關(guān)于量子態(tài)的真多體非局域性的一些研究

陳崢立,程靖霖

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710119)

量子非定域性是量子力學(xué)有別于經(jīng)典力學(xué)的本質(zhì)特征,它是量子信息和量子計(jì)算的基礎(chǔ),具有深遠(yuǎn)的物理意義,并且在密碼學(xué)［1-2］、隨機(jī)提取［3］和降低通信復(fù)雜［4］度等方面具有廣泛應(yīng)用.

在過去的30年中,關(guān)于兩體情況下的貝爾非局域性的研究取得了一系列成果.GISIN等人［5-6］證明了所有兩體糾纏純態(tài)都是貝爾非局域的;CAO等人［7］給出了兩體態(tài)的貝爾非局域性的數(shù)學(xué)定義和刻畫,證明了所有貝爾局域態(tài)所構(gòu)成的集合的凸性和閉性.但是,對(duì)于多體系統(tǒng)的非定域性所知甚少.

本文是在CONTRERAS-TEJADA等［17］提出的真多體非局域性的定義的基礎(chǔ)上展開的.在第2節(jié)中,針對(duì)CONTRERAS-TEJADA等［17］提出的定義中存在的問題,在遵循文獻(xiàn)［15,17］中無信號(hào)條件約束的情況下,給出了更精確的真多體非局域性的數(shù)學(xué)定義;證明了兩可分態(tài)都是真多體局域態(tài),進(jìn)而說明了真多體非局域態(tài)都是真多體糾纏態(tài).在第3節(jié)中,利用算子理論的方法,給出了三類不能用來檢測量子態(tài)真多體非局域性的測量集合.

1 預(yù)備知識(shí)

M1?M2?…?Mn={Mx1?Mx2?…?Mxn：xi=1,2,…,mHi},

其中,

Mx1?Mx2?…?Mxn={Ma1|x1?Ma2|x2?…?Man|xn：ai=1,2,…,OHi}.

2 真多體非局域性的定義

|ψ〉=|ψT1〉?|ψT2〉?…?|ψTk〉,

(1)

(2)

注11)若ρ是可分態(tài),則ρ一定是兩可分的;若ρ是兩可分的,則ρ不一定是可分的.

2)兩可分的混合態(tài)不需要相對(duì)于Hilbert空間的任何特定劃分是可分的.

M1?M2?…?Mn={Mx1?Mx2?…?Mxn：xi=1,2,…,mHi}

表示復(fù)合系統(tǒng)H1?H2?…?Hn上的一個(gè)測量集合,其中

Mx1?Mx2?…?Mxn={Ma1|x1?Ma2|x2?…?Man|xn：ai=1,2,…,OHi},

(3)

定理1每一個(gè)兩可分態(tài)都是GML態(tài).

由定義5可知|ψ〉是GML的.

下證兩可分的混合態(tài)的情況.

注2因?yàn)槊恳粋€(gè)兩可分態(tài)都是GML態(tài),所以GMNL態(tài)一定是GME態(tài).

3 三類不能用來檢測真多體非局域性的測量集合

對(duì)于復(fù)合量子系統(tǒng)HA?HB?HC中的量子態(tài)ρABC∈D(HA?HB?HC),下面給出了三類不能用來檢測真多體非局域性的測量集合.

證明對(duì)于任意的ρABC∈D(HA?HB?HC),有

定義雙射f：［OA］×［OB］×［OC］→［OAOBOC］,且

(4)

則稱MH是相容的(Compatible).

從而?ρABC∈D(HA?HB?HC),有

定義雙射f：［rA］×［rB］×［rC］→［rArBrC］,且

fB(b|y,q)fC(c|z,h),

定理4可交換的測量組合一定是相容的.

結(jié)合定理3和定理4就有下面這個(gè)結(jié)論:

定理2、定理3和定理4說明單個(gè)的POVM測量所組成的測量組合、相容的測量所組成的測量組合和可交換的測量所組成的測量組合不能用來檢測量子態(tài)的GMNL性,在這樣的測量下,所有的多體態(tài)都表現(xiàn)出GML性.

4 結(jié) 論

本文主要基于真多體糾纏態(tài)的定義,給出了真多體非局域性的數(shù)學(xué)定義,證明了兩可分態(tài)都是真多體局域態(tài),進(jìn)而說明了真多體非局域態(tài)都是真多體糾纏態(tài).還證明了單個(gè)的POVM測量所組成的測量集合、相容的測量所組成的測量集合以及可交換的測量所組成的測量集合不能用來檢測量子態(tài)的真多體非局域性質(zhì).