同一種思維方式“待”出不一樣的人生
——用待定系數(shù)法處理有通項(xiàng)的數(shù)列放縮問題

汪本旺

(浙江省湖州市安吉縣孝豐高級(jí)中學(xué))

放縮法證明數(shù)列不等式歷來是高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn),在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演拉開差距的角色.由于放縮法靈活多變,技巧性要求較高,所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)則太大,縮小一點(diǎn)點(diǎn)則太小”,這就讓許多學(xué)生很茫然,找不到頭緒,摸不著規(guī)律,覺得高不可攀.如何找到放縮的“橋梁”,如何把握放縮的度,使得放縮“恰到好處”,是力求一步到位就能完成問題證明的關(guān)鍵.本文對(duì)三種類型的數(shù)列,用同一種思維——待定系數(shù),巧妙地解決適度放縮問題.

一、問題背景

在2020年11月浙江省湖州市期末第一次聯(lián)考考試中,出現(xiàn)一題數(shù)列解答題,題目如下(節(jié)選):

(Ⅰ)求a2,a3的值,并寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

該題第(Ⅱ)問最終統(tǒng)計(jì)結(jié)果基本全軍覆沒,課后通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生花了很多時(shí)間但最終還是未能解決該題,本文先給出第(Ⅱ)問的官方解析:

通過目標(biāo)值或目標(biāo)式的分析常常能得到放縮的路徑.本文就近年來高考中常考的三種有通項(xiàng)的數(shù)列不等式問題,談?wù)劥譁\的思考.

二、基本類型

1.分母為二次函數(shù)型

1.1 案例分析

1.2 思維策略

1.2.2 目標(biāo)值指引

1.2.3 驗(yàn)證不等式

1.3 知識(shí)運(yùn)用

（b）I borrowed the book from the libraryI can keep for a week.

即證8(n+1)(2n+1)>(4n+1)(4n+5),

即證8n+5>0,該不等式顯然成立,命題得證.

【點(diǎn)評(píng)】普通學(xué)生初次接觸此類題,是很難做到精準(zhǔn)放縮的.本文所述的“待定系數(shù)法”,突破了此類問題學(xué)生找不到思路的瓶頸.而更一般的放縮“通項(xiàng)公式”(*),引導(dǎo)學(xué)生將一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng),而且此兩項(xiàng)必為同一新數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng),從而為后續(xù)的消項(xiàng)作好了準(zhǔn)備.這對(duì)于學(xué)生深刻理解數(shù)列裂項(xiàng)求和的本質(zhì)是非常有幫助的.

2.分母為指數(shù)型

2.1 案例分析

對(duì)于例2,可以嘗試上述所講的方法解決,但是能否有一種本質(zhì)的方法一次性解決這兩個(gè)問題呢?由于通項(xiàng)為指數(shù)型,而指數(shù)型又與等比數(shù)列有密切聯(lián)系,那么是否可以嘗試放縮到等比數(shù)列呢?為了控制放縮的精度,引入待定正系數(shù)k,即構(gòu)造如下放縮“通項(xiàng)公式”:

事實(shí)上,當(dāng)n=1時(shí),2n-1=3n-1,當(dāng)n≥2時(shí),2n-1<3n-1.

那么,對(duì)(Ⅰ)的證明可以稍作調(diào)整,如下:

當(dāng)n=1時(shí),不等式恒成立;

在(Ⅱ)中,作如下考慮,保留第一項(xiàng),從第二項(xiàng)開始待定系數(shù)放縮,

事實(shí)上,當(dāng)n=2時(shí),2n-2=3n-2,當(dāng)n≥3時(shí),2n-2<3n-2.

那么,對(duì)(Ⅱ)的證明可以稍作調(diào)整,

當(dāng)n=1,2時(shí),不等式恒成立;

2.2 思維策略

2.2.1 算法式模式

2.2.2 目標(biāo)值指引

2.2.3 驗(yàn)證不等式

把2.2.2中算出的k帶入不等式ai

2.3 知識(shí)運(yùn)用

那么從第二項(xiàng)開始放縮:

證明:當(dāng)n=1,2時(shí),不等式顯然成立;

3.分母為根式型

回歸問題背景,選擇調(diào)和不等式的確非常簡(jiǎn)單,但是對(duì)學(xué)生來說,實(shí)在是技術(shù)含量較高,那么對(duì)于該類問題,能否找到一種直接明了,更加本質(zhì)的方法呢?

3.1 案例分析

3.2 思維策略

3.2.1 算法式模式

3.2.2 目標(biāo)值指引

3.2.3 驗(yàn)證不等式

3.3 回歸背景

根據(jù)思維策略,對(duì)于問題背景中的問題,做如下分析:

證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式恒成立;

三、結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮問題上,巧妙的應(yīng)用待定系數(shù)法優(yōu)化解題思路,找到問題本質(zhì),將原本高不可攀的問題簡(jiǎn)單化、程式化.在高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮問題教學(xué)中,有效地滲透此類方法,能夠有效地解決學(xué)生在解題中解題無思路、方法選用不當(dāng)導(dǎo)致放大或放小、準(zhǔn)確率低下等問題.