多元表征，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)
——以“認(rèn)識面積”一課的教學(xué)為例

江蘇省鹽城市步鳳小學(xué)

朱萬春

數(shù)學(xué)多元表征是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既有內(nèi)隱的心理層面的知識整合與建構(gòu)，也有外顯的能夠呈現(xiàn)認(rèn)知過程和認(rèn)知結(jié)果的多樣化的數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)概念在教學(xué)中成為一個(gè)難點(diǎn)，多元表征的學(xué)習(xí)方式在概念教學(xué)上使用較多。

最可悲的是肯尼迪，擺譜擺掉了腦袋?？夏岬鲜敲绹鴼v史上最年輕總統(tǒng)，素好張揚(yáng)，喜歡排場。他的車隊(duì)來到達(dá)拉斯，巡游路線本可以在稍偏一點(diǎn)兒的地方通過，他非要在達(dá)拉斯最繁華地區(qū)通過；本來安排他坐防彈轎車，他卻執(zhí)意要坐更拉風(fēng)的敞篷轎車，且車速僅15公里每小時(shí)。這就給了殺手絕佳的機(jī)會，一聲槍響，要了他的性命。

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。描述式概念是小學(xué)第二學(xué)段最主要的表示方式，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過對動作、圖像、言語等多元表征過程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念生成、整理和歸納的過程，幫助學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念本質(zhì)。下面筆者以蘇教版三年級“認(rèn)識面積”一課的教學(xué)為例，談一談教學(xué)中如何合理運(yùn)用多元表征促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。

一、經(jīng)歷多元表征過程，建立“面積”的模型

基于“面積”概念的抽象，對學(xué)生的認(rèn)知水平有一定的要求，筆者設(shè)計(jì)了“直觀—體驗(yàn)—理解”的認(rèn)知過程，引導(dǎo)學(xué)生從真實(shí)情境中直觀發(fā)現(xiàn)身邊的地面、黑板面、櫥窗面、數(shù)學(xué)課本的表面等，從找“面”、摸“面”，到從抽象的長方形、正方形等平面圖形中的識“面”。通過比一比、說一說等活動，初步體驗(yàn)什么是面的大小；運(yùn)用圖像表征，豐富面積概念的語言描述，拓展學(xué)生對面積的理性認(rèn)識，深入理解面積的意義。

（一）經(jīng)歷動作表征，體驗(yàn)物體的“面”

小學(xué)生受思維發(fā)展和認(rèn)知水平的局限，對一些概念難以認(rèn)知和理解，教師可以創(chuàng)設(shè)真實(shí)的生活情境，直觀可視地對“面”的概念進(jìn)行演示，通過模仿引導(dǎo)學(xué)生動手操作等，豐富學(xué)生的直觀感受，積累操作經(jīng)驗(yàn)。

片段1：找一找，摸一摸

師播放視頻。

第二，財(cái)務(wù)共享服務(wù)中心的推行。大數(shù)據(jù)時(shí)代催生了財(cái)務(wù)共享服務(wù)中心，它作為新的財(cái)務(wù)管理模式旨在簡化或取消各分公司的財(cái)務(wù)部門，解決企業(yè)財(cái)務(wù)職能建設(shè)中投入過于重疊的現(xiàn)象和效率過低的問題。降低人員成本是大數(shù)據(jù)為企業(yè)帶來的便利，但同時(shí)也帶來了問題，比如巨大的稅務(wù)風(fēng)險(xiǎn)及稅務(wù)機(jī)會成本。

師：他們在做什么？女生在打掃哪兒？男生呢？

生1：他們在勞動，女生擦黑板，男生拖地。

②槽段開挖完畢，檢查槽位、槽深、槽壁垂直度，合格后方可清槽換漿，槽壁垂直度偏差小于0.4%，清槽后保證槽底沉渣厚度不大于10 cm。

當(dāng)前，為了土地儲備管理制度的運(yùn)行有所保障，完善的監(jiān)督機(jī)制是必不可少的。重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)以下幾個(gè)方面：一是提高政府進(jìn)行土地儲備管理工作的透明度，并定期向社會公開具體管理信息，使政府的各項(xiàng)措施都能受到群眾的有力監(jiān)督；二是全面規(guī)范土地儲備管理的工作環(huán)節(jié)，要注意的是每個(gè)環(huán)節(jié)都要公開，嚴(yán)格按照公開環(huán)節(jié)具體實(shí)施；三是加強(qiáng)監(jiān)督管理部門的執(zhí)行力度，明確規(guī)范各個(gè)監(jiān)督機(jī)構(gòu)的職責(zé)分配，建立起相應(yīng)的考核制度，定期對相關(guān)責(zé)任人進(jìn)行評議。

“面”在生活中無處不在，你還能找到什么“面”？

生2：地面。

師：你真會觀察，讓我們一起來觀察一下地面。

生3：課本封面。

師：你能到前面來“摸”給大家看一看嗎？

生上臺展示。

師：不著急，慢慢摸，從左邊摸到右邊，再繼續(xù)，把封面的每個(gè)角落都要摸到。下面請同學(xué)們伸出手掌，我們一起來摸一摸桌面。還找到什么面了？

生（齊）：課桌面、椅子面……

在當(dāng)今，應(yīng)多關(guān)注“自我”的觀念越來越被老年人接受，這讓很多老人過于在乎自己的得失和感受，忽略了子女的現(xiàn)實(shí)需要和不滿情緒，從而造成了家庭不和諧。

Analysis on the variability of housing pattern under the family pension model

真實(shí)的生活情境，拉近了師生的距離，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

師：觀察得真仔細(xì)！（師指黑板）老師手指指的就是（ ），黑板邊框一周的總長就是黑板的（ ），手掌摸的就是黑板的（ ）。

（二）經(jīng)歷圖像表征，感悟物體的“面積”

師：謝謝你，又為我們提供了一種比較面積大小的好方法。

片段2：初識“面積”概念

師：同學(xué)們找到這么多“面”，請你們仔細(xì)觀察這些“面”，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：這些“面”的大小不同。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，符號意識主要指能夠感悟符號的數(shù)學(xué)功能，量感主要指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，符號意識和量感是形成抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。運(yùn)用圖像、符號多元表征在面積大小比較中可以結(jié)合符號表征對可測量圖形的大小關(guān)系進(jìn)行度量，學(xué)會在同一度量方法下進(jìn)行不同比較。

生2：是面積。

師板書：面積。

師：今天我們就一起來研究面積。如班級櫥窗面的大小就是櫥窗面的面積。門面的大小就是門面的面積。數(shù)學(xué)課本封面的大小指的是……

生3：數(shù)學(xué)課本封面的面積。

師：咱們說了這么多“面”的面積，用一句話表達(dá)就是這些物體的“面的大小”，就是這些物體“面”的面積。

師：請同學(xué)們也找2 個(gè)“面”，比一比它們面積的大小，和同桌說一說。

生交流。

師：剛才我們比較出了許多“面”面積的大小，蒙上眼睛你還能比出來嗎？接著我們來玩摸“面”的游戲。

學(xué)生通過圖像表征從平面到立體，空間想象物體面積的表征，從規(guī)則到不規(guī)則物體，由立體實(shí)物抽象出圖像，在比一比、說一說等活動中初步體驗(yàn)面積的概念，完善學(xué)生對面積含義的理解，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。

（三）經(jīng)歷言語表征，探索物體的“面積”

通過互動交流、合作探究，教師引導(dǎo)學(xué)生在找一找、摸一摸、比一比的過程中用數(shù)學(xué)語言描述“面的大小”“面積的意義”，用言語表征簡約、精確地描述物體面積，構(gòu)建“面積”概念；引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式。

片段3：在比較中鞏固“面積”概念

微商品牌很難活過3年，就是因?yàn)椴荒芡ㄟ^熟人圈賣貨，把生意鏈條真正打通。很多年前，就有業(yè)內(nèi)人士說，如果做微商的話，能想到的是通過朋友圈賣游艇。嗯，這個(gè)倒有可能成功。所以，進(jìn)入微商，要了解微商目前的核心不是賣產(chǎn)品，而是賣造富夢想，忽悠一批人跟你沒命的發(fā)展代理。這跟直銷有點(diǎn)像，也是微商一直被人詬病的地方。明白并接受微商的本質(zhì)以后，再說3個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)。

師：現(xiàn)在我們知道了物體表面的面積有大有小，下面請同學(xué)們將剛剛摸的“面”畫下來。

生展示（圖略）。

師：這樣的方法我們以前也遇到過，在比輕重的時(shí)候，就是用小質(zhì)量量大質(zhì)量，比長短的時(shí)候，用小長度量大長度，你們看，原來知識之間都是相通的。

（1）對比圖1 中兩個(gè)圖形的相同之處。

圖1

（2）比較圖2 中兩個(gè)圖形的不同之處。

世界以痛吻我，我或許不能報(bào)之以歌，但我可以做些什么繼續(xù)活下去?；畹煤脡囊苍S不重要，慶幸的是，我活著。那些遭遇生活打擊卻依然活著的人們，就像大海中航行的小船，不管是迷途還是停滯，只要還在航行，只要還沒有沉默，茫茫大海上就總會有燈塔，在努力向他們投射光亮。

圖2

小結(jié)：周長研究的是線的長短，面積研究的是面的大小。

在“面積”概念形成的過程中，引入生活“真實(shí)情境”，基于三年級學(xué)生的心理發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷動作表征、圖像表征后，使學(xué)生通過言語表征，建立“面積”概念。教師出示兩組圖形，搭建引發(fā)沖突的腳手架，讓學(xué)生在判斷、重構(gòu)中感受面積與周長的不同，培養(yǎng)學(xué)生從具象圖形認(rèn)知“面”有大有小，面積也有大小。

二、重視表征轉(zhuǎn)換，內(nèi)化“面積”的理解

動作、圖像、言語等不同表征的轉(zhuǎn)換呈現(xiàn)了學(xué)生不同的思維角度和水平。“認(rèn)識面積”教學(xué)顯然運(yùn)用了多元表征，如動手操作、圖像表示、言語解釋與學(xué)習(xí)背景等都有直接的聯(lián)系。同時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)需要高階思維層次的符號、數(shù)據(jù)等表征進(jìn)行交流反饋，進(jìn)一步促成各種表征的轉(zhuǎn)換，建立不同表征的認(rèn)知聯(lián)結(jié)，經(jīng)歷面積大小的度量過程，初步感知面積度量單位統(tǒng)一的必要性，形成量感。

（一）運(yùn)用多元表征，內(nèi)化“面積”度量

師：看來“面”有大有小，這些“面”的大小指的是什么？

片段4：比較面積大小

（1）觀察法

師：你能一眼看出圖3 中四個(gè)平面圖形誰的面積最小嗎？

圖3

生1：③號。

（1）下面的場景哪些與面積有關(guān)呢？（圖略）

（2）重疊法

師：誰的面積最大？你們還有什么辦法可以比較出來嗎？

生2：瞧，把幾個(gè)圖形重疊后就能看出④號最大了。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，空間觀念主要是對空間物體的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識。學(xué)生對面積概念的理解比較陌生，已學(xué)周長的概念對于學(xué)生認(rèn)識面積具有負(fù)遷移。學(xué)生在學(xué)習(xí)“物體面的大小就是面積”時(shí),教師可以從實(shí)物或立體圖形中抽象出圖形、符號等，經(jīng)過學(xué)生觀察，將這些圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思想表征，形成圖像表征，讓學(xué)生充分經(jīng)歷對“面”的大小的感知活動,結(jié)合實(shí)例形成對面積的真實(shí)體驗(yàn)。

（3）測量法

師：還剩①號和②號，誰大誰小呢？確定嗎？究竟哪個(gè)面積大呢？你們有什么辦法來比一比。

師：來試一試。能比出來嗎？或者你還有什么其他的方法嗎？老師請了一些我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的好伙伴，看看能不能幫助我們（師出示小正方形、小圓片、方格紙），請你們選擇一種材料擺一擺、數(shù)一數(shù)、比一比，把結(jié)果填到學(xué)習(xí)記錄單上。

師：都完成了嗎？請同學(xué)們一起來交流一下。

生1：我們小組是用小正方形測量的，長方形用了8個(gè)小正方形，正方形用了9 個(gè)小正方形。得出正方形的面積大。

下頜阻生第三磨牙拔除術(shù)是口腔科門診常見手術(shù)。由于下頜阻生第三磨牙變異性比較大，存在多種阻生情況，且局部解剖結(jié)構(gòu)復(fù)雜，手術(shù)操作視野局限，因此，拔除難度較大[2]。錐形束CT是專門針對口腔臨床應(yīng)用的CT三維成像技術(shù)，能夠清楚、真實(shí)地反映口腔和面部，尤其骨性組織的三維結(jié)構(gòu)及空間位置關(guān)系[3]。應(yīng)用錐形束CT觀察阻生第三磨牙區(qū)域解剖三維立體影像，可使手術(shù)定位更加準(zhǔn)確，從而最大程度避免手術(shù)并發(fā)癥，還可以縮短手術(shù)時(shí)間，減少患者痛苦。

生2：我們是用小圓片測量的，長方形用了8 個(gè)小圓片，正方形用了9 個(gè)小圓片。得出正方形面積大。

生3：我們小組是用方格紙測量的，長方形用了32個(gè)小方格，正方形用了36 個(gè)小方格。得出正方形的面積大。

師：剛剛我們用小正方形、小圓片、方格紙，都能比較面積大小，仔細(xì)觀察，它們有什么相同的地方嗎？

生4：我們是用小的面積測量大的面積。

師：是的，其實(shí)我們都是在用小的面積測量大的面積。

1.服務(wù)供給擴(kuò)容。在全區(qū)推進(jìn)日常健身休閑活動普及工作，將傳統(tǒng)的休閑產(chǎn)品改造為適宜休閑、娛樂、度假的高端產(chǎn)品。因地制宜地發(fā)展山地、水上、汽車、摩托車、航空等戶外運(yùn)動，并發(fā)展特色運(yùn)動，推動“互聯(lián)網(wǎng)+健身休閑”融合發(fā)展。各地市可參照《實(shí)施意見》開展研究制定戶外運(yùn)動健身規(guī)劃，加速推進(jìn)全區(qū)山地戶外運(yùn)動基地、海洋和內(nèi)陸水上運(yùn)動基地建設(shè)；打造“1+6”自駕路線和營地網(wǎng)絡(luò)；推動航空飛行營地和俱樂部的發(fā)展，加快發(fā)展民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動。

師（板書）：測量法。

師（小結(jié)）：這些平面圖形也有各自的大小，所以平面圖形的大小就是平面圖形的面積大小。我們挑幾個(gè)來研究。

將面積置身于度量之中，豐富了學(xué)生對度量概念的感知，使其進(jìn)一步體會到了面積的本質(zhì)含義，體驗(yàn)了建立標(biāo)準(zhǔn)的價(jià)值，同時(shí)也孕伏了面積就是面積單位的個(gè)數(shù)累加，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做了鋪墊。

（二）聚焦多元表征，升華“面積”認(rèn)知

以跨學(xué)科學(xué)習(xí)為主，筆者創(chuàng)設(shè)了勞動生活情境主題，采用主題式學(xué)習(xí)方式，聚焦多元表征解決實(shí)際問題，內(nèi)化“面積”意義認(rèn)識，在交流展示中讓學(xué)生說一說、做一做、想一想、寫一寫，使學(xué)生充分經(jīng)歷從感性認(rèn)識升華到理性認(rèn)識的過程，形成“面積模型”。

片段5：運(yùn)用多元表征，開展主題學(xué)習(xí)

圖3（a）為實(shí)驗(yàn)室中使用固定設(shè)備固定手機(jī)對兩個(gè)動態(tài)物體進(jìn)行拍攝，模擬固定式相機(jī)在多動態(tài)目標(biāo)下的情形。而兩個(gè)動態(tài)物體的運(yùn)動軌跡是不同的，因此兩個(gè)運(yùn)動物體所對應(yīng)的虛擬相機(jī)運(yùn)動軌跡也是不一樣的，所以采用目標(biāo)跟蹤技術(shù)跟蹤我們想要得到的單個(gè)運(yùn)動目標(biāo)。在跟蹤的同時(shí)，消除背景對重構(gòu)的影響，對于靜止的背景而言，相機(jī)的姿態(tài)是不變的，如果想要從序列圖像中重構(gòu)動態(tài)物體，就需要消除背景對計(jì)算虛擬相機(jī)軌跡的影響。

為使港珠澳大橋橋墩警示標(biāo)志能穩(wěn)定工作，始終處于良好狀態(tài)，并能在陰雨天氣下連續(xù)工作20個(gè)日歷天，需要對標(biāo)志的供電系統(tǒng)進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)，包括燈器的選用，電池的選用、配置，太陽能板的選用、配置；輸電電纜的選用等。

師：同學(xué)真棒，通過摸一摸、說一說、比一比的活動，很快就認(rèn)識了面積，現(xiàn)在讓我們帶著數(shù)學(xué)知識一起回到熱鬧的勞動場景中吧！

怎樣捕捉人物的“神”；各種燈光的打法；氛圍營造；強(qiáng)大的后期處理；攝影美學(xué)理論；市場現(xiàn)狀和流行趨勢；現(xiàn)場拍攝及創(chuàng)作指導(dǎo)；犀利點(diǎn)評；獲獎(jiǎng)經(jīng)驗(yàn)；等等。

師：你們真會觀察！面積相差比較大時(shí)，看一看就可以比較。

①擦玻璃

②給賀卡貼花邊

③拖地

④圍柵欄

（2）圖4 中，哪個(gè)圖形的面積最大？

圖4

師：請同學(xué)們在學(xué)習(xí)單上完成。

匯報(bào)：第③塊地有點(diǎn)特別，你是怎樣數(shù)出16 格的呢？

（3）“農(nóng)具變變變”。（圖略）

師：小鏟子的面積是多少？現(xiàn)在呢？仔細(xì)看，它變成了一個(gè)小叉子，面積是多少？同學(xué)們真是火眼金睛。瞧，它又變成了一個(gè)灑水壺，面積又是多少？

（4）統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

師：三年級同學(xué)勞動的內(nèi)容是擦墻面，看看他們都領(lǐng)到了什么任務(wù)？聰明的同學(xué)們，你們知道誰分得的墻面面積最大嗎？確定嗎？好，讓我們?nèi)ガF(xiàn)場看一看。怎么樣？這是為什么呢？

（5）小結(jié)

師：請同學(xué)們回顧一下，我們是怎么認(rèn)識面積的呢？首先我們在黑板上找到面，又在生活中的物體上認(rèn)識了面和面積，然后我們用不同的方法比較了幾個(gè)圖形面積的大小，最后又在我們熟悉的勞動場景中運(yùn)用面積的知識解決了問題。

師：現(xiàn)在你們認(rèn)識面積了嗎？那你們知道，面積是怎么來的嗎？

生交流。