動(dòng)力學(xué)中的臨界極值問(wèn)題的解題策略

黃寬寬

(湖北省孝感市第一高級(jí)中學(xué))

在物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的過(guò)程中,往往達(dá)到某個(gè)特定狀態(tài)時(shí),有關(guān)的物理量將發(fā)生突變,此狀態(tài)叫作臨界狀態(tài),相應(yīng)物理量的值叫作臨界值。臨界狀態(tài)的兩側(cè),物體的受力情況、變化規(guī)律、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一般都要發(fā)生改變,用變化的觀點(diǎn)正確分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是求解這類(lèi)題目的關(guān)鍵,而臨界狀態(tài)的確定是求解這類(lèi)題目的基礎(chǔ)。

一、題型特點(diǎn)

(一)當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)時(shí)必須有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn),這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)叫作臨界狀態(tài);在臨界狀態(tài)時(shí)必須滿足的條件叫作臨界條件。

(二)臨界或極值條件的標(biāo)志

1.題目中有“剛好” “恰好” “正好”等字眼,表明題述的過(guò)程存在著臨界點(diǎn);

2.若題目中有“取值范圍” “多長(zhǎng)時(shí)間” “多大距離”等詞語(yǔ),表明題述的過(guò)程存在著“起止點(diǎn)”,而這些起止點(diǎn)往往對(duì)應(yīng)的就是臨界狀態(tài);

3.若題目中有“最大” “最小” “至多” “至少”等字眼,表明題述的過(guò)程存在著極值,這個(gè)極值點(diǎn)往往是臨界點(diǎn)。

二、解題思路

(一)分析流程

(二)涉及問(wèn)題

1.接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離,臨界條件是彈力FN=0。

2.相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對(duì)靜止時(shí),常存在著靜摩擦力,則相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是靜摩擦力達(dá)到最大值。

3.繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限的,繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力,繩子松弛的臨界條件是FT=0。

4.加速度最大與速度最大的臨界條件：當(dāng)物體在受到變化的外力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí),其加速度和速度都會(huì)不斷變化,當(dāng)所受合外力最大時(shí),具有最大加速度;合外力最小時(shí),具有最小加速度。當(dāng)加速度等于零時(shí),往往會(huì)出現(xiàn)速度最大或速度最小的情形。

三、常見(jiàn)模型

(一)接觸物體分離的臨界條件是彈力FN=0

【例1】如圖1所示,在傾角α=30°的光滑斜面上,并排放著質(zhì)量分別為mA=10 kg和mB=2 kg的A、B兩物塊。一勁度系數(shù)k=400 N/m的輕彈簧一端與B相連,另一端與固定擋板相連,整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)對(duì)A施加一沿斜面向上的力F,使A沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)。已知力F在前0.2 s內(nèi)為變力,0.2 s后為恒力,g取10 m/s2。求力F的最大值和最小值。

圖1

解：因?yàn)樵趖=0.2 s內(nèi)F是變力,在t=0.2 s 以后F是恒力,所以在t=0.2 s時(shí),A與B開(kāi)始分離,此時(shí)A與B間的作用力FN為零。設(shè)在0～0.2 s 時(shí)間內(nèi)A與B沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的距離為x,對(duì)A,根據(jù)牛頓第二定律可得

F+FN-mAgsinα=mAa

對(duì)A和B整體應(yīng)用牛頓第二定律可得

【點(diǎn)評(píng)】從受力角度看,兩物體分離的條件是兩物體間的正壓力為0。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看,一起運(yùn)動(dòng)的兩物體恰好分離時(shí),兩物體在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等。先根據(jù)平衡條件求出彈簧開(kāi)始的壓縮量,因?yàn)樵谇?.2 s時(shí)間內(nèi),F為變力,0.2 s 以后,F為恒力,所以在0.2 s時(shí),A、B分離,B對(duì)A的作用力為0,對(duì)物體B運(yùn)用牛頓第二定律列式得出F與加速度的關(guān)系式,當(dāng)A、B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力最小,當(dāng)A、B分離時(shí)拉力最大,根據(jù)牛頓第二定律即可求解。

【變式訓(xùn)練1】如圖2所示,A、B兩個(gè)物體靠在一起,靜止在光滑的水平面上,它們的質(zhì)量分別為mA=1 kg、mB=3 kg,現(xiàn)用水平力FA推A,用水平力FB拉B,FA和FB隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖3所示,則 ( )

圖2

圖3

A.A、B分開(kāi)之前,A物體所受的合外力逐漸減小

B.t=3 s時(shí),A、B脫離

C.A、B分開(kāi)前,它們一起運(yùn)動(dòng)的位移為6 m

D.A、B分開(kāi)后,A做減速運(yùn)動(dòng),B做加速運(yùn)動(dòng)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖像與臨界問(wèn)題的綜合應(yīng)用。在未脫離的過(guò)程中,整體受力向右,且大小恒定為FA+FB=12 N,根據(jù)牛頓第二定律求出加速度,脫離時(shí)滿足A、B加速度相同,且彈力為零,根據(jù)牛頓第二定律列式求得時(shí)間,運(yùn)動(dòng)位移根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間公式求解。

(二)繩子松弛的臨界條件是繩中張力FT=0

【例2】如圖4所示,當(dāng)斜面以多大加速度a向左運(yùn)動(dòng)時(shí),小球沿斜面上移?

圖4

【解析】當(dāng)繩的拉力為零時(shí),小球受力如圖5。由牛頓第二定律得F合=mgtanθ=ma0,a0=gtanθ,即當(dāng)a>a0=gtanθ時(shí),小球沿斜面上移。

圖5

【點(diǎn)評(píng)】斜面靜止時(shí),小球受重力、彈力和拉力而靜止。當(dāng)小球隨斜面向左加速運(yùn)動(dòng),則繩的拉力將減小,支持力增大,以獲得水平向左的加速度,加速度足夠大時(shí),小球可能沿斜面上移,因此繩的拉力為零是球上移的臨界條件。

【變式訓(xùn)練2】如圖6所示,沿水平面運(yùn)動(dòng)的小車(chē)?yán)?用兩根輕質(zhì)細(xì)線A、B懸掛一個(gè)小球,小車(chē)光滑底板上有一個(gè)用輕質(zhì)彈簧拴著的物塊,已知兩根懸線與豎直方向夾角均為θ=30°,彈簧處于拉伸狀態(tài),小球和物塊質(zhì)量均為m,均相對(duì)小車(chē)靜止,重力加速度為g,下列說(shuō)法正確的是 ( )

圖6

A.小車(chē)一定水平向右做勻加速運(yùn)動(dòng)

B.兩根輕細(xì)線的拉力都不可能為0

C.兩根細(xì)線的拉力有可能相等

【點(diǎn)評(píng)】考查對(duì)不同研究對(duì)象的受力分析,掌握牛頓第二定律與力的合成與分解的應(yīng)用,注意相對(duì)靜止是解題的關(guān)鍵。根據(jù)物塊受力分析,從而確定運(yùn)動(dòng)情況;對(duì)小球進(jìn)行受力分析,依據(jù)牛頓第二定律,從而確定細(xì)線A是否有力;由牛頓第二定律,依據(jù)加速度不同,從而確定細(xì)線B的拉力可能值;根據(jù)力的合成與分解,依據(jù)平衡條件,及牛頓第二定律與胡克定律,即可求解。

(三)疊加體系統(tǒng)中恰好要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí),其靜摩擦力達(dá)到最大值,即F靜=Ffm

圖7

A.當(dāng)F<2μmg時(shí),A、B都相對(duì)地面靜止

C.當(dāng)F>3μmg時(shí),A相對(duì)B滑動(dòng)

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)F大于地面對(duì)B的最大靜摩擦,且力F較小時(shí),加速度較小,B對(duì)A的摩擦力也小,A、B一起運(yùn)動(dòng)。隨著力F增大,加速度a增大,B對(duì)A的摩擦力增大,最大靜摩擦力是極限。則A、B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的臨界條件是兩者之間的摩擦力為最大靜摩擦力。

(四)極值問(wèn)題

圖8

(1)求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小。

(2)拉力F與斜面夾角多大時(shí),拉力F最小?拉力F的最小值是多少?

解：(1)由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得

代入數(shù)值解得a=3 m/s2,vB=8 m/s

(2)對(duì)物塊受力分析,如圖9所示,設(shè)拉力F與斜面成α角,在垂直斜面方向,根據(jù)平衡條件可得Fsinα+FN=mgcos30°,沿斜面方向,由牛頓第二定律可得Fcosα-mgsin30°-Ff=ma

圖9

又Ff=μFN

【點(diǎn)評(píng)】本題考查牛頓第二定律,是已知運(yùn)動(dòng)情況確定受力情況,先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解加速度,然后根據(jù)牛頓第二定律列式討論,求解出拉力F的表達(dá)式,分析出最小值,利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值問(wèn)題是解題關(guān)鍵。

四、高考命題角度

滑塊—木板模型是力學(xué)中最常見(jiàn)的模型之一,是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。該類(lèi)試題有如下幾種命題角度。

(一)物塊不受力而木板受拉力

木板受逐漸增大的拉力而物塊不受力,這種情況下,開(kāi)始物塊和木板一起做加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)物塊加速度達(dá)到其最大值μg時(shí),物塊、木板開(kāi)始發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),此后物塊加速度保持不變,木板加速度逐漸增大。

(二)物塊有初速度,兩者都不受拉力且疊放在光滑水平面上

1.若木板足夠長(zhǎng),這種情況下,物塊減速、木板加速,直至兩者速度相等將一起做勻速運(yùn)動(dòng),其速度關(guān)系為v0-a塊t=a板t。

(三)木板有初速度,兩者都不受拉力且疊放在光滑水平面上

1.若木板足夠長(zhǎng),木板減速物塊加速,直至兩者速度相等將一起勻速運(yùn)動(dòng)下去,其速度關(guān)系為v0-a板t=a塊t。

【真題再現(xiàn)】(2015·全國(guó)Ⅰ卷新課標(biāo)·25)一長(zhǎng)木板置于粗糙水平地面上,木板左端放置一小物塊;在木板右方有一墻壁,木板右端與墻壁的距離為4.5 m,如圖10所示。t=0時(shí)刻開(kāi)始,小物塊與木板一起以共同速度向右運(yùn)動(dòng),直至t=1 s時(shí)木板與墻壁碰撞(碰撞時(shí)間極短)。碰撞前后木板速度大小不變,方向相反,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊始終未離開(kāi)木板。已知碰撞后1 s時(shí)間內(nèi)小物塊的v-t圖線如圖11所示。木板的質(zhì)量是小物塊質(zhì)量的15倍,重力加速度大小g取10 m/s2。求：

圖10

圖11

(1)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1及小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2;

(2)木板的最小長(zhǎng)度;

(3)木板右端離墻壁的最終距離。

解：(1)規(guī)定向右為正方向。木板與墻壁相碰前,小物塊和木板一起向右做勻變速運(yùn)動(dòng),設(shè)加速度為a1,小物塊和木板的質(zhì)量分別為m和M。由牛頓第二定律有

-μ1(m+M)g=(m+M)a1

①

由題圖11可知,木板與墻壁碰前瞬間的速度v1=4 m/s,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

v1=v0+a1t1

②

③

式中t1=1 s,s0=4.5 m是木板碰前的位移,v0是小物塊和木板開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度

解得μ1=0.1

④

在木板與墻壁碰撞后,木板以-v1的初速度向左做勻變速運(yùn)動(dòng),小物塊以v1的初速度向右做勻變速運(yùn)動(dòng)。設(shè)小物塊的加速度為a2,由牛頓第二定律有-μ2mg=ma2

⑤

⑥

式中t2=2 s,v2=0

解得μ2=0.4

⑦

(2)設(shè)碰撞后木板的加速度為a3,經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt,木板和小物塊剛好具有共同速度v3。由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

μ2mg+μ1(M+m)g=Ma3

⑧

v3=-v1+a3Δt

⑨

v3=v1+a2Δt

⑩

小物塊相對(duì)木板的位移為Δs=s2-s1

解得Δs=6.0 m

因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊沒(méi)有脫離木板,所以木板的最小長(zhǎng)度應(yīng)為6.0 m

(3)在小物塊和木板具有共同速度后,兩者向左做勻變速運(yùn)動(dòng)直至停止,設(shè)加速度為a4,此過(guò)程中小物塊和木板運(yùn)動(dòng)的位移為s3。由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

μ1(m+M)g=(m+M)a4

碰后木板運(yùn)動(dòng)的位移s=s1+s3

解得s=-6.5 m,木板右端離墻壁的最終距離為6.5 m

【點(diǎn)評(píng)】本題可以用常規(guī)方法分析,亦可以滲入勻變速直線運(yùn)動(dòng)的多種技巧與方法求解,體現(xiàn)命題者高超的命題技能。本題突出體現(xiàn)物理模型和物理方法是物理學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考突出考查的重點(diǎn)。所以在備考的過(guò)程中,考生只要掌握足夠的重點(diǎn)物理模型、物理解題常見(jiàn)的技巧與方法,就可以舉一反三,不用進(jìn)行可怕的題海戰(zhàn)術(shù)也能得到理想的分?jǐn)?shù)。

五、結(jié)束語(yǔ)