四元數(shù)廣義Sylvester方程M自共軛混合結(jié)構(gòu)解

徐云,黃敬頻

(廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,廣西 南寧 530006)

隨著四元數(shù)被廣泛應(yīng)用到工程、量子力學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、信號和彩色圖像處理等領(lǐng)域[1-6],許多重要矩陣方程的研究也從復(fù)數(shù)域擴(kuò)展到四元數(shù)體.Sylvester方程就是一類具有廣泛實際應(yīng)用背景的方程,在特征結(jié)構(gòu)配置、微分方程數(shù)值解、航天控制、模式識別等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.目前關(guān)于Sylvester方程以及它的各種推廣形式的求解方法,已經(jīng)有豐富的研究成果[7-14].文獻(xiàn)[8]討論了混合Sylvester矩陣方程組相容的充要條件,給出了該方程組的通解表達(dá)式及其解的極大極小秩;文獻(xiàn)[11]通過矩陣對的廣義奇異值分解(GSVD)及標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD)給出了混合Sylvester矩陣方程的最小二乘解;文獻(xiàn)[12]利用四元數(shù)矩陣的實分解和箭形矩陣的特征結(jié)構(gòu)討論了Sylvester方程的箭形矩陣解及其最佳逼近問題;文獻(xiàn)[13]利用四元數(shù)矩陣的實分解和矩陣的Kronecker積研究了四元數(shù)Sylvester方程具有Toeplitz矩陣約束解存在的條件及其最佳逼近問題;文獻(xiàn)[14]給出了廣義Sylvester方程的廣義反自反解.然而在四元數(shù)體上針對廣義Sylvester矩陣方程AX-YB=C的某些混合結(jié)構(gòu)解的研究目前未見相關(guān)的研究報導(dǎo),對此本文提出并討論該方程的一類M自共軛混合結(jié)構(gòu)解.

定義1[16]給定四元數(shù)矩陣M∈Qn×m,若矩陣X∈Qn×n滿足(M*XM)*=M*XM,則稱X為M自共軛矩陣.顯然當(dāng)M=I時,X即為自共軛矩陣,因此自共軛矩陣是特殊的M自共軛矩陣類.

定義2[17-18]設(shè)A∈Qm×n則稱LA=I-A+A,RA=I-AA+,分別為四元數(shù)矩陣A的左、右誘導(dǎo)算子.根據(jù)Moore-Penrose廣義逆的定義,易知ALA=LAA+=0,A+RA=RAA=0,LA*=RA,RA*=LA.

性質(zhì)1[19]設(shè)A、C∈Qn×n,則下列等式成立：

1)LA=(LA)2=(LA)*,RA=(RA)2=(RA)*;

2)LA(CLA)+=(CLA)+,(RAC)+RA=(RAC)+.

本文具體研究下列2個問題：

問題1已知A,B,C∈Qm×n,M∈Qn×m,尋找M自共軛矩陣X和自共軛矩陣Y滿足

AX-YB=C,

(1)

這時矩陣對(X,Y)稱為廣義Sylvester方程(1)的M自共軛混合結(jié)構(gòu)解.

(2)

1 問題1的解

首先,對給定的四元數(shù)矩陣M∈Qn×m,設(shè)rank(M)=r,并對M作奇異值分解(SVD),

(3)

引理1[16]給定四元數(shù)矩陣M∈Qn×m,并設(shè)rank(M)=r,則X∈Qn×n是M自共軛的充分必要條件為

(4)

注1 根據(jù)引理1可知,當(dāng)X2=0,X3=0時,矩陣(4)仍為M自共軛矩陣.記

(5)

尋找問題1的混合結(jié)構(gòu)解(XM,Y).若形似式(5)的矩陣XM及自共軛矩陣Y是方程(1)的混合結(jié)構(gòu)解,則將式(5)帶入方程(1)可得

(6)

記

AU=[A1,A2],BU=[B1,B2],CU=[C1,C2],

(7)

其中,A1,B1,C1∈Qm×r,A2,B2,C2∈Qm×(n-r).于是式(6)等價于方程組

(8)

引理2[19]設(shè)A∈Qm×p,B∈Qq×n,C∈Qm×s,D∈Qt×n,E∈Qm×n,且P1=RAC,Q1=DLB,S1=CLP1,則方程AX1B+CX2D=E有解的充要條件是

RP1RAE=0,RAELD=0,ELBLQ1=0,RCELB=0,

有解時其通解為

其中,U1、U2、U3、V1、V2為任意適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

對于方程組(8)給出的四元數(shù)矩陣A1,A2,B1,B2,C1,C1,

(9)

定理1設(shè)四元數(shù)矩陣A,B,C∈Qm×n,M∈Qn×n,rank(M)=r,M的奇異值分解為式(3),則問題(1)存在混合結(jié)構(gòu)解,當(dāng)且僅當(dāng)

(10)

有解時,其通解表達(dá)式為

(11)

其中,U由式(3)給出,且

(12)

其中,Ai,Bi(i=1,2,…,5),C1,C2,C3,P,Q,S,N1,N2如式(7)和式(9)所示,W1,T1,T2,T3,T4,T5,Z為任意適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

證明：對于方程組(8)的第1個方程

A1X1-YB1=C1,

(13)

存在自共軛解(X1,Y)的充要條件是方程組

(14)

RA1C1LB1=0

(15)

有解時,其解的表達(dá)式為

(16)

其中,W1,W2,W3為任意適當(dāng)階數(shù)的矩陣.將式(16)帶入式(14)的第2個方程,并由式(9)中的A3,B3有

(17)

由式(9)中的A4,B4,A5,B5,C3及式(17)兩邊分別左乘RA3和右乘LB3得

A4W2B4+A5W3B5=C3,

(18)

再由引理2,方程(18)關(guān)于W2,W3是相容的,當(dāng)且僅當(dāng)

RPRA4C3=0,RA4C3LB5=0,C3LB4LQ=0,RA5C3LB4=0,

(19)

式(18)有解時,其通解表達(dá)式為

(20)

(21)

為方程(14)的自共軛解.最后把Y的表達(dá)式代入方程組(8)的第2個方程,并結(jié)合引理2可得

(22)

其中,Z為任意適當(dāng)階數(shù)的矩陣.于是問題1的混合結(jié)構(gòu)解(XM,Y)由式(11)～(12)給出.證畢.

當(dāng)方程(1)中矩陣B=0時,問題1就簡化為求方程

AX=C

(23)

的酉相似塊對角M自共軛解.于是根據(jù)定理1可得如下推論.

推論1設(shè)A,C∈Qm×n,則矩陣方程(23)存在酉相似塊對角M自共軛解的充要條件為

(24)

其中,Ai,Ci(i=1,2)由分解式(7)給出.方程(23)有解時,其通解表達(dá)式為

(25)

(26)

J1為任意自共軛矩陣,J2為任意矩陣.

當(dāng)方程(1)中矩陣A=0時,問題1就簡化為求方程

YB=-C

(27)

的自共軛解.于是根據(jù)定理1可得如下推論.

推論2設(shè)B,C∈Qm×n,則矩陣方程(27)存在自共軛解的充要條件為

CLB=0,B*CB+=C*BB+,

(28)

方程(27)有解時,其通解的表達(dá)式為

(29)

其中,

Y1=-CB+-(B*)+C*RB+RBK1RB,

(30)

K1為任意適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

2 問題2的解

設(shè)A,B∈Qm×n,rank(A)=p,rank(B)=q,且

s=rank(A)+rank(B)-rank([A,B]),l=rank([A,B])+rank(B*A)-rank(A)-rank(B),

則矩陣對(A,B)的CCD-Q分解具有如下形式[21]：

(31)

(32)

minf=‖S1X-E‖2+‖S2X-F‖2.

(33)

證明：記E=[eij]h×b,F=[fij]h×b,X=[xij]h×b,那么

顯然f是關(guān)于hb個四元數(shù)變量xij的連續(xù)可微函數(shù),因此根據(jù)多元函數(shù)的極值理論容易得到

minf?xij=αieij+βifij,i=1,2,…,h,j=1,2,…,b?X=S1E+S2F.

證畢.

(34)

(35)

(36)

其中,

證明：由矩陣對(A,B)的CCD-Q分解式(31),可將方程(1)等價寫成

(37)

則

(38)

等價于

(39)

(40)

由式(39)、(40)可得

(41)

由式(39)、(41)可得

(42)

(43)

Y11=0,Y44=0,Y45=0,Y55=0,Yj6=0(j=1,2,…,6),

(44)

且

(45)

應(yīng)用引理3求解最小化問題(45),可得

(46)

將式(44)、 (46)代入式 (42) 、(43),可得式(35) 、(36),證畢.

3 數(shù)值算例

給出四元數(shù)矩陣A,B,C∈Q4×4,M∈Q4×4如下：

試判斷廣義Sylvester方程(1)的M自共軛混合結(jié)構(gòu)解(XM,Y)的存在性.若存在,求出其一組解.

首先,對矩陣M作奇異值分解(SVD)：M=Udiag(G,0)V*,其中,

其次,根據(jù)方程組(8)可得

其中,

通過計算可得：

RA1C1LB1=0,RPRA4C3=0,RA4C3LB5=0,

C3LB4LQ=0,RA5C3LB4=0,RA2C2LB2=0.

因此,根據(jù)定理1可知,所給廣義Sylvester方程存在混合結(jié)構(gòu)解(XM,Y),并由式(11)所確定.下面根據(jù)式(11)、(12),取U1,V1,V2,V3,V4,V5,R為零矩陣,可得一組M自共軛混合結(jié)構(gòu)解

其中,

4 結(jié)論