帶有變系數(shù)阻尼項(xiàng)的半線性波動方程解的衰減估計(jì)

陳雪麗，曹德剛，楊 晗

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756)

1 引言

本文研究如下帶有變系數(shù)阻尼項(xiàng)的非線性波動方程的Cauchy 問題

其中

初值滿足

且初值具緊支集

對于問題(1)，文獻(xiàn)[5 -7]研究了對應(yīng)的齊次問題，根據(jù)β的范圍將阻尼項(xiàng)分為了四種情形:1)當(dāng)β ＜-1時(shí)，稱阻尼項(xiàng)為超阻尼，此時(shí)當(dāng)t→∞時(shí)，解不衰減到0；2)當(dāng)-1 ≤β ＜1 時(shí)，稱阻尼項(xiàng)是有效的，此時(shí)解的性質(zhì)與對應(yīng)的熱方程的解一致，也就是utt對于解的衰減性質(zhì)沒有影響；3)當(dāng)β ＝1 時(shí)，阻尼項(xiàng)是臨界的；4)當(dāng)β ＞1 時(shí)，稱阻尼項(xiàng)是無效的，此時(shí)解的性質(zhì)與對應(yīng)的波動方程相似，即阻尼項(xiàng)對解的漸近性質(zhì)沒有影響.因此本文討論-1＜β ＜1 時(shí)解的衰減性質(zhì)，此時(shí)阻尼項(xiàng)是有效的.

對于波動方程解的衰減性質(zhì)的相關(guān)研究已有了較豐富的結(jié)果，若阻尼項(xiàng)帶常系數(shù)，文獻(xiàn)[1]研究如下波動方程的Cauchy 問題

其中p ＞1 .在1＜p ＜∞(n ＝1，2)，1＜p條件下，若初值滿足u0(x) ∈H1(?n)，u1(x) ∈L2(?n) ，以及

對于常數(shù)γ ＞0 成立，則問題(4)存在唯一弱解

u(x，t) ∈C([0，∞)；H1(?n)) ∩C1([0，∞)；L2(?n)).

在上述條件下，利用加權(quán)L2能量法，得到了問題(4)解的衰減性質(zhì)

上述衰減估計(jì)是在常數(shù)C ＞0 ，1＜p≤條件下建立的.

在文獻(xiàn)[2]中，考慮了全空間?n上帶阻尼變系數(shù)a(x) 及帶非線性項(xiàng)｜u ｜p-1u的半線性波動方程的Cauchy問題

其中1＜p ＜∞(n ＝1，2) ，1＜p ＜(n≥3) ，c ＞0 ，a(x)≈，β∈[0，1) .在初值滿足u0(x)∈H1(?n)，u1(x) ∈L2(?n) ，suppu0，suppu1?{x；｜x ｜≤R}，R ＞0 的條件下，考慮問題(5)在臨界情況下解的衰減性質(zhì)，即β ＝1 時(shí)的情況.同時(shí)考慮了a(x，t) ≈時(shí)解的衰減性質(zhì).利用乘子法以及解的有限傳播速度得到了如下衰減估計(jì)

其中0 ≤η ＜1 ，且依賴于常數(shù)b0和c.

文獻(xiàn)[3]研究了問題(1)解的L1和L2衰減估計(jì)，在文獻(xiàn)[3]中，b(t)＝b0(1＋t)-β其中常數(shù)b0＞0 ，-1＜β ＜1 ，p ＞1 .當(dāng)β ＝0 時(shí)，(1)轉(zhuǎn)化為問題(4).在1＜p ＜∞(n ＝1，2) ，1＜p ＜(n≥3) ，初值條件滿足(2)和(3)的條件下，得到了問題(1)弱解的整體存在性，弱解

且弱解的支集在集合Bt＋R:＝{x；｜x ｜≤t ＋R} 中.并建立了衰減估計(jì)

當(dāng)β ＝0 時(shí)，解的L2衰減估計(jì)與文獻(xiàn)[1]一致.

文獻(xiàn)[4]研究了阻尼項(xiàng)帶與時(shí)間空間都相關(guān)的變系數(shù)時(shí)的半線性波動方程Cauchy 問題

其中

在1＜p ＜∞(n ＝1，2)，條件下，初值滿足

文獻(xiàn)[4]利用加權(quán)能量法.通過選取合適的權(quán)重函數(shù)，得到了問題(6)解的L2估計(jì).當(dāng)α ＝0 時(shí)，結(jié)論與文獻(xiàn)[3]一致.

從上述文獻(xiàn)可知，在研究解的衰減估計(jì)時(shí)，要么要求初值具有緊支集，或者初值在無窮遠(yuǎn)處時(shí)有指數(shù)衰減性質(zhì).因此，對初值的假設(shè)不同，相應(yīng)的結(jié)論也不同，其方法也各有特點(diǎn).在初值具有緊支集時(shí)，一般要利用解的有限傳播速度來建立相應(yīng)估計(jì).若初值具有指數(shù)衰減時(shí)，一般利用加權(quán)能量方法來處理.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文考慮初值具有緊支集條件下的衰減估計(jì)，研究問題(1)中當(dāng)b(t) ≈b0(1＋t)-β，β∈(-1，1) 時(shí)解的衰減估計(jì)，由文獻(xiàn)[5 -7]可知，這種情況下阻尼項(xiàng)是有效的.

本文的主要結(jié)論如下.

定理1設(shè)1＜p ＜∞(n ＝1，2) ，，初值滿足(2)和(3)，b(t)∈C([0，∞)) ，b′(t)∈C([0，∞)) ，且

對于δ假設(shè)

其中β∈(-1，1) ，若u(x，t) ∈C([0，∞)；H1(?n)) ∩C1([0，∞)；L2(?n)) 是問題(1)的弱解，則對任意(8)中δ有

其中正常數(shù)C1，C2依賴于‖u0‖H1，‖u1‖L2，β和δ.

注1:在本文中，當(dāng)β ＝0 時(shí)，(1)轉(zhuǎn)化為問題(4)，由于對初值的假設(shè)不同，使用的方法不同，因此本文得到的結(jié)論與文獻(xiàn)[1]不同.當(dāng)-1＜β ＜1 時(shí)，本文與文獻(xiàn)[3]研究問題相同，通過選取與文獻(xiàn)[3]不同的乘子，得到不同的衰減估計(jì)，所得估計(jì)雖與n，p無關(guān)，但本文方法更簡單，豐富了此類問題的結(jié)論.

2 定理1 的證明

在證明定理1 之前，借助文獻(xiàn)[2]的方法，可以建立如下引理.

定義泛函E(t) ，H(t) ，

其中f(t) ，g(t) 是光滑函數(shù).

引理1若u是問題(1)的一個(gè)弱解，則以下等式成立

證明:在問題(1)第一個(gè)式子兩端同時(shí)乘以f(t)ut ＋g(t)u，并在?n上積分.

第一步，在(1)第一個(gè)等式兩端同乘f(t)u，可以得到

第三步，將第一步和第二步得到的等式相加，并在?n上積分，由散度公式有

即(11)成立.引理1 證畢.

由于問題(1)的弱解具支集，因此下文對泛函E(t) ，H(t) 的估計(jì)只需考慮將弱解的支集Ω(t) 作為E(t) ，H(t) 的積分區(qū)域，其中

Ω(t)＝{x；｜x ｜≤t ＋R}，R ＞0.

引理2假設(shè)存在均大于0 的光滑函數(shù)f(t) ，g(t) ，h(t) ，并且對于t≥0 ，滿足以下五個(gè)條件:

1) 2bf -2g - f′≥0 ；2) 2g - f′≥0 ；3)g″ - bg′≥0 ；4)；5)gb - g′ - h-1g≥0 .若u(x，t) 是問題(1)的弱解，則有

對于t≥0 成立.

證明:由上述條件1) -5)以及b′≤0 ，可以得到引理1 中H(t) ≥0 ，再由(11)可知，則有E(t) ≤E(0) 對于t≥0 成立.

因?yàn)閔(t)＞0 ，從而有

由條件5)可得

即(12)成立.引理2 證畢.

接下來選取合適的函數(shù)f(t) ，g(t) 和h(t) ，使得滿足引理2 條件，再借助引理可以證明定理1.

定理1 的證明:取具體的函數(shù)f(t) ，g(t) 和h(t) 為

其中δ滿足(8).下面驗(yàn)證上述選取的函數(shù)f(t) ，g(t) 和h(t) 滿足引理2 中的條件1) -5).計(jì)算f(t) 的一階導(dǎo)數(shù)和g(t) 的二階導(dǎo)數(shù):

因此由(7)可得

由于(1＋t)β-1≤1 ，即-(1＋t)β-1≥-1 ，因此有

1) 2bf -2g - f ′≥2 (1＋t)1-δ(b0-1- β ＋δ)≥0，

2) 2g - f ′ ＝(1＋β - δ) (1＋t)β-δ -(1＋β - δ) (1＋t)β-δ ＝0，

同1)處理技巧可得

因此，

5)gb - g ′- h-1g≥0.

據(jù)此，將(13)帶入(12)中可得

即

則對t≥0 有

那么(9)和(10)成立.定理1 證畢.