關(guān)于解三角形的一點(diǎn)困惑

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 周建鋒

一、問題的提出

談到解三角形,這是三角函數(shù)中重要的一個(gè)模塊,是三角與幾何相結(jié)合的一個(gè)經(jīng)典案例,無論是高考還是實(shí)際生活中的應(yīng)用,都是經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)話題. 有關(guān)解三角形的文章數(shù)不勝數(shù),但多數(shù)集中于解題研究或者思維方法等方面的討論,對(duì)確定一個(gè)三角形的基本條件及其背后的理論依據(jù)卻少有人提及. 文[1]提到了在已知兩邊及一邊對(duì)角時(shí),用正弦定理求解和用余弦定理求解之間的等效性,文[2]提到了用方程的思想來求解三角形,文[3]討論了正余弦定理的獨(dú)立性,但論述不夠完整,應(yīng)當(dāng)由正余弦定理的6 個(gè)公式中的任意2個(gè),都能推導(dǎo)出其余的4 個(gè)公式. 在數(shù)學(xué)教育越來越關(guān)注學(xué)生核心素質(zhì)的時(shí)代,對(duì)理論的深入探索也應(yīng)當(dāng)受到大家的關(guān)注.

從解方程的角度而言,用正弦定理和用余弦定理解三角形的等效性如何? 三角形的三條邊三個(gè)角,共有6 個(gè)變元,需要有6 個(gè)獨(dú)立的方程才能解出. 我們知道至少要知道3 個(gè)變元值(三邊、兩邊一角、兩角一邊)才能解出三角形,因而除了三個(gè)內(nèi)角和為180°,還需要兩個(gè)獨(dú)立的方程. 而三角形的正弦定理、余弦定理分別有3 個(gè)等式,它們都是可以各自獨(dú)立推導(dǎo)出來的,它們之間是否有內(nèi)在的邏輯關(guān)系,是否意味著只有兩個(gè)獨(dú)立的等式,其余的都可以由其中的兩個(gè)等式推導(dǎo)出來? 這些問題一直困擾著我們,讓我們來一一揭開它們的神秘面紗.

二、正弦定理、余弦定理的等效性

(一)已知兩邊及一邊對(duì)角時(shí),用正余弦定理求解是否等效?

例如ΔABC中,已知角B(銳角),邊b,c,求邊a. (當(dāng)角B為直角或鈍角時(shí),三角形不可能有兩解,不在討論之列.)

(二)已知兩邊及夾角時(shí),用正余弦定理求解是否等效?

(三)已知三邊時(shí),用正余弦定理求解是否等效?

(四)已知兩角一邊時(shí),用正余弦定理求解是否等效?

例如ΔABC中,已知角A,B,邊a,求邊b,c.

此時(shí)用正弦定理求邊最快捷, 但用余弦定理也能求解:已知A,B,則角C也已知,由兩式相加, 可得a=bcosC+ccosB. 同理,b=acosC+ccosA,兩式聯(lián)立即可求得b,c.

至此,我們得知,在求解三角形時(shí),無論用正弦定理還是用余弦定理, 均可求解. 只是某些情形下(如已知兩角及一邊)用正弦定理更快捷,在某些情形下(如已知三邊或兩邊及夾角)用余弦定理更快捷,在某些情形下(如已知兩邊及一邊對(duì)角)用正、余弦定理均較為快捷.

三、正弦定理、余弦定理的獨(dú)立性

通過對(duì)正、余弦定理等效性的分析,讓我們確信,正、余弦定理的六個(gè)公式之間是有邏輯關(guān)系的,下面我們來論證這一點(diǎn).

(一)由余弦定理的兩個(gè)公式導(dǎo)出正余弦定理其余公式

(二)由正弦定理的兩個(gè)公式導(dǎo)出正余弦定理其余公式

(三)由余弦定理的一個(gè)公式和正弦定理的一個(gè)公式導(dǎo)出正余弦定理其余的公式

四、結(jié)束語

從前面的論述可以看出: 在求解三角形時(shí),用正弦定理或用余弦定理是等效的;正余弦定理中的六個(gè)公式,由其中的兩個(gè)公式即可導(dǎo)出其余的四個(gè)公式,也即只有兩個(gè)公式是獨(dú)立的. 所以,我們在解三角形時(shí),在理論上更加明確: 給出三角形的三個(gè)條件,再結(jié)合內(nèi)角和為180°,所有正余弦定理公式中選擇其中的兩個(gè),即可解出三角形. 我們引導(dǎo)學(xué)生在理論上站在一個(gè)更高的起點(diǎn),對(duì)解三角形的問題就有一個(gè)更加清晰的認(rèn)識(shí),這對(duì)進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有十分重要的意義.