衛(wèi)星編隊(duì)脈沖機(jī)動(dòng)維持控制與策略

劉幸川, 陳丹鶴, 徐 根, 廖文和

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

隨著現(xiàn)代航天科技的快速進(jìn)步與發(fā)展,航天器小型化、模塊化的理念與實(shí)現(xiàn)日趨成熟,具有質(zhì)量輕、成本低、研制周期短、可靠性高、便于發(fā)射等優(yōu)點(diǎn)的微納型航天器獲得諸多航天大國(guó)的高度重視[1-2]。由多顆功能相同或不同的微小型航天器近距離編隊(duì)飛行構(gòu)建而成的“虛擬航天器”,并利用星間相互通信與任務(wù)協(xié)同可使其具備大型航天器的功能,甚至可以實(shí)現(xiàn)后者現(xiàn)階段無(wú)法完成的復(fù)雜任務(wù)。因此,航天器編隊(duì)飛行在科學(xué)探測(cè)[3-4]、物理試驗(yàn)[5-6]、電子偵察[7-9]等重要科研領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

在航天器編隊(duì)飛行的軌道控制任務(wù)中,包括編隊(duì)初始捕獲、編隊(duì)重構(gòu)以及編隊(duì)構(gòu)型維持控制等3種具體任務(wù)場(chǎng)景,其控制方案采用解析法的脈沖控制[10]和基于自動(dòng)控制方法的連續(xù)小推力控制[11],主要目的是實(shí)現(xiàn)特定相對(duì)構(gòu)型的改變或維持。對(duì)于編隊(duì)初始捕獲與編隊(duì)重構(gòu)而言,需要考慮多種約束下軌道轉(zhuǎn)移軌跡的優(yōu)化、時(shí)間最短、燃耗最省、控制精度等問(wèn)題[12],例如使用凸優(yōu)化[13]、遺傳優(yōu)化算法[14]等。根據(jù)空間任務(wù)規(guī)劃不同,多星編隊(duì)飛行需要在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持其特定的空間幾何構(gòu)型,短則數(shù)天,多則數(shù)月。受到空間攝動(dòng)力的影響,航天器間的幾何構(gòu)型會(huì)遭到破壞,需要定期進(jìn)行維持機(jī)動(dòng),以使其具備編隊(duì)構(gòu)形自我維持能力。編隊(duì)維持問(wèn)題僅需考慮長(zhǎng)期維持需求下的燃耗與精度,無(wú)需過(guò)多考慮轉(zhuǎn)移軌跡中的碰撞與時(shí)間條件。可通過(guò)脈沖控制與定期連續(xù)推力控制來(lái)消除維持任務(wù)過(guò)程中的誤差。對(duì)于精度要求較高的編隊(duì)維持任務(wù),可采用持續(xù)的推力來(lái)維持其相對(duì)構(gòu)型。利用定期脈沖控制實(shí)現(xiàn)維持控制,對(duì)于前期任務(wù)規(guī)劃、維持燃耗統(tǒng)計(jì)、編隊(duì)維持精度估計(jì)與推力系統(tǒng)工作狀況等實(shí)際工程項(xiàng)目問(wèn)題的解決有著重要的意義。

在相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型中,參考目標(biāo)軌道為圓軌道時(shí)常采用C-W方程,參考目標(biāo)軌道為橢圓軌道時(shí)常采用T-H方程[15],這些模型均基于笛卡爾坐標(biāo)體系。為了更直觀地表現(xiàn)其軌道特征與空間幾何特征,D’Amico提出了相對(duì)軌道根數(shù)(relative orbital elements, ROEs)的概念[16],同時(shí)該方法便于將J2攝動(dòng)對(duì)空間幾何構(gòu)型的影響進(jìn)行線性化處理,后續(xù)諸多學(xué)者基于此模型將J2～J4攝動(dòng)、大氣阻力等的影響進(jìn)行線性化處理,并取得了較好的驗(yàn)證結(jié)果[17-19]。由于其精度可靠、計(jì)算便捷,編隊(duì)飛行任務(wù)自主視覺(jué)進(jìn)近導(dǎo)航與目標(biāo)識(shí)別(autonomous vision approach navigation and target identification, AVANTI)[20]和小型化分布式掩星望遠(yuǎn)鏡(miniaturized distributed occulter telescope, mDOT)[21-22]采用該模型進(jìn)行編隊(duì)任務(wù)的導(dǎo)航制導(dǎo)與控制分系統(tǒng)設(shè)計(jì)。本文基于該模型進(jìn)行控制算法的設(shè)計(jì)及驗(yàn)證結(jié)果的演示。

編隊(duì)脈沖維持控制是使用脈沖將因攝動(dòng)被破壞的編隊(duì)構(gòu)形參數(shù)誤差消除,將編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)維持在設(shè)定的精度范圍之內(nèi),其本質(zhì)就是通過(guò)脈沖實(shí)現(xiàn)特定軌道根數(shù)的改變。與重構(gòu)不同的是,編隊(duì)維持控制對(duì)于軌道根數(shù)的控制量?jī)H源于攝動(dòng)對(duì)構(gòu)型的破壞影響,量級(jí)較小。目前國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者基于笛卡爾狀態(tài)量[23]或ROEs模型[24-26]對(duì)脈沖控制方案開(kāi)展了眾多的研究工作,而基于ROEs模型的脈沖解析解計(jì)算方法更加簡(jiǎn)單。Gaias和D’Amico提出了將多脈沖組合控制方案用于實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間內(nèi)近地圓軌道的編隊(duì)構(gòu)型重構(gòu),并給出了每次脈沖對(duì)相對(duì)軌道變化的影響,但僅考慮了二體環(huán)境下的變軌機(jī)動(dòng)[24]。Chernick和D’Amico考慮了J2攝動(dòng)對(duì)于ROEs長(zhǎng)期漂移的攝動(dòng)影響,針對(duì)不同的初始與目標(biāo)軌道根數(shù)的相互關(guān)系,提出近地圓軌道下的一階攝動(dòng)解析解與橢圓軌道下的無(wú)攝動(dòng)解析解[25],并基于可達(dá)集理論推導(dǎo)了最優(yōu)脈沖解[26]。上述文獻(xiàn)的脈沖控制與軌道根數(shù)變化的映射關(guān)系均基于一階高斯攝動(dòng)方程[16],文獻(xiàn)[27]通過(guò)推導(dǎo)二階高斯攝動(dòng)方程給出了更高精度的非線性脈沖控制解析解。復(fù)雜的解析式與過(guò)多的映射關(guān)系判斷對(duì)于星載自主運(yùn)算的可靠性是不利的,為了便于星上快速運(yùn)算與工程分析,本文僅考慮以無(wú)攝動(dòng)的脈沖控制方法研究編隊(duì)維持控制與策略問(wèn)題。

本文通過(guò)理論推導(dǎo),分析了J2攝動(dòng)對(duì)編隊(duì)構(gòu)型的破壞映射關(guān)系,對(duì)后續(xù)為實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)精度的編隊(duì)維持控制設(shè)置控制周期提供了理論依據(jù),同時(shí)提出了不同的脈沖維持控制算法與控制策略。然后,本文建立了高精度軌道動(dòng)力學(xué)模擬環(huán)境與脈沖控制反饋程序,對(duì)提出的編隊(duì)維持控制方法與策略進(jìn)行了組合仿真驗(yàn)證。通過(guò)對(duì)比分析J2攝動(dòng)下ROEs的漂移速率的理論值與高階軌道動(dòng)力學(xué)環(huán)境下的仿真值,驗(yàn)證了理論模型計(jì)算的準(zhǔn)確率。最后,以脈沖輸出與維持精度為評(píng)價(jià)依據(jù),對(duì)方法與策略進(jìn)行了對(duì)比分析,并給出了最終結(jié)論。

1 多星編隊(duì)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1.1 ROEs的定義

通過(guò)傳統(tǒng)的開(kāi)普勒軌道根數(shù)定義ROEs,表達(dá)式為[6]

(1)

式中:ci=cosic;si=sinic;cω=cosωc;sω=sinωc;a為軌道半長(zhǎng)軸;e為軌道偏心率;ω為近地點(diǎn)俯角;u為緯度幅角;Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng);i為軌道傾角;下標(biāo)c表示參考星的經(jīng)典開(kāi)普勒平均軌道參數(shù);下標(biāo)d表示伴隨星的軌道參數(shù);參數(shù)δa、δλ、δe與δi分別表示相對(duì)軌道半長(zhǎng)軸、相對(duì)平均緯度幅角、相對(duì)偏心率矢量和相對(duì)傾角矢量。當(dāng)參考軌道為近地圓軌道時(shí),ROEs描述了在當(dāng)?shù)卮怪?當(dāng)?shù)厮?local vertical/local horizontal, LVLH)坐標(biāo)系下橢圓柱體的截面,δe與δi分別代表在參考衛(wèi)星軌道面與法向面的投影矢量,其具體含義如圖1和圖2所示。

圖2 相對(duì)軌道傾角矢量示意圖Fig.2 Skematic diagram of relative orbit inclination vector

δa和δλ分別表示沿軌道徑向與軌道切向的偏移量。該模型已經(jīng)成為許多編隊(duì)飛行任務(wù)的軌道設(shè)計(jì)和編隊(duì)導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制的基礎(chǔ)理論,如GRACE[28]、PRISMA[29]和TanDEM-X[30]等編隊(duì)項(xiàng)目。

1.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

ROEs的漂移變化會(huì)受到多種攝動(dòng)因素的影響,例如地球非球性攝動(dòng)、空氣阻力、太陽(yáng)光壓和三體攝動(dòng)等。以500 km軌道高度的近地圓軌道為例,J2攝動(dòng)的影響約為1.2×10-2m/s2,其他非球性攝動(dòng)的總和約為3.3×10-4m/s2,前者高約2個(gè)數(shù)量級(jí),而空氣阻力攝動(dòng)的影響約為3.3×10-7m/s2[31],因此本文重點(diǎn)考慮J2攝動(dòng)對(duì)于ROEs的影響。ROEs在J2攝動(dòng)下隨時(shí)間變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如式(2)所示[18]:

(2)

(3)

1.3 J2 攝動(dòng)漂移速率分析

J2攝動(dòng)對(duì)ROEs的變化影響是緩慢時(shí)變性質(zhì)的,長(zhǎng)期遞推是不可忽略的,尤其是相對(duì)偏心率矢量和相對(duì)軌道傾角矢量。對(duì)相對(duì)偏心率矢量δe=[δex,δey]T與相對(duì)軌道傾角矢量δi=[δix,δiy]T分別求解一階導(dǎo)數(shù),可得各個(gè)元素對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),如下所示:

(4)

圖3 相對(duì)偏心率矢量漂移示意圖Fig.3 Skematic diagram of relative eccentricity vector drift

圖4 相對(duì)軌道傾角矢量漂移示意圖Fig.4 Skematic diagram of relative orbit inclination vector drift

以600 km太陽(yáng)同步軌道為例(i=97.78°),當(dāng)初始ROEs中相對(duì)偏心率矢量與傾角矢量的初始值為ac[δex,δey,δix,δiy]=[900,1 200,1 000,1 000]m時(shí),其漂移速率及漂移量Δ分別為100 m、150 m時(shí)所需要的時(shí)間如表1所示,漂移時(shí)間以軌道周期數(shù)為基本單位。

表1 相對(duì)漂移速率及漂移時(shí)間

由表1可知,J2攝動(dòng)對(duì)于ROEs的漂移影響非常明顯,尤其是對(duì)相對(duì)傾角矢量中的acδiy分量的影響在11.95個(gè)軌道周期的演變后,漂移量等于100 m,即超過(guò)相對(duì)軌道傾角矢量初始值acδiy(1 000 m)的10%。

2 維持控制方法

2.1 維持控制要求

為保證航天器在整個(gè)任務(wù)期間的編隊(duì)構(gòu)型穩(wěn)定,需要對(duì)伴隨星進(jìn)行機(jī)動(dòng)以維持伴隨星與參考星之間的相對(duì)位置/速度關(guān)系,或ROEs關(guān)系。為控制伴隨星的ROEs誤差不超過(guò)設(shè)計(jì)值,需對(duì)伴隨星的軌道根數(shù)進(jìn)行定期控制,即控制周期。在一個(gè)控制周期內(nèi),需要對(duì)伴隨星的ROEs的誤差進(jìn)行糾正控制,使得控制周期內(nèi)的誤差不超過(guò)要求的范圍,將存在脈沖控制的控制飛行階段稱為控制飛行階段。

2.2 控制周期設(shè)計(jì)

根據(jù)維持精度需求與理論漂移速率設(shè)計(jì)控制周期,以保證誤差在整個(gè)控制周期內(nèi)處于精度需求范圍內(nèi)。假設(shè)要求的精度范圍為±D,J2攝動(dòng)下的ROEs漂移速度矢量為V,在J2攝動(dòng)下各元素的漂移時(shí)間如下所示:

T(·)=2D(·)/V(·)

(5)

控制周期可設(shè)計(jì)為T=min(T),即所有時(shí)間中的最小值。為了便于計(jì)算,以軌道周期為基礎(chǔ)單位量化控制周期,例如設(shè)置每10軌時(shí)間為一個(gè)控制周期,且小于各ROEs漂移溢出誤差范圍的最小時(shí)間值。

2.3 脈沖控制方法

ROEs的初始誤差矢量acΔα0=ac[Δδa0,Δδλ0,Δδex0,Δδey0,Δδix0,Δδiy0]T,而需通過(guò)脈沖對(duì)ROEs的修正矢量為acΔα=ac[Δδa,Δδλ,Δδex,Δδey,Δδix,Δδiy]T。這里,acΔα與acΔα0是不完全相同的,需考慮控制周期內(nèi)的ROEs的預(yù)期運(yùn)動(dòng)漂移量,這項(xiàng)內(nèi)容將在第2.4節(jié)中進(jìn)行詳細(xì)介紹。

使用脈沖對(duì)上述ROEs控制量進(jìn)行修正控制,脈沖對(duì)于ROEs的影響[24]如下所示:

acΔδαk=Γkδvk=

(6)

根據(jù)脈沖控制對(duì)ROEs的影響可知,法向脈沖δvN僅會(huì)影響軌道面外矢量ac[δix,δiy]T,而徑向脈沖δvR與切向脈沖δvT會(huì)同時(shí)影響軌道面內(nèi)矢量ac[δa,δλ,δex,δey]T,因此本文將軌道面內(nèi)矢量ac[δa,δλ,δex,δey]T與軌道面外的相對(duì)軌道傾角矢量ac[δix,δiy]T進(jìn)行解耦控制。

首先介紹對(duì)于軌道面外修正量的脈沖控制方法,即相對(duì)軌道傾角矢量ac[δix,δiy]T,對(duì)應(yīng)的脈沖控制及相位由式(7)和式(8)進(jìn)行計(jì)算。法向脈沖在一個(gè)軌道周期內(nèi)的特定相位實(shí)施,即在一個(gè)軌道周期內(nèi)便可實(shí)現(xiàn)修正控制,即有

(7)

(8)

對(duì)于軌道面內(nèi)所需修正量的脈沖控制方法,即ac[δa,δλ,δex,δey]T,提出兩種修正方案。

子方法 1通過(guò)一次徑向脈沖先實(shí)現(xiàn)對(duì)相對(duì)偏心率矢量Δδe的修正,再通過(guò)兩次切向脈沖實(shí)現(xiàn)對(duì)相對(duì)軌道半長(zhǎng)軸Δδa與相對(duì)緯度幅角 Δδλ的修正,其對(duì)應(yīng)的脈沖值如下。

(1) 徑向脈沖:

(9)

(10)

(2) 切向脈沖:

(11)

徑向脈沖的實(shí)施僅使相對(duì)緯度幅角有一個(gè)固定值的漂移量,即:

而對(duì)相對(duì)軌道半長(zhǎng)軸無(wú)任何改變。相對(duì)緯度幅角的漂移量Δacδλ′可通過(guò)后續(xù)的兩個(gè)切向脈沖值進(jìn)行修正。這對(duì)切向脈沖實(shí)施時(shí)間間隔K(K∈Z+)個(gè)完整的軌道周期,同樣會(huì)對(duì)偏心率矢量產(chǎn)生影響:

子方法 2在Kf(Kf=2,3,4,…)個(gè)完整軌道周期內(nèi),通過(guò)三次切向脈沖的施加同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道面內(nèi)ac[δa,δλ,δex,δey]T的修正控制,其脈沖方案可通過(guò)下述兩種解析算法之一獲得:

(12)

或

(13)

(14)

式中:u0=atan(Δδey/Δδex)∈[0,2π)。

用于修正軌道平面ROEs的三脈沖,需要在2個(gè)或以上的軌道周期實(shí)現(xiàn),即Kf≥2。在文獻(xiàn)案例中,多使用4～5個(gè)軌道周期來(lái)修正誤差,其目的是利用軌道高度差產(chǎn)生漂移來(lái)修正相對(duì)緯度幅角,時(shí)間越長(zhǎng),所需要的控制脈沖越小。

整理上述脈沖方案,本節(jié)共提出了兩種脈沖機(jī)動(dòng)方法,用于ROEs維持控制:

方法 1法向脈沖一次,徑向脈沖一次,切向脈沖兩次;

方法 2法向脈沖一次,切向脈沖三次。

這兩種方案均采用四次脈沖來(lái)實(shí)現(xiàn)ROEs的修正控制,后續(xù)仿真將從燃耗脈沖、整體誤差等方面進(jìn)行對(duì)比分析及相關(guān)討論。

2.4 控制策略設(shè)計(jì)

在一個(gè)控制周期Tt內(nèi),將時(shí)間分為自然飛行階段Tn與控制飛行階段Tc兩個(gè)階段。自然飛行階段中不存在脈沖控制序列,控制飛行階段存在控制脈沖序列。從整個(gè)維持過(guò)程來(lái)看,即一個(gè)自然飛行階段與一個(gè)控制飛行階段交替進(jìn)行,這兩個(gè)階段合為一個(gè)控制周期。自然飛行段結(jié)束后,星載計(jì)算機(jī)計(jì)算獲得控制階段需要實(shí)施的脈沖控制序列,然后在控制飛行階段依次在相應(yīng)的相位施加脈沖,令相對(duì)軌道各分量控制在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的范圍。根據(jù)第2.3節(jié)所述的多脈沖控制方法,在每個(gè)控制飛行階段中,將存在四次脈沖控制,用于修正控制周期內(nèi)的所有漂移誤差。該誤差包括自然飛行階段的實(shí)際漂移誤差Δδαm與控制飛行階段內(nèi)的評(píng)估漂移誤差Δδαe,可表示為

Δδαc=Δδαm+Δδαe

(15)

實(shí)際測(cè)量的ROEs誤差源于自然飛行階段產(chǎn)生的漂移,包括所有的攝動(dòng)力,該值僅可通過(guò)實(shí)際測(cè)量獲得。而預(yù)期漂移誤差數(shù)據(jù)無(wú)法從現(xiàn)有的測(cè)量值中獲得,但可通過(guò)理論計(jì)算控制飛行階段中由J2攝動(dòng)產(chǎn)生的漂移量的評(píng)估值,該部分的理論基礎(chǔ)是第1.3節(jié)中的漂移速率分析。將此預(yù)估的漂移量提前納入修正量中的目的是使所有誤差在控制周期整個(gè)過(guò)程中均處于較為良好的精度范圍。

策略 1:

(16)

每個(gè)控制周期以完整的軌道周期為基數(shù)單位。同樣地,自然飛行階段與控制飛行階段也以完整的軌道周期為基數(shù)單位。為更好地說(shuō)明基數(shù)時(shí)間單位與評(píng)估漂移量的概念,假設(shè)10個(gè)軌道周期為一個(gè)控制周期,其中5個(gè)軌道周期為自然飛行階段,5個(gè)軌道周期為控制飛行階段。在這5軌的控制飛行階段中,需要通過(guò)施加脈沖序列實(shí)現(xiàn)10軌的控制周期內(nèi)漂移誤差的消除控制,使得航天器在所有控制周期內(nèi)的編隊(duì)構(gòu)型更加穩(wěn)定。

在上述假設(shè)中,自然飛行階段的時(shí)間與控制飛行階段的時(shí)間為1∶1,而在工程應(yīng)用中,自然飛行階段與控制飛行階段的比例關(guān)系是可自由改變的,如2∶1或3∶1等。為使得在每個(gè)控制周期中,所有ROEs的誤差均處于較小的范圍內(nèi),將評(píng)估漂移量的時(shí)間跨度更改為1/2個(gè)控制周期,即在控制飛行階段內(nèi)將下一控制周期內(nèi)的部分漂移誤差提前進(jìn)行評(píng)估并修正,使得整體誤差控制在均勻的范圍內(nèi),而非在控制周期的初始時(shí)刻處于良好的精度范圍內(nèi)。

策略 2:

(17)

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真流程

本文基于空間圓衛(wèi)星編隊(duì)進(jìn)行維持控制問(wèn)題的驗(yàn)證?？臻g圓編隊(duì)構(gòu)型是指伴隨星圍繞參考星飛行的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓形,在編隊(duì)飛行過(guò)程中伴隨星與參考星的相對(duì)距離關(guān)系始終保持為恒定值。這種構(gòu)型在不存在任何攝動(dòng)的前提下,可長(zhǎng)期保持穩(wěn)定構(gòu)型狀態(tài)而不被破壞,不需要消耗過(guò)多的燃料進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型的維持控制,僅需要考慮攝動(dòng)環(huán)境對(duì)構(gòu)型的影響。因此,空間圓編隊(duì)構(gòu)型在電子偵察編隊(duì)、繞飛凝視任務(wù)中是常見(jiàn)的編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)?？臻g圓編隊(duì)構(gòu)型與ROEs的轉(zhuǎn)換關(guān)系[32]如下所示:

(18)

式中:ρ表示空間圓半經(jīng)大小;sα=sin(αj);cα=cos(αj);αj為伴隨星在空間圓中的初始相位。通過(guò)式(18)可計(jì)算伴隨星初始ROEs,并以此為仿真算例中的初始參數(shù)。

仿真流程如圖5所示,詳細(xì)解釋如下:

圖5 維持策略與算法驗(yàn)證流程Fig.5 Maintenance strategy and algorithm verification processing

步驟 1根據(jù)ROEs及主星的瞬時(shí)根數(shù)計(jì)算伴隨星瞬時(shí)根數(shù),將所有衛(wèi)星的瞬時(shí)根數(shù)轉(zhuǎn)換為絕對(duì)坐標(biāo)系下的位置速度狀態(tài),通過(guò)高精度軌道動(dòng)力學(xué)遞推,獲取隨時(shí)間變化的狀態(tài)矢量;

步驟 2自然飛行階段Tn結(jié)束后,由主星與伴隨星的位置速度狀態(tài)量xc01與xd01計(jì)算瞬時(shí)根數(shù),并實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)根數(shù)與平均根數(shù)的轉(zhuǎn)化[33],通過(guò)式(1)獲得實(shí)時(shí)ROEs;

步驟 3以步驟2中ROEs的數(shù)值與理想數(shù)值對(duì)比差值作為實(shí)際測(cè)量的誤差量,使用第2.4節(jié)中的方法計(jì)算漂移預(yù)估量,并根據(jù)策略方法得到需要的實(shí)際控制量;

步驟 4以步驟3計(jì)算得到的控制量為輸入條件,利用第2.3節(jié)算法計(jì)算控制飛行階段的維持脈沖序列;

步驟 5在為期5軌的控制飛行階段,依次對(duì)伴隨星施加由步驟4計(jì)算的維持脈沖序列,實(shí)現(xiàn)維持機(jī)動(dòng)控制;

步驟 6控制飛行階段結(jié)束后,跳轉(zhuǎn)至步驟2,進(jìn)入下一個(gè)自然飛行階段,實(shí)現(xiàn)循環(huán)仿真運(yùn)算。

圖5中的虛線過(guò)程表示高精度軌道動(dòng)力學(xué)遞推過(guò)程,包括8×8階地球非球性引力攝動(dòng)以及大氣阻力攝動(dòng),不考慮三體引力攝動(dòng)、固體潮、太陽(yáng)光壓等攝動(dòng)影響。假設(shè)所有航天器的面質(zhì)比相同,均為0.001 m2/kg,對(duì)比上述脈沖方案與策略方案的性能優(yōu)劣。在仿真過(guò)程中,參考星無(wú)任何機(jī)動(dòng)控制,僅伴隨星存在脈沖機(jī)動(dòng)控制。在仿真過(guò)程中,通過(guò)伴隨星的實(shí)時(shí)ROEs與由式(18)計(jì)算得到的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行對(duì)比獲得實(shí)時(shí)誤差情況,并以此進(jìn)行評(píng)估,分析誤差與燃耗情況。

3.2 仿真設(shè)計(jì)

參考星初始開(kāi)普勒軌道參數(shù)為[7 147 km,0.001,96.878°,274.832°,275.319°,103.184°]。伴隨衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的空間圓半徑為1 km,3顆衛(wèi)星均勻分布,其相對(duì)相位角分別為[20°,140°,260°]。表2給出了伴隨三星的初始ROEs及由J2攝動(dòng)引起的各ROEs的漂移速率,可據(jù)此直接計(jì)算第2.4節(jié)中控制周期內(nèi)的相應(yīng)策略的漂移預(yù)估量。

表2 伴隨三星的初始ROEs及漂移速率

本文共設(shè)置了7組仿真算例進(jìn)行對(duì)比分析,包括不同的控制周期設(shè)置情況、脈沖控制方法與控制策略,各仿真具體描述如表3所示。其中,Tn表示自然飛行階段時(shí)間,Tc表示控制飛行階段時(shí)間。這7組案例中包含6組對(duì)比情況:① 通過(guò)算例0與算例1對(duì)比驗(yàn)證是否考慮了預(yù)估漂移量的誤差情況;② 通過(guò)算例1與算例2、算例3與算例4、算例5與算例6 3組對(duì)比驗(yàn)證相同控制策略下兩種控制方法的燃耗最優(yōu)性及誤差情況;③ 通過(guò)算例3與算例5、算例4與算例6兩組對(duì)比驗(yàn)證相同控制方法下不同控制策略的誤差情況。

表3 仿真算例設(shè)計(jì)方案

為便于分析,這里將所有算例中的控制飛行階段的時(shí)間均設(shè)為5個(gè)軌道周期,即Kf=5,整個(gè)仿真周期均為150個(gè)軌道周期。當(dāng)自然飛行階段時(shí)間與控制飛行階段時(shí)間比為1∶1時(shí),控制周期為10個(gè)軌道周期。當(dāng)上述時(shí)間比值為2∶1時(shí),控制周期為15個(gè)軌道周期,即自然飛行階段時(shí)間為10個(gè)軌道周期,控制飛行階段時(shí)間為5個(gè)軌道周期。值得說(shuō)明的是,算例1、算例2、算例5、算例6的控制策略是相同的,因其所預(yù)估漂移量的時(shí)間均占控制周期的1/2。

在150個(gè)軌道周期的仿真過(guò)程中,當(dāng)自然飛行階段時(shí)間與控制飛行階段時(shí)間比為1∶1時(shí),每顆伴隨星共計(jì)有15次維持控制計(jì)算,即施加60次脈沖。而當(dāng)自然飛行階段時(shí)間與控制飛行階段時(shí)間比為2∶1時(shí),每顆伴隨星共計(jì)有10次維持控制計(jì)算,即施加40次脈沖。

4 結(jié)果分析

4.1 漂移速率理論值與試驗(yàn)值對(duì)比分析

算例0中伴隨三星相對(duì)偏心率矢量與相對(duì)軌道傾角矢量變化速率的理論值、仿真結(jié)果均值及誤差量由表4給出,用于定量分析仿真結(jié)果與理論結(jié)果?？紤]篇幅,本文僅給出了算例0中伴隨衛(wèi)星1在20～25軌無(wú)控的自然飛行階段中相對(duì)偏心率矢量與相對(duì)軌道傾角矢量變化速率曲線及其在該階段的均值,如圖6所示。

表4 伴隨三星漂移速率的理論值與仿真值對(duì)比

圖6 算例0中衛(wèi)星1第20～25軌漂移速率Fig.6 Satellitel’s drift rate in 20～25 orbits in case 0

4.2 脈沖消耗結(jié)果對(duì)比分析

表5和表6分別給出了所有算例下伴隨三星的總脈沖與在各方向脈沖的匯總。從總脈沖消耗匯總來(lái)看,算例0與算例1總脈沖消耗相差無(wú)幾。對(duì)比算例0、算例1、算例3、算例5與算例2、算例4、算例6中的總脈沖數(shù)值可知,后者的脈沖消耗數(shù)值較小,說(shuō)明脈沖控制方案的方法2燃料消耗在不同的控制策略下均優(yōu)于方法1的燃料消耗。伴隨三星的總體燃耗不同的原因是其初始ROEs不同,進(jìn)而導(dǎo)致J2攝動(dòng)下的漂移速度不同,如表5所示。因此在編隊(duì)任務(wù)分析中需重點(diǎn)考慮維持任務(wù)中各星的均衡燃料消耗情況。

表5 伴隨三星的總脈沖消耗

表6 伴隨三星在各方向上的總脈沖匯總

根據(jù)表6,對(duì)由伴隨三星在各方向的總脈沖數(shù)值進(jìn)行分析對(duì)比。法向總脈沖的數(shù)值占比最大,由算例0、算例1、算例3、算例5中用于修正偏心率矢量的算例3、算例5的徑向脈沖與切向脈沖之和與算例2、算例4、算例6中的切向脈沖可知,前者數(shù)值約為后者的兩倍,說(shuō)明脈沖控制方案中方法2的脈沖消耗更優(yōu)。

4.3 誤差分布情況對(duì)比分析

算例0～算例6的誤差動(dòng)態(tài)曲線如圖7～圖13所示,分圖(a)表示該算例下相對(duì)軌道半長(zhǎng)軸與相對(duì)平均緯度幅角的誤差,分圖(b)表示該算例下相對(duì)偏心率矢量誤差曲線,分圖(c)為相對(duì)傾角矢量誤差曲線。

圖8 算例1仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results in case 1

圖9 算例2仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results in case 2

圖10 算例3仿真結(jié)果Fig.10 Simulation results in case 3

圖11 算例4仿真結(jié)果Fig.11 Simulation results in case 4

圖12 算例5仿真結(jié)果Fig.12 Simulation results in case 5

圖13 算例6仿真結(jié)果Fig.13 Simulation results in case 6

在首個(gè)控制周期中,各項(xiàng)誤差受到參數(shù)初始誤差的評(píng)估、尤其是由相對(duì)軌道半長(zhǎng)軸參數(shù)誤差導(dǎo)致的相對(duì)緯度幅角漂移的影響,僅對(duì)剩余控制周期中的誤差進(jìn)行整體分析評(píng)估。概括而言,維持機(jī)動(dòng)脈沖的施加使各項(xiàng)誤差均為瞬間改變,而所有誤差均處于一定范圍內(nèi),證明兩種脈沖控制方法的有效性。

圖14中的6幅分圖分別體現(xiàn)了三顆伴隨星(Sat1、Sat2、Sat3)在所有算例中的各項(xiàng)分量的誤差分布情況。伴隨星一星Sat1的數(shù)據(jù)位于分圖的左側(cè),二星Sat2位于中部,三星Sat3位于右側(cè),各算例的數(shù)據(jù)由不同的顏色進(jìn)行區(qū)分,注解位于圖像下方。

圖14 所有算例誤差分布對(duì)比圖Fig.14 Error distribution comparison diagram of all cases

對(duì)比算例0與算例1中的各項(xiàng)誤差分布情況,相對(duì)軌道半長(zhǎng)軸acδa與相對(duì)平均緯度幅角acδλ誤差分布相差無(wú)幾,但算例1中其他各項(xiàng)誤差的最大誤差值約為算例0的50%。例如算例0中acδey項(xiàng)的范圍為[0, -20] m,最大誤差值為20 m,算例1中該項(xiàng)的范圍為[-10,+10] m,最大誤差值是10 m。算例0中的相對(duì)偏心率矢量與相對(duì)軌道傾角的誤差值均偏向一側(cè),算例1中相應(yīng)的誤差值對(duì)稱地分布在零值上下,因此提前考慮預(yù)估漂移量的控制策略可有效降低被控制量的最大誤差值,說(shuō)明了其有效性。

對(duì)比算例1、算例2、算例5、算例6與算例3、算例4的相對(duì)偏心率誤差分布情況可知,前者的誤差值分布較為對(duì)稱,后者相對(duì)偏心率矢量誤差分布傾向零值一側(cè)。對(duì)比acδiy誤差值可知,前者的誤差分布同樣較后者相比更為對(duì)稱。這說(shuō)明策略2在整個(gè)仿真過(guò)程中的誤差對(duì)稱性分布均優(yōu)于策略1,即當(dāng)自然飛行階段時(shí)間與控制飛行階段時(shí)間比大于1∶1時(shí),建議選擇策略2進(jìn)行編隊(duì)維持控制。

在圖12中,采用方法1維持控制算法的算例0、算例1、算例3、算例5中相對(duì)軌道高度acδa的誤差值較小,而算例2、算例4、算例6中的acδa誤差較大,但是較大的誤差量持續(xù)的時(shí)間較短,這是維持控制算法的不同導(dǎo)致的。相對(duì)平均緯度幅角acδλ的誤差量的大部分來(lái)源是脈沖控制,即是在消除相對(duì)偏心率誤差過(guò)程中產(chǎn)生的,例如算例1、算例3、算例5采用方法1中的徑向脈沖以及算例2、算例4、算例6采用方法2中的切向脈沖。除acδiy,acδex、acδey與acδix的最大誤差均小于20 m,這得益于誤差較小的理論漂移速率計(jì)算及其自身較小的漂移速率。acδiy的誤差量是最大的,尤其是伴隨三星在算例3中的acδiy的最大誤差值為55 m。原因是由于受到J2攝動(dòng)的影響,其自然漂移速率較大,且在整個(gè)控制周期均存在漂移,故產(chǎn)生的誤差值較大,因此需要重點(diǎn)考慮acδiy維持控制策略的設(shè)計(jì)。

5 結(jié) 論

本文對(duì)J2攝動(dòng)下的編隊(duì)脈沖機(jī)動(dòng)方法與維持策略進(jìn)行了研究、驗(yàn)證與分析?；赗OEs及其J2攝動(dòng)下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,對(duì)J2攝動(dòng)產(chǎn)生的ROEs的漂移進(jìn)行了分析研究,提出了兩種不同的脈沖控制方案與維持策略,并建立了高精度軌道動(dòng)力學(xué)環(huán)境,對(duì)所提出的方法策略進(jìn)行了驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明,在J2攝動(dòng)下,acδex、acδey與acδiy漂移速率的理論值與試驗(yàn)值差異較小,且所提出的脈沖控制方案與維持控制策略均具有可行性與有效性。從燃耗角度分析,燃耗的高低僅與脈沖控制方案有關(guān),與維持策略關(guān)系不大,且第二種脈沖控制方案相比第一種方案更優(yōu)。從誤差分布分析,第二種維持策略優(yōu)于第一種維持策略。本文假設(shè)所有衛(wèi)星的面質(zhì)比相同,后續(xù)可開(kāi)展對(duì)不同面質(zhì)比衛(wèi)星編隊(duì)維持控制方法與策略的研究工作。

本文針對(duì)編隊(duì)脈沖控制與維持策略開(kāi)展研究,所提出的控制方案與維持策略簡(jiǎn)單可靠。對(duì)于未來(lái)空間編隊(duì)的維持控制具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值,同時(shí)對(duì)近距離操作任務(wù),例如長(zhǎng)期繞飛、凝視偵察等空間任務(wù)具有明確的價(jià)值與意義。