經(jīng)歷建模過程 培養(yǎng)模型意識
——“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”教學(xué)片段與思考

江蘇省常州經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)

經(jīng) 輝

小學(xué)階段偏重于培養(yǎng)學(xué)生的“模型意識”，即對數(shù)學(xué)模型的初步感悟、運(yùn)用，而初中階段偏重于培養(yǎng)學(xué)生的“模型觀念”。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)研究的主要方法之一，建模思維是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思維之一。一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模過程，就是從數(shù)學(xué)的角度觀察具體情境中的現(xiàn)象、提出具體問題，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想解釋現(xiàn)象、構(gòu)建模式，然后再處理具體現(xiàn)象，最后用數(shù)學(xué)語言加以表述。

“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”是蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊第四單元“分?jǐn)?shù)除法”的起始課。運(yùn)算課要處理好算理和算法的關(guān)系。算理解決為什么這樣算的問題，算法解決怎樣算的問題。只有在理解算理的基礎(chǔ)上得出算法，繼而優(yōu)化算法，熟練算法，才是計(jì)算教學(xué)的基本路徑，也是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算課模型意識的需要。

片段一：任務(wù)驅(qū)動，運(yùn)用模型解決問題

課件出示：說一說數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式。

（1）量杯里裝有800 毫升果汁，平均分給2 個(gè)學(xué)生，問每個(gè)學(xué)生飲用了多少毫升果汁？

（2）量杯里裝有0.4 升果汁，平均分給2 個(gè)學(xué)生，問每個(gè)學(xué)生飲用了多少升果汁？

師：請同學(xué)們先說一說，再完成學(xué)習(xí)單。

生1：我選第（1）題，總毫升數(shù)÷學(xué)生數(shù)=每個(gè)學(xué)生飲用的毫升數(shù)，算式是800÷2=400（毫升）。

生2：我選第（2）題，總升數(shù)÷學(xué)生數(shù)=每個(gè)學(xué)生飲用的升數(shù)，算式是0.4÷2=0.2（升）。

生3：我選第（3）題，總升數(shù)÷學(xué)生數(shù)=每個(gè)學(xué)生飲用的升數(shù)，算式是。

師：這三題有什么相同點(diǎn)？

生1：數(shù)量關(guān)系都是相同的，都是把總數(shù)平均分成兩份，求每份是多少。

生2：如果將一整數(shù)或小數(shù)平均分為多份，求每份是多少，應(yīng)該用除法求解。

【思考】教師精心設(shè)計(jì)一個(gè)“分果汁”的大問題情境，將整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)和分?jǐn)?shù)除以整數(shù)融入教學(xué)素材中，目的是改變學(xué)生被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，促使學(xué)生積極調(diào)動已有的知識儲備來解決問題，并主動進(jìn)行知識關(guān)聯(lián)，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)。這3 個(gè)問題的解決都運(yùn)用了“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”這一數(shù)量關(guān)系模型，問題（1）（2）無論是數(shù)量關(guān)系還是算法都是學(xué)生已經(jīng)掌握的，將問題（3）納入學(xué)生熟悉的問題情境與數(shù)量關(guān)系的模型中，將舊知識與新知識、舊經(jīng)驗(yàn)與新經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，借助已有經(jīng)驗(yàn)解決新問題的這一過程其實(shí)就是運(yùn)用已有模型解決問題的過程，并且將已有模型由整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，以后還會擴(kuò)展到整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以整數(shù)。這一片段的設(shè)計(jì)能促進(jìn)學(xué)生思維方式、知識結(jié)構(gòu)和情感態(tài)度價(jià)值觀的相互作用，使學(xué)生建構(gòu)有結(jié)構(gòu)的、發(fā)展的認(rèn)知系統(tǒng)，并體會到模型的價(jià)值。

片段二：圖形結(jié)合，形成算法感悟模型

各小組匯報(bào)。

小組3：結(jié)合圖1，橫著分，利用整數(shù)除法的意義，可以理解為把升平均分成2 份，就是把4 個(gè)（計(jì)數(shù)單位）平均分成2 份，每份有2 個(gè)，就是。

圖1

小組4：結(jié)合圖2，豎著分，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)擴(kuò)大2 倍，，分?jǐn)?shù)單位是，把8 個(gè)平均分成2 份，每份有4 個(gè)，就是。

圖2

師：從這兩組同學(xué)的發(fā)言中，我們不難發(fā)現(xiàn)，除法計(jì)算就是把計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分。

師：同學(xué)們的算法真多，你們分別是怎樣算的呢？生交流。

師（小結(jié)）：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，可以轉(zhuǎn)化成我們曾經(jīng)學(xué)過的整數(shù)除法或小數(shù)除法；可以用分子除以整數(shù)作分子，分母固定不變；可以將除以某個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【思考】自主探索是學(xué)生感悟的基礎(chǔ)。針對小學(xué)生的思維特性，教師可以采取手腦并用、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略，有意識地把“圖”和“式”對照起來并加以分析與講解，有助于學(xué)生建立圖像語言與數(shù)學(xué)語言之間的緊密聯(lián)系，從而有效降低難度。教學(xué)中，教師放手讓學(xué)生自主探索計(jì)算方法，再引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)解釋自己的思考過程，學(xué)生由具體情境中的數(shù)量過渡到從計(jì)數(shù)單位的層面認(rèn)識和解決分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，感受到分?jǐn)?shù)除法也是像整數(shù)除法、小數(shù)除法一樣將計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分?？梢?，學(xué)生的思維從具體逐步走向抽象。學(xué)生因?yàn)榻?jīng)歷了充分的探究，所以能產(chǎn)生多種計(jì)算方法，多種計(jì)算方法的交流也能使學(xué)生充分感受到遷移轉(zhuǎn)化的思想。

片段三：異中求同，優(yōu)化算法建構(gòu)模型

層次一：自由選擇算法

師：請同學(xué)們在作業(yè)單上獨(dú)立計(jì)算。

展示算法：

師：剛才，同學(xué)們有三種不同的算法，上面的每一道題都可以有三種不同的算法嗎？請同學(xué)們先小組討論。

生交流。

小組5：我們發(fā)現(xiàn)有些方法并不是對所有的題都有用，但是轉(zhuǎn)化成乘整數(shù)倒數(shù)的方法對這四道題都有用?！?/p>

層次二：選擇合適的算法

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，都能轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)嗎？嘗試用這種方法計(jì)算以下各題。

呈現(xiàn)算法：

生交流。

生1：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)除以整數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這6 道題和前面的幾道題都可以。

生2：我想知道這個(gè)n 可以表示什么數(shù)？

生3：可以表示任何數(shù)。

生4：我認(rèn)為n 不能表示任何數(shù)，0 就不可以，0 不能作除數(shù)，也不能作分母。

生5：n 可以表示除0 外的任何數(shù)。

生6：分?jǐn)?shù)除以一個(gè)數(shù)（0 除外）一般都可以用分?jǐn)?shù)乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來計(jì)算。

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0 除外）通?？赊D(zhuǎn)換為乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，也就是說分?jǐn)?shù)除以某個(gè)數(shù)相當(dāng)于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【思考】運(yùn)算訓(xùn)練是數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生掌握基本知識、基本技能和提高能力的重要手段。數(shù)學(xué)運(yùn)算既然是一種技能，就需要學(xué)生在不斷的練習(xí)中鞏固，并掌握一定的計(jì)算技巧，從而提高計(jì)算的速度和正確率。層次一，讓學(xué)生自由選擇算法，明確分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)只能適用于具體情境中，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)和“用分子除以整數(shù)作分子，分母不變”這兩種方法也有局限，如這題就不適用。通過交流對比，學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)都可轉(zhuǎn)換成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來運(yùn)算；層次二，用層次一中習(xí)得的一般算法進(jìn)行訓(xùn)練，特別是這一題組的練習(xí)，把許多最簡單的一般方法，逐步上升到一類型題的計(jì)算，并從不同的算式中找尋到一般方法：將分?jǐn)?shù)除以一個(gè)數(shù)，和乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)建立聯(lián)系。這是學(xué)生在大量的計(jì)算及不斷的思考中，逐步形成的數(shù)學(xué)運(yùn)算模型。

片段四：多維溝通，算法關(guān)聯(lián)完善模型

（一）溝通聯(lián)系，推廣算理

出示：填一填，說說你有什么發(fā)現(xiàn)。

生回答：

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：整數(shù)除以整數(shù)，小數(shù)除以整數(shù)也都可轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來運(yùn)算。

師：不管是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0 除外），都相當(dāng)于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

（二）溝通對比，完善結(jié)構(gòu)

出示：算一算，比一比。

師：獨(dú)立思考，同桌驗(yàn)證。

師：說一說在計(jì)算時(shí)，你有什么要提醒大家的？

生：在計(jì)算時(shí)，一定要看清運(yùn)算符號，千萬不要把分?jǐn)?shù)乘整數(shù)也轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

（三）聯(lián)系生活，縱向延伸

師：你能提一個(gè)問題并解答嗎？

生1：我的問題是，這架客機(jī)平均1 秒鐘飛行多少千米？

生2：我的問題是，平均每千米需要飛行多少秒？

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，那么整數(shù)除以分?jǐn)?shù)又該怎么計(jì)算呢？下節(jié)課我們接著學(xué)習(xí)。

【思考】對比溝通是一種判斷不同事物或事件存在的差異的數(shù)學(xué)思考方式，教師要注意運(yùn)用對比式題組，讓學(xué)生不斷加深對計(jì)算方法的認(rèn)識，感受內(nèi)在關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)一些計(jì)算的一般方法，從而提高靈活選擇計(jì)算方法的能力。，800÷2=800×（ ）=（ ），0.4÷2=0.4×（ ）=（ ），以這三題呼應(yīng)開頭，橫向比較，通過觀察思考三種運(yùn)算方法的共性，可以找到關(guān)于整數(shù)除法、小數(shù)除法，還有分?jǐn)?shù)除法的算理與方法上的共同點(diǎn)。后面幾組題目，主要是分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法的縱向比較，明確乘除法計(jì)算的異同，打通乘除法之間的關(guān)系。分?jǐn)?shù)除法計(jì)算包含本節(jié)課學(xué)到的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，以及下節(jié)課要學(xué)到的整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，最后兩題的設(shè)置，意在幫助學(xué)生深入了解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的概念，掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算模型，提升他們對整數(shù)除以分?jǐn)?shù)算法遷移的探究能力。