基于試題鏈的構(gòu)建提升學(xué)生的分析能力
——以“圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題”為例

張建軍

(中山市第一中學(xué))

1 背景介紹

高考復(fù)習(xí)沖刺是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)和思維能力內(nèi)化的過(guò)程,是核心能力整合升華的過(guò)程。然而在升學(xué)壓力和時(shí)間緊迫的雙重壓力下,備考沖刺慢慢變成了頻繁考試和大量習(xí)題訓(xùn)練為過(guò)程的模式,把學(xué)生引向多做題,就能考出好成績(jī)的誤區(qū),進(jìn)而一步步擠兌學(xué)生的學(xué)習(xí)精力,學(xué)生身心疲憊,疲于應(yīng)付。高三復(fù)習(xí)沖刺階段,時(shí)間緊是現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題,這個(gè)階段教師的功能就更加的凸顯,教師要自己走向題海,多做題、多悟題,在題海中篩選出優(yōu)秀題目,通過(guò)再創(chuàng)新,再情境化,形成有效的題型鏈條,把思維引導(dǎo),能力訓(xùn)練融入其中,讓學(xué)生少做題,做精題,有思考,從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,提高沖刺效率。

2 構(gòu)建試題鏈的策略

沖刺階段試題鏈的構(gòu)建要著眼于核心知識(shí),緊扣課程標(biāo)準(zhǔn),兼顧一二輪復(fù)習(xí)中的盲點(diǎn),做到精準(zhǔn)、精細(xì),把相關(guān)考點(diǎn)關(guān)聯(lián)在一起,形成有效的思維鏈條,從而提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。試題鏈的構(gòu)建前提是依據(jù)核心考點(diǎn)篩選出極具代表性的原始題,這需要教師精心去篩選,原始題一般要滿(mǎn)足以下幾個(gè)特征：其一,必須是學(xué)生非常熟悉的情境,摒棄難、偏、怪的問(wèn)題,體現(xiàn)基礎(chǔ)性;其二,必須緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn),是高考的核心考點(diǎn);其三,必須具有代表性、拓展性,能演繹出多維的綜合性問(wèn)題。原始題選定后,不斷地發(fā)掘其中的關(guān)聯(lián)知識(shí),對(duì)其再拓展、再情境化,演繹出系列試題,達(dá)到事半功倍的效果。試題鏈的構(gòu)建主要方法有三種,拓展原始題的設(shè)問(wèn),拓展原始題的情境條件,以及關(guān)聯(lián)知識(shí)的遷移。三種方式難度由淺入深,層層遞進(jìn),有章有序地引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生思考。這里筆者以“圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題”為例,在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上,從上述角度構(gòu)建試題鏈。

2.1 拓展原始題的設(shè)問(wèn)

【原題再現(xiàn)】豎直平面內(nèi)有一長(zhǎng)度為R的輕繩,輕繩一端固定于O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m,可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,開(kāi)始時(shí)靜止于A(yíng)點(diǎn)如圖1所示,現(xiàn)給小球一個(gè)沿著水平方向的初速度v0,使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度為g,則v0需要滿(mǎn)足的條件。

圖1 小球豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)

【解析】若小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)B點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng),速度為vB0,則

①

②

從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中由動(dòng)能定理可得

③

④

原始題的核心考點(diǎn)有兩個(gè),一是圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件,二是動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律的使用,是學(xué)生非常熟悉的基礎(chǔ)題型。這里可以在不改變題設(shè)的情況下,繼續(xù)發(fā)掘。

【拓展題1】在原題基礎(chǔ)上增加設(shè)問(wèn)：(2)小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng),A點(diǎn)和B點(diǎn)繩子的拉力和速度有關(guān)嗎?拉力大小的差值和速度有關(guān)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng),試猜想在哪兩個(gè)位置取到拉力差的最大值,并證明你的猜測(cè)。

增加設(shè)問(wèn)(2)的解析：若在最低點(diǎn)A速度為vA,在最高點(diǎn)B速度為vB,在A(yíng)、B兩點(diǎn)列出牛頓第二定律方程有

⑤

⑥

由⑤⑥可知,在A(yíng)點(diǎn)和B點(diǎn)繩子拉力的大小和速度大小有關(guān)。

其中FTA和FTB分別表示在A(yíng)、B兩點(diǎn)繩子中的拉力,由⑤式和⑥式可解得

⑦

再結(jié)合由A到B的動(dòng)能定理可得

⑧

增加設(shè)問(wèn)(3)的解析：學(xué)生給出猜測(cè),在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)是拉力差取得最大值的臨界位置

【證明過(guò)程】在小球運(yùn)動(dòng)到任意位置C時(shí),與OA方向夾角為θ,運(yùn)動(dòng)到任意位置D時(shí),與OA方向夾角為β,如圖2所示,在C點(diǎn)和D點(diǎn)的速度分別為vC和vD。

圖2 小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)和D點(diǎn)

從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),由動(dòng)能定理可知

⑨

在C點(diǎn)受力分析,如圖3,根據(jù)牛頓第二定律列出向心力方程,可得

圖3 小球在C點(diǎn)受力分析

⑩

由⑨和⑩可解得

【拓展意圖】原始題的思維過(guò)程主要集中在最高點(diǎn)的臨界思維,以及功能轉(zhuǎn)換思維,經(jīng)過(guò)對(duì)原始題的改編,拓寬了學(xué)生的思考過(guò)程,學(xué)生根據(jù)以往的知識(shí)很清楚拉力和速度有關(guān),但是拉力的差值是否和速度有關(guān),大部分學(xué)生存在疑問(wèn),對(duì)拉力差取最大值的臨界位置如何證明也存在疑問(wèn),這也是一二輪復(fù)習(xí)中存在的盲點(diǎn)。新設(shè)問(wèn)題的分析過(guò)程,也正是兼顧到一二輪復(fù)習(xí)的盲點(diǎn),考查學(xué)生圓周運(yùn)動(dòng)的分析能力。本道題的設(shè)問(wèn)(3)具有一定的開(kāi)放性,學(xué)生可能有不同的判斷和猜測(cè),學(xué)生基于自己的判斷需提供證據(jù),給出合理的論證,論證過(guò)程就是一個(gè)質(zhì)疑和批判思維整合的過(guò)程,這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》中科學(xué)思維水平4的明確要求。

2.2 拓展原始題的情境條件

圖4 小球在B點(diǎn)離開(kāi)圓周

(1)小球在離A點(diǎn)多高的位置脫離圓軌跡;

(2)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離A點(diǎn)的最大高度。

【解析】(1)假設(shè)小球恰好在B點(diǎn)脫離圓軌跡,OB和水平方向成θ角,速度為vB,則繩子拉力恰好為零,對(duì)小球受力分析如圖5所示,由此可知

圖5 在B點(diǎn)對(duì)小球受力分析

①

②

從A到B由動(dòng)能定理可知

③

④

(2)小球在B點(diǎn)離開(kāi)圓軌跡后,做斜上拋運(yùn)動(dòng),B點(diǎn)豎直分速度為vy,如圖6所示

圖6 在B點(diǎn)速度分解

vy=vB·cosθ

⑤

從B點(diǎn)離開(kāi)圓軌跡,上升到離B點(diǎn)的最大高度為h1

⑥

綜上所述,整個(gè)過(guò)程中離A點(diǎn)的最大高度為H

⑦

【拓展意圖】學(xué)生在一二輪復(fù)習(xí)中已經(jīng)掌握小球能通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件,但是對(duì)不能通過(guò)最高點(diǎn)的情況卻疏于研究,常常認(rèn)為小球速度減到零是脫離圓軌跡的臨界條件,也是小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的臨界條件,沒(méi)有真正理解小球脫離圓軌跡的臨界條件是繩子拉力恰好為零,到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件是斜拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)。本道題的設(shè)計(jì)充分地考慮到高考對(duì)核心知識(shí)考察的綜合性要求,體現(xiàn)知識(shí)、能力、素養(yǎng)的考查。本道題有兩個(gè)設(shè)問(wèn),每個(gè)設(shè)問(wèn)如果單獨(dú)拿給學(xué)生去練習(xí),得到的解答過(guò)程幾乎是一樣的,學(xué)生認(rèn)為脫離圓軌跡的地方就是最高點(diǎn)。改編題設(shè)計(jì)兩個(gè)設(shè)問(wèn),就是要學(xué)生在解題的過(guò)程中形成思維的碰撞,從而辯證地去分析自己解題過(guò)程的思維盲點(diǎn),思考兩個(gè)設(shè)問(wèn)中隱含的內(nèi)在信息,達(dá)到自我思維糾錯(cuò),內(nèi)化知識(shí),提升能力的目的。

【拓展題3】豎直平面內(nèi)有一長(zhǎng)度為R的輕繩,輕繩一端固定于O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m,可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,A點(diǎn)是小球靜止時(shí)的位置,現(xiàn)將小球拉到與水平方向成θ的B點(diǎn),由靜止釋放,如圖7所示,重力加速度為g,求小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)繩子對(duì)小球的拉力。

圖7 小球在B點(diǎn)靜止釋放情景

【解析】小球從B點(diǎn)由靜止釋放,首先做的是自由落體運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B關(guān)于水平線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,如圖8所示,速度為v1,由B到D的動(dòng)能定理可得

圖8 小球在D點(diǎn)速度分解

①

②

在D點(diǎn)小球的速度因繩子張緊發(fā)生突變,保留沿著切線(xiàn)方向的速度vx,后做圓周運(yùn)動(dòng)

③

從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn),速度為vA,由動(dòng)能定理可知

④

⑤

在A(yíng)點(diǎn)由牛頓第二定律列得向心力方程

⑥

將⑤式代入可得FTA=3mg+2mgsinθ-4mgsin3θ

【拓展意圖】學(xué)生經(jīng)過(guò)拓展題2的學(xué)習(xí)后,大部分學(xué)生已經(jīng)能夠掌握小球脫離圓軌跡的臨界判斷條件,但是隨著情境條件的改變,很多學(xué)生依然擺脫不了定勢(shì)思維,出現(xiàn)學(xué)和用脫節(jié)現(xiàn)象,知識(shí)不能有效地遷移。首先,本道題中學(xué)生往往潛意識(shí)地認(rèn)為小球釋放后依然是沿著圓周運(yùn)動(dòng),直接從釋放點(diǎn)到最低點(diǎn)使用動(dòng)能定理求出速度,再求出拉力,完全忽略了小球在釋放位置,能沿著圓軌跡運(yùn)動(dòng)是有臨界條件的;其次,本道題中小球在D點(diǎn)也是個(gè)重要的臨界位置,是速度發(fā)生突變的臨界位置,需要進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解,這個(gè)知識(shí)點(diǎn)也是絕大部分學(xué)生的思維盲點(diǎn)。本道題和拓展題2相輔相成,讓學(xué)生在犯錯(cuò)的過(guò)程中不斷地總結(jié)反思,思維過(guò)程不斷地得到訓(xùn)練和完善,擺脫思維定式的束縛,消除知識(shí)理解的盲點(diǎn)。

2.3 原始題關(guān)聯(lián)知識(shí)的遷移

圖9 電場(chǎng)中的圓軌道

(1)A點(diǎn)和B點(diǎn)小球?qū)壍赖膲毫Σ?

(2)猜想小球?qū)壍缐毫Σ畹淖畲笾凳嵌啻?在哪里取到,并給出證明。

【解析】(1)假設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度為vB,在A(yíng)、B兩點(diǎn)分別列出向心力方程

①

②

由①式和②式可得

③

從A運(yùn)動(dòng)到B,由動(dòng)能定理可知

④

由此可得

⑤

將⑤代入③可得

FNA-FNB=6mg

⑥

由牛頓第三定律可知,壓力差也為ΔF=6mg

(2)若小球在軌道內(nèi)靜止時(shí)處于C點(diǎn),此時(shí)OC和豎直方向夾角為θ,則C點(diǎn)為等效最低點(diǎn),與之對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)為等效最高點(diǎn),在C點(diǎn)取得壓力最大值,D點(diǎn)取得壓力最小值。在C點(diǎn)時(shí)有

⑦

由此可得,θ=37°,在C點(diǎn)重力和電場(chǎng)力的合力為F,如圖10所示

圖10 電場(chǎng)和重力的合力

⑧

在C到D列得向心力方程可得

⑨

⑩

由⑨式和⑩式可知

從C點(diǎn)到D點(diǎn)由動(dòng)能定理可得

FNC-FND=6F=7.5mg

由牛頓第三定律得壓力差為7.5mg。

【拓展意圖】本道拓展題是對(duì)前面所復(fù)習(xí)知識(shí)的遷移和靈活應(yīng)用,是將“學(xué)習(xí)探索情境”融入教學(xué)的實(shí)踐,考查學(xué)生依據(jù)必備知識(shí)分析新情境的能力。依據(jù)拓展題1的鋪墊,大部分學(xué)生能夠完成第一問(wèn)的解答,但是對(duì)第二問(wèn)的解答存在困難和盲點(diǎn),部分學(xué)生依然認(rèn)為A點(diǎn)和B點(diǎn)是取得壓力差最大值的臨界位置,沒(méi)有領(lǐng)悟到等效場(chǎng)的問(wèn)題,這也是一輪復(fù)習(xí)中常常忽視的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)本道題的解答,需要學(xué)生具有復(fù)雜圓周運(yùn)動(dòng)的分析能力,功能關(guān)系的綜合能力,等效思想的應(yīng)用能力,對(duì)學(xué)生的要求很高。如果學(xué)生能理解到等效場(chǎng)的概念,其實(shí)本道題第二問(wèn)完全可以類(lèi)比拓展題1的第二問(wèn),壓力差為等效重力的六倍,從而完成知識(shí)的遷移和再拓展。

3 結(jié)語(yǔ)