)映射后的磁化軌跡在空間上的各個方向進行投影。顯然，每個方向上軌跡的投影區(qū)間是[-1,1]（左半空間是負方向）。每個方向的投影在磁滯算子中計算獲得相應算子的值，為了后續(xù)DBN的應用，經(jīng)過調整初始值保證算子的輸出在[0,1]之間，這些值作為后續(xù)DBN模塊的輸入。算子的數(shù)目就是輸入DBN的數(shù)據(jù)的維數(shù)。

圖7 H空間中磁滯算子的分布

算子空間中磁滯算子的數(shù)目和模型的精度存在一定的關系。如果算子的數(shù)目過多，那么模型的計算和訓練的時間就會過長，造成算力的浪費。同時，如果算子的數(shù)目過少，那么模型很難完全地表征材料的磁化特性，因此，需要根據(jù)經(jīng)驗選取一個較為合適的值。圖7所示空間中設定64個算子，此時各個算子的位置的角度相差5.7°，可以保證模型的精確性。

2.2.3 DBN模型

在矢量磁滯模型的構建中，DBN模型主要用于表征算子輸出的矢量數(shù)據(jù)與材料的磁感應數(shù)據(jù)的非線性關系。在DBN的參數(shù)獲取過程中，根據(jù)磁滯數(shù)據(jù)生成的訓練集進行訓練，得到的DBN模型的參數(shù)。DBN的訓練過程主要包含兩部分：①采用CD算法對各層的RBM進行預訓練，然后堆疊RBM獲得模型初步的優(yōu)化參數(shù)；②將訓練獲得的參數(shù)作為初始值，采用Nadam優(yōu)化器進行參數(shù)的全局調優(yōu)，獲得模型最終的優(yōu)化參數(shù)。

在訓練中，RBM預訓練的參數(shù)初始值采用生成的高斯分布的隨機值（保證數(shù)值很?。adam優(yōu)化器的表達式為

Nadam的參數(shù)更新規(guī)則為

DBN模型的參數(shù)獲得之后，整體的矢量磁滯模型可以用來計算磁滯數(shù)據(jù)和材料的磁滯損耗。整個矢量磁滯模型的構建流程如圖8所示。

圖8 矢量磁滯建模的流程

3 模型仿真和分析

3.1 磁滯數(shù)據(jù)的獲取與特性分析

本文利用二維矢量磁特性測試裝置對無取向硅鋼片B35A210的磁滯特性進行測量，獲得材料的矢量磁滯數(shù)據(jù)。矢量磁特性磁測量裝置的結構及鐵心形狀如圖9所示。

圖9 二維矢量磁特性測試裝置

在二維矢量磁特性測試裝置中，兩對“C型”鐵心垂直安裝，將含有待測樣品的傳感裝置放置在二維旋轉磁特性測量裝置的中心。由三層不同匝數(shù)的繞組組成多層勵磁繞組，可以靈活地進行串并聯(lián)，滿足勵磁的頻率范圍。裝置采用組合式傳感結構，待測樣品表面的信號采用探針法，避免了線圈法對樣品鉆孔時造成的樣品磁場分布的局部不均勻，同時采用線圈法測量信號。在實驗測試中，控制樣品處的磁通密度波形軌跡為圓形，測試的軌跡。

在實際情況下，由于控制系統(tǒng)采樣頻率的存在，矢量磁測量裝置不可能獲得理想的靜態(tài)數(shù)據(jù)，因此采用5 Hz的數(shù)據(jù)近似作為靜態(tài)數(shù)據(jù)建模。在5 Hz條件下的矢量磁滯數(shù)據(jù)的特性見表1。表中，m是樣本的磁通密度幅值；max和min分別是最大磁場強度和最小磁場強度；Tr或者Te表示數(shù)據(jù)集被當作訓練集或者是測試集。為了將表1的數(shù)據(jù)可視化，部分樣本的數(shù)據(jù)在圖10中畫出。其中，圖10a為部分樣本的磁滯數(shù)據(jù)的軌跡，圖10b為部分磁滯數(shù)據(jù)的軌跡。

表1 磁滯數(shù)據(jù)的特性

Tab.1 The characteristics of hysteresis data

圖10 數(shù)據(jù)集的可視化

對于無取向硅鋼而言，晶粒雜散分布近似為各向同性，但是材料的晶體結構方面存在晶格各向異性。材料在微觀結構中存在的磁晶各向異性是導致其宏觀磁化特性存在各向異性的原因。由表1和圖10中可以看出，軌跡是圓形的，而軌跡隨著材料磁通密度的變大由橢圓形變化為蝴蝶狀，證明材料的各向異性也越來越大。另外，由表1中也可以看出，在高磁通密度的情況下，不同的磁化角度處的磁場強度的大小差異越來越大。由此可見，材料在高磁通密度情況下的各向異性更為明顯。在選取材料測試集與訓練集的情況下，測試集的樣本兼顧高中低磁通密度的特性進行選取，已表征模型的泛化能力。在17組磁滯數(shù)據(jù)中選取14組作為訓練樣本，選取3組作為模型的測試樣本，測試樣本包含高中低磁通密度的情況（m= 0.5 T, 1 T, 1.5 T）。

在矢量磁測量系統(tǒng)中，通過控制為不同幅值的圓形軌跡，產(chǎn)生17組磁滯數(shù)據(jù)集。在表1中，描述了這些數(shù)據(jù)集的特點。

3.2 材料的磁滯建模

在矢量磁滯模型中，通過算子空間可以獲得64維的算子數(shù)據(jù)輸入DBN，為了直觀表現(xiàn)，圖11展示了算子空間中-90°方向下算子對應于若干個數(shù)據(jù)集所產(chǎn)生的映射輸出。

圖11 算子的輸出

通過對算子剩磁()的調整保證算子的對稱性，事實上調整后的剩磁仍舊符合式（3）的表述。實際情況下，如果磁滯數(shù)據(jù)包含更復雜的磁化情況，在磁滯算子的計算中采用式（3）是必須的。

算子空間的數(shù)據(jù)輸出作為DBN的輸入，因此DBN的輸入神經(jīng)元為64個，DBN的輸出為二維矢量磁通密度B、B。因此，DBN的輸出節(jié)點為2。綜合考慮，DBN模型結構確定為：64-100-40-20-2，采用3個RBM進行預訓練。訓練中，RBM的預訓練采用CD算法，DBN的全局訓練采用Nadam優(yōu)化器，模型的主要優(yōu)化參數(shù)見表2。

表2 DBN模型的優(yōu)化參數(shù)

Tab.2 The optimized parameters of DBN model

矢量磁滯模型經(jīng)過包含14組數(shù)據(jù)的訓練集進行訓練獲得模型的參數(shù)，訓練時間為109.02 s，所需的算力和建模的時間都在可接受范圍。然后將訓練好的模型分別在高、中、低磁通密度條件下（m=0.5 T, 1 T, 1.5 T）進行數(shù)據(jù)擬合，軌跡擬合的結果如圖12所示。

圖12 磁滯模型的輸出與磁滯數(shù)據(jù)的擬合

通過圖12可以看出，模型計算得到的數(shù)據(jù)與原始的磁化數(shù)據(jù)軌跡擬合得比較好?？勺C明本模型具有較好的準確度與泛化能力。由于輸入的值存在各向異性，且隨著的增大，各向異性逐漸變大（由表1可得）。因此，可以證明本矢量模型可有效地表征鐵磁材料的宏觀各向異性。為了證明模型的表征能力，對矢量情況下測試集的磁滯數(shù)據(jù)在軸和軸進行分解，模型的擬合情況如圖13所示。

圖13 測試集x軸和y軸數(shù)據(jù)的擬合情況

圖13中，藍色實線為測試數(shù)據(jù)，紅色虛線為模型的擬合數(shù)據(jù)?？梢悦黠@地看出模型在軸和軸上數(shù)據(jù)中，在0.5 T、1.0 T、1.5 T情況下的擬合結果都比較好。這也證明提出的矢量模型對于磁滯數(shù)據(jù)在相位誤差上也比較小，從而保證了磁損計算的可靠性。相對而言，模型在1.5 T的軸數(shù)據(jù)的中、高磁通密度情況下的擬合結果存在一些誤差，而其他情況的擬合結果相對更好。這是因為，一方面這一磁滯數(shù)據(jù)在高磁場強度下的磁滯特性相對較小，磁滯回線更為細長；另一方面，神經(jīng)網(wǎng)絡模型在處理多輸出問題時誤差相對較大，存在對特殊數(shù)據(jù)敏感性不強的可能。

為了定量地評估模型的性能，誤差評估采用方均根公式，即

式中，N為數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)個數(shù)；Y1、Y2分別為模型的輸出和原始數(shù)據(jù)值。誤差的評估結果如圖14所示。由圖14可以看出模型的平均誤差在0.05左右，精度在可接受范圍內。同時每個測試集的誤差相差不大，說明模型在不同的數(shù)據(jù)下穩(wěn)定性較好。

對于本文所提的模型而言，由于深度學習算法本身是靠數(shù)據(jù)訓練的，而根據(jù)二維矢量磁特性測試儀獲得的磁滯數(shù)據(jù)本身體現(xiàn)了材料在宏觀方向的各向異性，且磁通密度越大越明顯。經(jīng)過數(shù)據(jù)訓練后，神經(jīng)網(wǎng)絡本身可以表征數(shù)據(jù)內在的聯(lián)系，從而可以表現(xiàn)數(shù)據(jù)各向異性的特點，仿真的結果也證實了這一結論。

3.3 基于磁損分離理論的動態(tài)損耗計算

Berotti提出的磁損分離理論認為硅鋼鐵心損耗可以分解為磁滯損耗、經(jīng)典的渦流損耗和異常損耗[23]?？杀硎鰹?/p>

式中，為總損耗；hys、c和e分別為磁滯損耗、渦流損耗和異常損耗；h、c、e分別為磁滯損耗系數(shù)、渦流損耗系數(shù)和異常損耗系數(shù)；為頻率；m為最大磁通密度值。

同時，基于模型的鐵損計算公式為

式中，hys和分別為模型的輸入磁場強度和輸出磁通密度。通過式（13），利用本模型計算的準靜態(tài)的磁滯數(shù)據(jù)計算可以得到磁損數(shù)據(jù)。

傳統(tǒng)的磁損計算是將逆時針和順時針的磁滯數(shù)據(jù)分別通過式（13）計算損耗，然后進行數(shù)據(jù)平均，認為通過這樣的方式可以抵消材料的旋轉各向異性以及材料在測量中存在的不確定性。本文將順時針和逆時針的磁滯數(shù)據(jù)進行平均化然后采用式（13）進行鐵磁損耗的計算。得到的結果與模型的磁損計算結果和材料的平均損耗進行對比，如圖15所示。

圖15 各種計算方式的損耗對比

為了方便表述，圖15中，損耗A表示對原始的磁滯數(shù)據(jù)平均化后計算的損耗；損耗B表示對模型生成的磁滯數(shù)據(jù)計算的損耗；損耗C表示對原始的磁滯數(shù)據(jù)先分別計算順時針旋轉損耗和逆時針旋轉損耗，然后再將損耗進行平均化得到的損耗。通過圖15可以發(fā)現(xiàn)，在低磁通密度下三種計算方式之間的差別不大。但是，在高磁通密度下，損耗A和損耗B相差不大，這也變相地證明了本文構建的模型計算的數(shù)據(jù)在精度上和原始的磁滯數(shù)據(jù)很接近。相對而言，損耗A、B比損耗C要大一些。通過前述的數(shù)據(jù)分析可以看出，高磁通密度的磁滯數(shù)據(jù)的各向異性相對而言要大一些，這也是兩種損耗計算方法差別較大的原因。單純地將順、逆時針的損耗進行平均化計算材料的損耗具有一定合理性。兩者誤差的差距主要在于材料的各向異性導致的兩種不同的計算方式產(chǎn)生的數(shù)值誤差。本文以損耗C作為標準，修正損耗計算模型。

本文的模型計算的數(shù)據(jù)是準靜態(tài)的，所以包含一定的渦流和剩余分量?；谏鲜龇治?，本文改進傳統(tǒng)的損耗模型為

式中，5_cal為磁滯模型計算的5 Hz條件下的鐵磁損耗；_ani為損耗考慮各向異性的折算系數(shù)，與最大磁通密度相關；1、2、3分別為靜損系數(shù)、渦流損耗系數(shù)和雜散損耗系數(shù)。在本文中，折算系數(shù)設定為與m相關的分段函數(shù)，設定為

事實上，折算系數(shù)與順、逆時針的數(shù)據(jù)誤差相關，考慮到損耗模型中系數(shù)1的限制，折算函數(shù)的選擇有一定的經(jīng)驗性。本文根據(jù)樣本點中各向異性比較大的后三個點的折算系數(shù)的值定為0.8、0.6、0.7，通過擬合的二次函數(shù)確定。

損耗模型的折算函數(shù)如圖16所示。

圖16 損耗模型的折算函數(shù)

材料磁損的計算對矢量數(shù)據(jù)是比較敏感的，實際數(shù)據(jù)中相位的偏差，以及順、逆時針數(shù)據(jù)存在的誤差等因素均可能造成磁損計算的偏差。實際應用中，應該通過多次實驗確定不同旋轉勵磁的磁通密度幅值對應的鐵磁損耗值，通過折算系數(shù)校核模型計算的磁損和實際磁損的偏差。通過這一方法可有效地保證磁損計算和模型磁特性表征的獨立性，以及鐵磁模型在損耗計算應用的可靠性。數(shù)據(jù)理想的情況下，折算系數(shù)可能為1?；?0 Hz和200 Hz的損耗數(shù)據(jù)采用混沌量子粒子群算法辨識模型相關系數(shù)[24]，結果見表3。

表3 磁滯損耗模型的辨識系數(shù)

Tab.3 The identificated coefficients of hysteresis loss model

雖然后兩個參數(shù)小幾個量級，但是由于考慮頻率的計算，后兩部分損耗在總損耗中仍然占據(jù)一定的比例。依據(jù)辨識的模型計算的動態(tài)損耗和原始數(shù)據(jù)進行比較，動態(tài)損耗模型的擬合效果如圖17所示。

圖17 動態(tài)損耗模型的擬合效果

在圖17中，各個頻率的損耗擬合情況可以形象地表現(xiàn)出來。對于5 Hz損耗數(shù)據(jù)，采用折算系數(shù)計算后模型的輸出與損耗數(shù)據(jù)的對比如圖17a所示，可以看出模型的損耗計算與數(shù)據(jù)在高磁通密度條件下誤差變小，同時，在高磁通密度階段模型的損耗輸出存在一個極大值，這一現(xiàn)象與實際情況是匹配的。因此，該圖說明的是折算系數(shù)的作用。損耗模型的參數(shù)辨識由50 Hz和200 Hz的損耗數(shù)據(jù)進行，所以，在圖17b和圖17d中主要表現(xiàn)辨識算法的誤差以及模型的復現(xiàn)效果。在圖17c中利用辨識好的動態(tài)損耗模型對100 Hz的損耗數(shù)據(jù)進行泛化驗證，可以看出模型具備較好的精度，證明了提出的損耗模型的泛化能力。為了對100 Hz損耗數(shù)據(jù)進行定量分析，引入相對誤差，即

式中，Er(i)為第i個樣本的相對誤差。為了更加直觀地表示，100 Hz損耗數(shù)據(jù)的17個樣本的相對誤差如圖18所示。

圖18中，第一個樣本為0樣本，不具有統(tǒng)計意義?？梢钥闯?，大部分樣本的相對誤差在0.2以下，證明本模型具備較好的泛化能力。第二個樣本的相對誤差達到0.45，但是，第二個樣本的原始數(shù)據(jù)為0.101 4，計算值為0.146 6，雖然相對誤差較大，但其意義本身不大，這一計算結果在可接受范圍內。第16個樣本的相對誤差達到0.315 9，其原始數(shù)據(jù)為5.574 7，計算值為7.335 7。但是注意到，在原始數(shù)據(jù)中，此點為一個極小值點，而模型計算的為一個極大值點。通過磁滯損耗理論以及其他三個頻率下的特征描述可知，旋轉損耗會在較高磁通密度時表現(xiàn)為一個極大值點。所以，該點應該是個極大值點，盡管計算的相對誤差較大，但是模型是合理的。該誤差的產(chǎn)生可能是裝置測量導致的?？傮w來看，本磁滯損耗模型具備比較好的精度與泛化性能。

4 結論

本文基于DBN算法結合磁滯算子空間理論提出一種矢量磁滯模型，并將該模型應用于B35A210無取向硅鋼片的磁化軌跡驗證和鐵磁損耗計算中。通過仿真分析證明了針對矢量磁滯數(shù)據(jù)，該模型利用深度學習算法可以有效地表征材料在高、中、低等不同磁通密度條件下的各向異性和磁滯特性。同時通過改進動態(tài)損耗模型的相關系數(shù)，引入損耗折損系數(shù)表征材料的各向異性對損耗的影響，可以將本模型計算的磁滯數(shù)據(jù)應用于材料的動態(tài)損耗計算中。對實驗數(shù)據(jù)的仿真證明了本模型具備較好的實用性和泛化能力。

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Vector Hysteresis Model for Rotational Hysteresis Loss of Ferromagnetic Materials Based on Deep Belief Network Algorithm

Ma Yangyang1,2Li Yongjian1Sun He1Yang Ming1Dou Runtian1

（1. State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment Hebei University of Technology Tianjin 300130 China 2. State Gird Cangzhou Electric Power Supply Company Cangzhou 061000 China）

The silicon steel sheet is the core material of electrical equipment, and its magnetization characteristics directly affect the operation mechanism of equipment. So, the hysteresis modeling of ferromagnetic materials is one of the basic theoretical studies in the field of electrical engineering. In this paper, a vector hysteresis model is proposed based on the deep belief network (DBN) algorithm and hysteresis operator space theory.

The structure of the model consists of three parts: input mapping function, operator space and DBN model. In this paper, the Langevin function is used as the input mapping function to calculate the input mapping of hysteresis data, so that the data can adapt to the characteristics of hysteresis operator in the subsequent structure and can reflect the saturation characteristics of hysteresis phenomenon. Hysteresis operators in multiple directions inspace construct a hysteresis operator space. And the magnetization trajectory of the material mapped by Langevin function is projected in all directions onspace. The high-dimensional hysteresis operator data is generated by calculating hysteresis operators in all directions. Then the output of the operator space is taken as the input of the DBN model. In the construction of vector hysteresis model, DBN model is mainly used to characterize the nonlinear relationship between the high-dimensional vector data output by the operator and the magnetic induction data of the material. The parameters of the vector hysteresis model are obtained by training the magnetic induction data of training samples and the operator data generated by the training samples. The model parameters are mainly obtained by training DBN parameters. And the training process of DBN mainly consists of two parts: (1) The CD algorithm is used to the pre-training of the RBM in each layer, then the RBMs are stacked to obtain the preliminary optimization parameters of the model. (2) The parameters obtained by pre-training are taken as initial values, and the Nadam optimizer is used for global parameter tuning to obtain the final optimization parameters of the model. The obtained model is fitted under the conditions of high, middle and low magnetic density (m=0.5 T, 1 T, 1.5 T) respectively, and it is proved that the trajectory error between the calculated data of the model and the original magnetization data is small. In addition, the x-axis and y-axis decomposition of the calculated vector hysteresis data also prove that the proposed vector model has a relatively small error in terms of phase for hysteresis data, thus ensuring the reliability of magnetic loss calculation. So, the simulation results of hysteresis data obtained by experiment show that the model can effectively describe the nonlinear characteristics and anisotropic of ferromagnetic materials under the rotation vector excitation.

Based on the magnetic loss separation theory, an improved loss calculation model is proposed in this paper. In the magnetic loss calculation model, the deviation between the magnetic loss calculated by the data calculated by the model and the actual magnetic loss is checked by the conversion function. Thus, the independence of the magnetic loss calculation and the characterization of the magnetic characteristics of the model are effectively guaranteed. And the data obtained by the hysteresis model is applied to the dynamic loss calculation. The simulation results show that the hysteresis model can fit the actual situation effectively.

Hysteresis model, deep belief network (DBN) algorithm, hysteresis operator, hysteresis loss

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211562

TM15

國家自然科學基金重點項目（52130710）、國家自然科學基金項目（51777055, 51977122）和河北省自然科學基金創(chuàng)新群體項目（E2020202142）資助。

2021-05-14

2021-06-14

馬陽陽 男，1991年生，博士研究生，研究方向為電磁場理論、鐵磁材料磁滯建模與深度學習。E-mail：1367767122@qq.com

李永建 男，1978年生，教授，博士生導師，研究方向為工程電磁場與磁技術、三維磁特性測量與建模。E-mail：liyongjian@hebut.edu.cn（通信作者）

（編輯 郭麗軍）