運(yùn)用“解直角三角形”知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題的三種類型

陳永安

解直角三角形在實(shí)際生活問(wèn)題中的應(yīng)用十分廣泛，主要應(yīng)用于測(cè)量距離、度量尺寸、測(cè)高或測(cè)角等方面.解答這類應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟是：（1）弄清題中名詞術(shù)語(yǔ)的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形；（3）尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個(gè)三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解.本文就三類解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題舉例說(shuō)明.

一、仰角與俯角問(wèn)題

初中階段的“俯角與仰角”問(wèn)題主要是測(cè)量問(wèn)題，如圖1，其中的仰角是指從下向上看時(shí)，水平線與視線的夾角；俯角是指視線從上往下看時(shí)，水平線與視線的夾角.在空間導(dǎo)航、航空航天、地理測(cè)量等領(lǐng)域中，仰角和俯角的應(yīng)用非常廣泛.解答此類問(wèn)題時(shí)往往要用到解直角三角形的知識(shí)點(diǎn)與“轉(zhuǎn)化”思想.

例1

解：

點(diǎn)評(píng)：解答仰角俯角問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形.當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形.同時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．

二、方向角問(wèn)題

方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向，旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角，一般表示為北（或南）偏東（或西）多少度，可借助十字坐標(biāo)幫助理解，如圖4.在實(shí)際生活中，方位角可以用來(lái)確定物體的位置；在示意圖中，通過(guò)方位角確定幾個(gè)物體的位置后，可以量出它們之間的距離，進(jìn)而算出物體之間的實(shí)際距離.在解答有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系.有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，就需要用到等角轉(zhuǎn)化為所需要的角．

例2

解：

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方向角問(wèn)題以及勾股定理.解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)的定義來(lái)解決問(wèn)題.

三、坡度、坡角問(wèn)題

坡度、坡角問(wèn)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：①坡角，如圖7，坡角指坡面與水平面的夾角，記作 α.②坡度，坡面的鉛垂高度 h 與水平長(zhǎng)度 l 的比，是坡面的坡度，記作 i ，即 i = h l ，一般情況下坡度要寫成 1：n 的形式，如 1：2.③坡度與坡角的關(guān)系為：坡度是坡角的正切值，即 i = h l = tan α . 坡度和坡角是兩個(gè)相關(guān)概念.坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡，因此常被用來(lái)衡量地勢(shì)的陡峭程度、山坡的高度以及河流的坡度.

例3

解：

點(diǎn)評(píng)：掌握坡度的概念和銳角三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．