立體幾何中幾類典型作圖問題的探究

曾獻(xiàn)峰 林清利

(福建省莆田第一中學(xué))

立體幾何初步是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容,包括基本立體圖形、空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.在解決某些立體幾何問題時(shí),需要在較為復(fù)雜的空間圖形中分析直線、平面的位置關(guān)系,構(gòu)造出特定的幾何元素或幾何模型,這些都需要學(xué)生具備較高的作圖能力,能夠綜合運(yùn)用4個(gè)基本事實(shí)及其推論,結(jié)合位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行探究求解.在教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生作圖技能的訓(xùn)練,實(shí)施作圖的過程其實(shí)也是學(xué)生對(duì)幾何圖形特征的理解探究過程,是有邏輯地思考過程,是運(yùn)用幾何語言發(fā)展邏輯素養(yǎng)的過程.下面對(duì)一些立體幾何作圖問題從作圖操作和作圖依據(jù)兩個(gè)方面加以探析.

1.線與面的交點(diǎn)探究

圖1

圖1

圖1

圖1

圖1

圖1

圖1

圖1

圖2

圖2

圖2

圖2

圖2

圖2

圖2

圖2

【評(píng)注】直線l與平面α的交點(diǎn)G的作圖依據(jù):若l∩α=G,l?β,α∩β=m,則l∩m=G.

證明：G∈l?β,又G∈α,α∩β=m,由基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線,可知G∈m,所以l∩m=G.

上述表明,過直線l作一個(gè)平面β與平面α相交,所得交線m與直線l的交點(diǎn)即為l與α的交點(diǎn).通過“平面化”的思想,把直線l納入到平面β內(nèi),將線面交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面β內(nèi)兩條直線的交點(diǎn).由于平面β取法不唯一,會(huì)有多種作圖方式,但殊途同歸,所得交點(diǎn)是唯一確定的,如圖3所示,過直線B1D的平面A1B1CD與平面A1BC1交于直線A1E,則A1E與B1D的交點(diǎn)也為點(diǎn)G.

圖3

圖3

圖3

圖3

圖3

圖3

2.線與線的交點(diǎn)探究

【例2】如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6,點(diǎn)O在BC上,且BO=2OC,過點(diǎn)O的直線l與直線AA1,C1D1分別交于M,N兩點(diǎn),求MN的值.

【評(píng)注】直線l與兩異面直線a,b同時(shí)相交的作圖依據(jù):

若a與b為異面直線,l∩a=M,l∩b=N,l?α,a?α,則b∩α=N.

證明：∵a?α,a與b為異面直線,∴b?α.

又l∩b=N,∴N∈b,N∈l.

∵l?α,∴N∈α,∴b∩α=N.

上述表明,線線交點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為線面交點(diǎn).對(duì)本題而言,直線l與AA1確定平面AA1O1O,它與D1C1的交點(diǎn)N即為直線l與D1C1的交點(diǎn).由線面交點(diǎn)作圖依據(jù)可知,A1O1與直線D1C1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)N,延長NO與直線AA1相交得點(diǎn)M.本題的難點(diǎn)在于M,N的位置未知,需要先虛設(shè)點(diǎn)M,N待定出想象中的MN示意圖,再進(jìn)行分析推理.雖然空間中線線轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去,看似復(fù)雜,但如果能夠把它們納入到一些平面上,則能盡快地找到問題的突破口,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,這是“平面化”的思想.

3.面面交線與截面探究

【例3】正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分別是線段CC1,BB1,D1C1的中點(diǎn),畫出圖1,圖2,圖3中陰影部分所在的平面與平面ABCD的交線.

【解析】(1)如圖4所示,延長D1E與DC的延長線相交于點(diǎn)M,連接AM,則直線AM即為所求交線(其中CM=CD);

圖4

圖4

圖4

(2)如圖5所示,過A作直線PQ∥BD交CD延長線于點(diǎn)Q,交CB延長線于點(diǎn)P,則直線PQ即為所求交線(其中CD=DQ,CB=BP);

圖5

圖5

圖5

(3)如圖6所示,過點(diǎn)H作HO垂直DC于點(diǎn)O,延長OB,HF交于點(diǎn)N,則直線AN即為所求交線(其中BN=BO).

圖6

圖6

【評(píng)注】面與面的交線作圖依據(jù):若△AD1E所在的平面α與平面ABC有一個(gè)公共點(diǎn)A,則有且只有一條過點(diǎn)A的公共直線l,若D1E∥平面ABC,則l∥D1E;若D1E∩平面ABC=P,則直線AP即為所求交線.

證明：由基本事實(shí)3可知α∩平面ABC=l,且A∈l.若D1E∥平面ABC,則由平面AD1E∩平面ABC=l,D1E?平面AD1E,可得l∥D1E;若D1E∩平面ABC=P,則由基本事實(shí)2:如果一條直線上兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線就在這個(gè)面內(nèi),可知l=AP.

對(duì)本題而言,每個(gè)三角形所在平面均與底面交于點(diǎn)A,延長三角形的第三邊(不含公共點(diǎn)A的邊),若與底面不相交,則交線平行于第三邊(如圖5中PQ);若相交,則得另一個(gè)公共點(diǎn),從而得到交線(如圖4中AM,圖6中AN);因此,可將上述方法稱為“延長線”法.另外,由于圖6中直線HF并不在正方體表面,是一條處于“空中”的線,要研究其與底面交點(diǎn)N的位置會(huì)有些難捉摸,繼續(xù)以“平面化”思想為指導(dǎo),采用投影法(HO,FB⊥底面ABC)創(chuàng)設(shè)出平面HOBF,這樣在梯形HOBF中就可以很好地考查HF與OB的交點(diǎn)N了.

研究幾何體的截面問題就是研究面面交線問題,若要探究作出圖6中平面AHF與正方體的截面,可按如下方法:延長AF,A1B1交于點(diǎn)G;延長GH,A1D1交于點(diǎn)R,GH交B1C1于點(diǎn)T;連接AR交DD1于點(diǎn)S,則所求截面為五邊形AFTHS.通過“延長線法”,選擇從正方體面上的線AF出發(fā),經(jīng)延長后與棱所在的直線相交得交點(diǎn),如此重復(fù),不斷產(chǎn)生新的交點(diǎn),直至得到所有的“截點(diǎn)”:F,T,H,S,A,連接得截面AFTHS(如圖7).這是截面的一種比較方便有效的作法.

圖7

圖7

4.線面平行探究

【例4】如圖1所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,P,Q分別為棱AA1,AC的中點(diǎn),在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)A作AM//平面PQB1交BC于點(diǎn)M,寫出作圖步驟.

【解析】解法一:如圖2,在平面ABB1A1內(nèi),過點(diǎn)A作AN∥B1P交BB1于點(diǎn)N,連接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于點(diǎn)H,連接AH并延長交BC于點(diǎn)M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法二:如圖3,在平面ABB1A1內(nèi),連接A1B,過點(diǎn)A作AN∥B1P交A1B于點(diǎn)N,連接A1C,在△A1BC中,過點(diǎn)N作NM∥A1C交BC于點(diǎn)M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法三:如圖4,延長BA,B1P交于點(diǎn)R,連接RQ并延長交BC于點(diǎn)K,在△ABC中,過點(diǎn)A作AM∥QK交BC于點(diǎn)M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法四:如圖5,延長PQ,C1C交于點(diǎn)N,連接B1N與BC交于點(diǎn)R,連接QR,在△ABC中,過A作AM∥QR交BC于點(diǎn)M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法五:如圖6,連接BQ,取BQ中點(diǎn)R,B1Q的中點(diǎn)S,連接RS,AR,PS,則四邊形APSR是平行四邊形,延長AR交BC于點(diǎn)M,則AM為所求作的直線.

解法六:如圖7,取CC1,BB1中點(diǎn)E,F,連接EF,EP,PF,取EP中點(diǎn)G,連接FG,取FG中點(diǎn)H,連接PH交EF于點(diǎn)N,過N作NM∥BF交BC于點(diǎn)M,連接AM,則AM為所求作的直線.

【評(píng)注】在平面β內(nèi)過點(diǎn)A作直線l∥平面α的兩種重要作圖方式:

方式一:構(gòu)造線線平行.若l∥α,l?β,α∩β=m,則l∥m,根據(jù)線面平行的性質(zhì),只需在平面β內(nèi)過點(diǎn)A作一條和β與α的交線m平行的直線就是所求作的直線l,再根據(jù)線面平行的判定容易證明l∥α.如解法三,解法四的作法.

方式二:構(gòu)造面面平行.若l?γ,γ∥α,則l∥α.依此,作出過點(diǎn)A且平行于平面α的平面γ,則γ與β的交線即為所求的直線l.比如解法一,解法二;解法五是通過構(gòu)造平行四邊形APSR巧證;解法六是先作出與平面ABC平行的平面PEF,再作出它與平面PQB1的交線PN,最后將其平行轉(zhuǎn)移到平面ABC中的直線AM.根據(jù)作圖步驟容易算得CM=2MB.

5.線線垂直探究

【例5】如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,若點(diǎn)P是AA1的中點(diǎn),M為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),若D1M⊥CP,求M的軌跡長度.

【評(píng)注】線線垂直的作圖依據(jù):如果平面內(nèi)一條直線與一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直,那么它與這條斜線垂直,這是三垂線定理.就本題而言,若存在M1,M2使得D1M1⊥CP,D1M2⊥CP,D1M1∩D1M2=D1,則CP⊥平面D1M1M2,因此問題的本質(zhì)是過點(diǎn)D1作出直線CP的垂面,依據(jù)線面垂直的判定定理只需作兩條相交直線與CP垂直即可.CP在平面A1B1C1D1上的射影為A1C1,B1D1⊥A1C1,由三垂線定理有B1D1⊥CP;同樣,CP在平面A1B1BA上的射影為BP,B1N⊥BP,由三垂線定理有B1N⊥CP,又QN∥B1D1,從而得到平面D1B1N與正方體的截面為D1B1NQ.三垂線定理是作線線垂直的一個(gè)十分有利的工具.

6.面的垂線探究

【例6】如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1棱CC1的中點(diǎn)E,求直線A1D與平面EDB所成的角的正弦值.

【評(píng)注】平面α的垂線l作圖依據(jù):若m?α,m⊥β,α∩β=n,l?β且l⊥n,則l⊥α.

證明：m?α,m⊥β,則β⊥α,又α∩β=n,l⊥n,l?β,則l⊥α.

即依據(jù)面面垂直的性質(zhì)構(gòu)造出面的垂線:如圖3所示,先作出平面α內(nèi)某條直線m的垂面β,再在平面β內(nèi)作α與β交線n的垂線即為所求的直線l.對(duì)本題而言,先作出平面EDB內(nèi)直線BD的垂面A1ACC1,再得到平面A1ACC1∩平面BDE=EO,最后過A1作EO的垂線交于點(diǎn)O,則A1O為平面EDB的垂線,又△A1DB為等邊三角形易得A1D與平面EDB所成的角為60°.

7.基于已知模型探究幾何體

【例7】如圖1,正四面體A-BCD的棱長為1,E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),求過E,F,C,D四點(diǎn)的球O的半徑.

【評(píng)注】將幾何體嵌入到已知模型中進(jìn)行研究也是一種重要的作圖方式,“補(bǔ)形法”正是基于此,用整體與局部的思維思考問題.以正方體為載體研究正四面體,可以很方便地借助正方體的幾何性質(zhì)研究正四面體的線線、線面的位置關(guān)系.對(duì)本題而言,需要作出的圖形有:線段EF,CD的垂直平分面,面面交線AQ,平面EFC(即平面ABC)的垂線O1O等,這些均是前面一些作圖方法的綜合應(yīng)用,經(jīng)“平面化”后最終將問題轉(zhuǎn)化為研究平面圖形——矩形APQD,再從對(duì)角線AQ上尋找滿足OO1⊥AO1的點(diǎn)O的位置.

基于同樣的想法,類比正四面體與正方體的關(guān)系,我們可用平行六面體來研究四面體.例如:

四面體A-BCD滿足AB⊥CD,BD⊥AC,求證:AD⊥BC.

證明:如圖5,將四面體嵌入到平行六面體AEBF-GCHD中,∵AB⊥CD,CD∥EF,∴四邊形AEBF為菱形.∵BD⊥AC,同理可得四邊形AGCE為菱形,∴四邊形AFDG為菱形,∴AD⊥GF,又BC∥GF,∴AD⊥BC.

(Ⅰ)求A到平面A1BC的距離;

(Ⅱ)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

【評(píng)注】本題源自人教A版教材必修第二冊(cè)P160例10的三棱錐模型,命題者將其補(bǔ)形為直三棱柱,在求解時(shí)又將其進(jìn)一步補(bǔ)形為正方體.本題題干簡潔,設(shè)計(jì)新穎,除提供體積和面積兩個(gè)數(shù)據(jù)外,將其他幾何元素信息都隱藏在垂直關(guān)系中,需推理論證方能求得.在理清幾何元素位置關(guān)系后,利用補(bǔ)形法求解幾乎沒有運(yùn)算量.另外也可按照二面角的定義法作出其平面角:如圖2,在△ABD內(nèi)作AN⊥BD于點(diǎn)N,連接CN,由△ABD與△CBD全等可得CN⊥BD,則∠ANC即為所求二面角平面角;也可利用AM⊥平面A1BC先求出其補(bǔ)角∠ANM;這些幾何作圖操作對(duì)于熟悉定理、圖形性質(zhì)的學(xué)生來說是容易做到的.

8.結(jié)束語

(本文系莆田市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度立項(xiàng)研究課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)實(shí)踐與研究》編號(hào)(PTKYKT21169)階段性研究成果)