均值換元法解題研究

山東省壽光市教育科學(xué)研究中心(262700) 張明同 李佩龍

山東省壽光二中(262700) 劉海云

均值換元法是指借助于幾個(gè)值的平均值進(jìn)行換元的方法,如若a1+a2+...+an=m(n∈N,n≥2),則可設(shè)

其中λ1+λ2+...+λn= 0,這就是均值換元. 應(yīng)用均值換元法解題,可以降低解題難度,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,達(dá)到事半功倍的效果. 本文對(duì)均值換元法解題進(jìn)行研究,希望能為讀者提高解題能力提供幫助.

1. 均值換元法解題的切入點(diǎn)研究

利用均值換元法解題的關(guān)鍵是找到類似a+b=m的信息,然后進(jìn)行均值換元,從哪里尋找可以進(jìn)行均值換元的核心信息? 可以從以下三個(gè)方面考慮.

1.1 從題設(shè)中尋找有效信息

1.2 從未知結(jié)論中尋找有效信息

1.3 從題目挖掘隱含的有效信息

例3若函數(shù)f(x) = sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個(gè)值為_(kāi)___.

點(diǎn)評(píng)題目涉及兩個(gè)角x+φ,x,利用這兩個(gè)角的均值進(jìn)行換元,使問(wèn)題解答更輕松. 當(dāng)題目中不存在類似a+b=m這樣直接使用可進(jìn)行均值換元的條件時(shí),可以主動(dòng)對(duì)條件進(jìn)行分析和挖掘,尋找使用均值換元的條件,擇機(jī)使用均值換元.

2. 均值換元法解題的題型研究

應(yīng)用均值換元法解題的關(guān)鍵是要從題設(shè)及所求解題目的結(jié)構(gòu)特征入手,挖掘出問(wèn)題中隱藏的均值關(guān)系,從而使用均值換元法達(dá)到輕松解題的目的[1]. 均值換元法的應(yīng)用非常廣泛,下面進(jìn)行舉例分析.

2.1 證明等式

2.2 證明不等式

點(diǎn)評(píng)對(duì)題目中的信息進(jìn)行變形,創(chuàng)造使用均值換元的條件,揭示量與量之間的不等關(guān)系的本質(zhì),可以達(dá)到使用均值換元的目的.

2.3 求范圍(最值)

例6已知x,y∈ [0,+∞),2x+y= 6, 求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最值.

點(diǎn)評(píng)如果采用一般的思維方式,解題過(guò)程會(huì)相當(dāng)繁雜,采用均值換元后,問(wèn)題輕松解決,顯示出均值換元的實(shí)力.

2.4 求值

2.5 解方程

例8 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程(x+2)4=82-(x+4)4.

解設(shè), 則x+ 2 =t-1,x+4=t+1,原方程變?yōu)?t-1)4+(t+1)4=82,展開(kāi)并整理得,t4+6t2-40 = 0,解得t2= 4 或t2= -10(舍去負(fù)值),所以x1=-1,x2=-5.

點(diǎn)評(píng)如果將原方程直接展開(kāi)會(huì)相當(dāng)繁瑣,經(jīng)過(guò)均值換元后方程變?yōu)?t-1)2+(t+1)2= 82,變形后的方程展開(kāi)后會(huì)有很多項(xiàng)相互抵消,簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程,顯現(xiàn)出均值換元的優(yōu)勢(shì).

從以上幾個(gè)例題可以看出,“均值換元”的確是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種非常有效的手段, 其本質(zhì)原因是它變更了命題,而新命題更便于求解[2].