基于IMU體對角線旋轉(zhuǎn)的雙軸旋轉(zhuǎn)方案

查 峰, 位秋碩, 何泓洋, 李 豹

(海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

慣導(dǎo)系統(tǒng)具備自主性強、可靠性高的特點,可以使載體航行更加隱蔽,因此常常被應(yīng)用于潛艇、無人潛航器等軍事裝備[1-4]。由于缺少外部信息的校正,以及慣導(dǎo)系統(tǒng)自身器件誤差以及工作環(huán)境的影響,導(dǎo)航誤差隨時間累積,經(jīng)過長時間的航行,載體的導(dǎo)航誤差將不可忽視[5-9]。目前主要采用提升慣性器件精度和旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)兩種手段提高慣導(dǎo)系統(tǒng)精度[10-13]。其中,旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)是減小導(dǎo)航誤差經(jīng)濟且有效的方式[14-18]。旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)利用慣性測量單元(inertial measurement unit, IMU)規(guī)律性旋轉(zhuǎn)以調(diào)制系統(tǒng)常值和慢變誤差,因此旋轉(zhuǎn)方案是決定系統(tǒng)精度提升的關(guān)鍵因素[19-25]。目前,常見的單軸、雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)均以IMU的某一個或兩個方向慣性器件敏感軸作為旋轉(zhuǎn)軸,通過改變旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)速度、方向、次序來設(shè)計不同的旋轉(zhuǎn)方案。該方案簡潔直觀,空間關(guān)系簡單,易于實現(xiàn)。Levinson[23]在20世紀80年代提出了旋轉(zhuǎn)調(diào)制的概念。文獻[25]在國內(nèi)較早開展旋轉(zhuǎn)方案研究,針對單軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),研究了四位置旋轉(zhuǎn)方案,并針對其主要誤差特性進行了研究和分析。針對雙軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),提出了改進八位置和十六位置旋轉(zhuǎn)方案。文獻[6]在此基礎(chǔ)上針對速度誤差累積問題,提出一種改進的十六位置旋轉(zhuǎn)方案。文獻[26]針對十六位置旋轉(zhuǎn)方案中轉(zhuǎn)角過大問題,提出一種三十二位置的旋轉(zhuǎn)方案。文獻[27]針對刻度系數(shù)誤差與IMU運動的耦合效應(yīng),提出一種綜合誤差抑制的旋轉(zhuǎn)方案,減小了一個周期內(nèi)的速度誤差累積,取得理想效果。文獻[28]針對雙軸旋轉(zhuǎn)方案進行了深入研究,為了解決光纖陀螺刻度系數(shù)穩(wěn)定性較差且不宜采用傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)方案的問題,提出一種外環(huán)水平結(jié)構(gòu)雙軸光纖慣導(dǎo)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)方案。此外,文獻[29]設(shè)計了一種四十八位置的雙軸旋轉(zhuǎn)方案,不僅可以用于誤差調(diào)制,還可以用于慣導(dǎo)系統(tǒng)的自標定。上述旋轉(zhuǎn)方案研究均是基于旋轉(zhuǎn)軸與慣性器件敏感軸同向的前提。由于旋轉(zhuǎn)軸與慣性器件敏感軸同向,因此在繞某一軸旋轉(zhuǎn)時,該軸向上的慣性器件相關(guān)誤差難以得到調(diào)制。文獻[30]提出一種改進的單軸旋轉(zhuǎn)方案,使旋轉(zhuǎn)軸與IMU天向軸呈一定角度,以解決天向器件誤差不能調(diào)制的缺陷,有效提高了單軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的精度。在該方案中,由于器件誤差未知,旋轉(zhuǎn)軸夾角確定相對困難,在一定程度上限制了補償效果。

本文提出一種基于IMU體對角線旋轉(zhuǎn)的雙軸旋轉(zhuǎn)方案。方案不再以慣性器件敏感軸為旋轉(zhuǎn)軸,而選取IMU 3個正交慣性器件的體對角線為水平旋轉(zhuǎn)軸,選取與該軸正交的垂向軸為另一旋轉(zhuǎn)軸。通過改變水平和垂向旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)速度、方向和次序?qū)崿F(xiàn)雙軸旋轉(zhuǎn)。由于旋轉(zhuǎn)軸與慣性器件均不同向,因此在旋轉(zhuǎn)的任意時刻,3個方向的慣性器件誤差均得到調(diào)制,最大程度地提高了系統(tǒng)精度。

1 旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)誤差模型

1.1 坐標系定義

慣性坐標系(設(shè)為i系):慣性坐標系的原點位于地球的中心,z軸沿地軸指向北極,x軸在赤道平面內(nèi)指向春分點,y軸與z軸、x軸構(gòu)成右手直角坐標系;

導(dǎo)航坐標系(設(shè)為n系):選取當?shù)氐乩碜鴺讼?導(dǎo)航坐標系的原點位于載體質(zhì)心,x軸指向東向,y軸指向北向,z軸指向天向;

載體坐標系(設(shè)為b系):載體坐標系的原點位于載體質(zhì)心,x軸通過質(zhì)心指向載體右方,y軸通過質(zhì)心指向載體前方,z軸通過質(zhì)心指向載體上方;

安裝坐標系(設(shè)為m系):3組陀螺儀、加速度計互相垂直,構(gòu)成IMU,3組慣性元件分別為安裝坐標系的x軸、y軸、z軸;

旋轉(zhuǎn)坐標系(設(shè)為p系):在旋轉(zhuǎn)調(diào)制初始時刻,旋轉(zhuǎn)坐標系與載體坐標系重合。當IMU繞載體坐標系的x軸旋轉(zhuǎn)時,旋轉(zhuǎn)坐標系的x軸與載體坐標系的x軸重合,旋轉(zhuǎn)坐標系的y軸和z軸繞旋轉(zhuǎn)軸x軸以旋轉(zhuǎn)角速度轉(zhuǎn)動;當IMU繞載體坐標系的y軸旋轉(zhuǎn)時,旋轉(zhuǎn)坐標系的y軸與載體坐標系的y軸重合,旋轉(zhuǎn)坐標系x軸和z軸繞旋轉(zhuǎn)軸y軸以旋轉(zhuǎn)角速度轉(zhuǎn)動;當IMU繞載體坐標系的z軸旋轉(zhuǎn)時,旋轉(zhuǎn)坐標系的y軸與載體坐標系的y軸重合,旋轉(zhuǎn)坐標系x軸和z軸繞旋轉(zhuǎn)軸y軸以旋轉(zhuǎn)角速度轉(zhuǎn)動;雙軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制一般選擇繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)。

1.2 系統(tǒng)誤差源定義

常值誤差(表示為ε)和隨機誤差(表示為σ):慣性器件在沒有輸入信號的情況下有輸出信號。該輸入信號以常值、隨機規(guī)律變化。

刻度系數(shù)誤差(表示為δK):將慣性器件的輸出電壓轉(zhuǎn)換為角速度或加速度時產(chǎn)生的誤差。刻度系數(shù)誤差矩陣表示如下:

其中:k11、k22、k33為3個陀螺儀輸出轉(zhuǎn)換為角加速度時的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

安裝誤差(表示為δA):慣性器件的敏感軸與理想正交安裝產(chǎn)生的夾角,設(shè)k12、k13、k21、k23、k31、k32為6個安裝誤差角。安裝誤差矩陣如下:

其中:k12、k13、k21、k23、k31、k32為3個陀螺儀安裝時與理想安裝產(chǎn)生的6個未對準夾角。

1.3 旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)誤差方程

在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中,基于角度誤差定義的姿態(tài)誤差和速度誤差如下所示:

(1)

(2)

由慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程可以得到傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差傳播方程,如下所示:

(3)

(4)

定義式(3)中第3項(設(shè)為En)為導(dǎo)航坐標系下的角速度誤差,式(4)中第2項(設(shè)為Γn)為導(dǎo)航坐標系下的比力誤差,展開式為

(5)

(6)

2 旋轉(zhuǎn)方案的數(shù)學(xué)模型

2.1 傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)方案建模

文獻[6]旋轉(zhuǎn)方案基于旋轉(zhuǎn)軸與慣性器件敏感軸同向的前提,其具體旋轉(zhuǎn)方案可以表示為

(1) 繞Z軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(2) 繞X軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(3) 繞Z軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(4) 繞X軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(5) 繞X軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(6) 繞Z軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(7) 繞X軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(8) 繞Z軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(9) 繞X軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(10) 繞Z軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(11) 繞X軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(12) 繞Z軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(13) 繞Z軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(14) 繞X軸反轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(15) 繞Z軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒;

(16) 繞X軸正轉(zhuǎn)180°,停留ts秒。

表1 傳統(tǒng)16位置旋轉(zhuǎn)方案和ωp的表達式

2.2 本文旋轉(zhuǎn)方案建模

本文方案在傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)方案的基礎(chǔ)上,改變旋轉(zhuǎn)軸的設(shè)定,選取IMU 3個正交慣性器件的體對角線為水平旋轉(zhuǎn)軸,選取與該軸正交的為垂向旋轉(zhuǎn)軸,如圖1所示。

圖1 傾斜旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案Fig.1 Tilt rotation modulation scheme

本文方案在文獻[6]旋轉(zhuǎn)方案的基礎(chǔ)上,改變IMU在雙軸轉(zhuǎn)臺上的放置方式,將IMU 3個正交慣性器件的體對角線為水平旋轉(zhuǎn)軸,與轉(zhuǎn)臺內(nèi)環(huán)軸平行,與該軸正交的為垂向旋轉(zhuǎn)軸,與轉(zhuǎn)臺外環(huán)軸平行,且水平旋轉(zhuǎn)軸與IMU的3個敏感軸夾角相等,如圖2所示。旋轉(zhuǎn)秩序與文獻[6]中的旋轉(zhuǎn)秩序一致。

圖2 安裝坐標系與旋轉(zhuǎn)坐標系關(guān)系Fig.2 The relationship between installation coordinate system and rotation coordinate system

(7)

(8)

角速度誤差和比力誤差的展開式如下所示:

(9)

(10)

3 系統(tǒng)誤差特性分析

3.1 姿態(tài)誤差分析

首先討論由常值誤差、刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差。

(1) 由常值誤差引起的姿態(tài)誤差:合理的雙軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案都可以將常值誤差調(diào)制為零,在此不再贅述。

(2) 由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差:將式(9)中含有刻度系數(shù)誤差的部分進行積分、累加,可獲得每次旋轉(zhuǎn)后由刻度系數(shù)誤差產(chǎn)生的姿態(tài)誤差變化幅度,如式(11)所示為一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)(即經(jīng)過十六次旋轉(zhuǎn)后)由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差。

(11)

(3) 由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差:將式(9)中含有安裝誤差的部分進行積分、累加,可獲得每次旋轉(zhuǎn)后由安裝誤差產(chǎn)生的姿態(tài)誤差變化幅度,如式(12)所示為一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差。

(12)

將上述文獻[6]和本文旋轉(zhuǎn)方案相關(guān)數(shù)學(xué)表達式帶入式(11)和式(12)中,可得到由刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差。假設(shè)3組慣性器件的刻度系數(shù)誤差相同,各軸向的安裝誤差相等,即設(shè)k11=k22=k33=k1,k12=k13=k21=k23=k31=k32=k2,如表2～表3所示。

表2 傳統(tǒng)16位置旋轉(zhuǎn)方案由刻度系數(shù)和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差

表3 改進方案由刻度系數(shù)和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差

將表2和表3中的刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差幅度變化如圖3～圖4所示。

圖3 由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.3 Attitude error caused by scale factor error

圖4 由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.4 Attitude error caused by installation error

如圖3所示,兩種方案由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差幅度變化一致,在北向軸上始終為零,東向軸和天向軸上的姿態(tài)誤差被調(diào)制為零均值的周期形式,從而刻度系數(shù)誤差不會出現(xiàn)積分并引起速度誤差積累。

良好的課堂環(huán)境離不開師生的共同配合。教師的教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，則課堂學(xué)習(xí)氛圍好。要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師除了要有必備的學(xué)識，還要有良好的師德師風(fēng)，具有人格魅力。而學(xué)生應(yīng)多渠道加深對自己所學(xué)專業(yè)未來發(fā)展趨勢的了解，挖掘所學(xué)專業(yè)的價值，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的“有用性”，從而提升學(xué)習(xí)興趣。[3]

3.2 速度誤差分析

(13)

基于上文提到的載體靜止預(yù)設(shè),fn可以表示為

(14)

式中:g為當?shù)刂亓铀俣取?/p>

因此,可以得到東向速度誤差和北向速度誤差:

(15)

(16)

將式(11)和式(12)相加,求取由刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差總和,并代入式(15)和式(16),可求得東向速度誤差和北向速度誤差。為了直觀對比顯示出兩種方案的北向速度誤差幅度大小,假設(shè)3組慣性器件的刻度系數(shù)誤差相同,各軸向的安裝誤差相等。即設(shè)tr=π/ω,k12=k13=k21=k23=k31=k32=k2,k11=k22=k33=k1,簡化后的北向速度誤差如表4所示。

表4 兩種方案的北向速度誤差

從表4中可以看出,兩種方案由刻度系數(shù)誤差造成系統(tǒng)北向速度誤差積累的幅值變化一致,本文方案的調(diào)制效果表現(xiàn)在抑制由安裝誤差造成系統(tǒng)速度誤差的積累,如文獻[6]中由安裝誤差引起的北向速度誤差積累平均幅值為-9k2gtr,而本文方案平均幅值為(-2k2/3)gtr,在幅值大小方面本文方案的北向速度誤差較小。

為了更清晰地顯示本文北向速度誤差幅值,將上述表格列寫的由安裝誤差造成的北向速度誤差累積幅度變化用折線圖進行表示,如圖5所示。

圖5 北向速度誤差幅度大小對比圖Fig.5 Comparison diagram of error amplitude of northern velocity

數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明:在本文提出的傾斜方案下,文獻[6]的旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案能夠更充分地減小由安裝誤差引起的北向速度誤差累積,從而使位置誤差得到充分調(diào)制。

忽略高度因素影響,位置誤差方程為

(17)

(18)

式中:RM為子午圈曲率半徑;RN為卯酉圈曲率半徑。

由式(17)和式(18)可知,北向速度誤差的減小導(dǎo)致緯度誤差和經(jīng)度誤差減小。

4 仿真校驗

為了驗證本文所提出的傾斜方案的數(shù)學(xué)推導(dǎo)分析的正確性以及試驗實際應(yīng)用的效果,針對兩種方案分別進行了刻度系數(shù)誤差、安裝誤差和綜合誤差情況下的仿真實驗。具體仿真參數(shù)設(shè)置如表5所示。

表5 仿真參數(shù)設(shè)置

4.1 刻度系數(shù)誤差、安裝誤差仿真

為了驗證上述關(guān)于由刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差分析的正確性,分別設(shè)置僅有刻度系數(shù)誤差和安裝誤差的兩種仿真條件,驗證姿態(tài)誤差與圖3和圖4所述的幅值變化是否一致。

仿真條件僅包含刻度系數(shù)誤差,具體數(shù)值如表5所示。實驗結(jié)果如圖6所示。圖6為文獻[6]旋轉(zhuǎn)方案和本文旋轉(zhuǎn)方案在一個周期內(nèi)(960 s)由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差對比,結(jié)合圖3,兩種方案由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差幅度變化一致,所以如圖6所示,本文旋轉(zhuǎn)方案數(shù)據(jù)曲線將文獻[6]方案覆蓋。

圖6 由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差對比圖Fig.6 Comparison diagram of attitude errors caused by scale coefficient errors

仿真條件僅包含安裝誤差,具體數(shù)值如表5所示(見前頁)。圖7為兩種旋轉(zhuǎn)方案由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差對比圖。從圖7可以看出,本文旋轉(zhuǎn)方案不僅可以將北向軸姿態(tài)誤差調(diào)制為零均值的周期形式,而且還可以將東向軸和天向軸姿態(tài)誤差調(diào)制為零均值周期形式。因此,驗證了表3和圖3中數(shù)學(xué)推導(dǎo)的正確性。

圖7 由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差對比圖Fig.7 Comparison diagram of attitude errors caused by installation errors

為了驗證上述速度誤差數(shù)學(xué)推導(dǎo)的正確性,實驗仿真條件僅包含安裝誤差。實驗結(jié)果如圖8所示,本文方案相較于文獻[6]方案速度誤差顯著減小,變化趨勢與圖5一致。

圖8 由刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的北向速度誤差對比Fig.8 Comparison diagram of north velocity error caused by scale coefficient error and installation error

4.2 綜合誤差仿真

為了試驗本文方案在實際應(yīng)用中的效果,在此設(shè)置實際應(yīng)用中存在的主要誤差源,進行綜合誤差仿真,參數(shù)設(shè)置如表5所示。

一個周期內(nèi)(960 s)由綜合誤差引起的姿態(tài)誤差和速度誤差如圖9和圖10所示。

圖9 一個周期內(nèi)x軸、y軸姿態(tài)誤差對比圖Fig.9 Comparison diagram of x-axis and y-axis attitude errors in one cycle

圖10 一個周期內(nèi)東向、北向速度誤差對比圖Fig.10 Comparison diagram of eastward and northward velocity errors in one cycle

長航時(120 h)內(nèi)由綜合誤差引起的姿態(tài)誤差、速度誤差以及位置誤差如圖11～圖13所示。

圖11 長航時(5天)x軸、y軸姿態(tài)誤差對比圖Fig.11 Comparison diagram of x-axis and y-axis attitude errors in five days

圖12 長航時(5天)東向、北向速度誤差對比圖Fig.12 Comparison diagram of eastward and northward velocity errors in five days

圖13 長航時(5天)位置誤差對比圖Fig.13 Comparison diagram of position errors in a five days

如圖9、圖10所示,與文獻[6]方案相比,在本文方案將x軸姿態(tài)誤差調(diào)制為零均值的周期形式,結(jié)合表4,本文方案對系統(tǒng)x軸向姿態(tài)誤差的調(diào)制效果主要體現(xiàn)在對安裝誤差的調(diào)制作用。因此,北向速度誤差累積相應(yīng)減小。本文方案在y軸向姿態(tài)誤差幅度抑制能力與文獻[6]方案相近,所以東向速度誤差累積幅度減小不明顯。因此,圖9和圖10進一步充分證明了上述理論推導(dǎo)的正確性。

由式(17)和式(18)以及上述分析,相較于文獻[6]方案,在本文方案旋轉(zhuǎn)調(diào)制下,系統(tǒng)北向速度誤差減小,從而位置誤差相應(yīng)減小,如圖13所示。本文方案的位置誤差從文獻[6]方案的0.418 9海里/120小時減小到0.120 7海里/120小時。

5 結(jié) 論

旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差補償取決于旋轉(zhuǎn)方案的設(shè)置。與傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)方案不同,本文采用IMU基于體對角線旋轉(zhuǎn)的方式,不僅沒有引入新的誤差,而且使各種誤差相對減小,特別是對安裝誤差的調(diào)制效果明顯。在綜合誤差條件下,本文提出的基于IMU體對角線的旋轉(zhuǎn)方案將文獻[6]中的位置誤差從0.418 9海里/120小時減小到0.120 7海里/120小時,達到了一定的誤差抑制效果。