特殊與一般思想“特”解選填題

冼虹雁

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.那么解題的思想方法就是數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)家波利亞把一般化、特殊化及類比并列稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”.這里的“一般化”和“特殊化”就是數(shù)學(xué)的特殊與一般思想.特殊與一般的辯證思想往往貫穿于整個(gè)解題過(guò)程之中，一般問(wèn)題特殊化（具體化）能使我們把問(wèn)題認(rèn)識(shí)得更加全面，而將特殊問(wèn)題一般化（抽象化）則能使我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題更加深刻.一般寓于特殊之中.一般成立，其特殊也會(huì)成立；特殊不成立，其一般也不會(huì)成立.因此，當(dāng)選填題的結(jié)論或題設(shè)中的信息暗示答案是一個(gè)定值（或范圍）時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形的特殊位置、特殊點(diǎn)等）進(jìn)行準(zhǔn)確、快速地解答，真正實(shí)現(xiàn)小題不大做.本文結(jié)合一些典型高考題和模擬題，試圖在特殊與一般思想解選填題的“特”上，做一番剖析．

一、特殊值

例1. （2023·安徽六校教育研究會(huì)高三年級(jí)入學(xué)測(cè)試·7）已知向量 ， 的夾角為60°的單位向量，若對(duì)任意的x 1·x 2∈（m，+∞），且x 1 ?- ?，則m的取值范圍是（ ?）

A .［ e 2，+∞）

B .［ e ，+∞）

C . ?1 ?e ?，+∞

D . ?1 ?e ?， e

方法1： ?因?yàn)?· = ?｜·｜ ?· cos ?60°=1×1× 1 2 = 1 2 ，

所以 ?· ?= （ · ）2 = ?2-2 · + 2 =1．

因?yàn)閷?duì)任意的x 1·x 2∈（m，+∞），且x 11，

則x 1 ln x 2-x 2 ln x 1

所以 ?ln x 2 x 2 - ?ln x 1 x 1 < 1 x 2 - 1 x 1 ，即 ?ln x 2-1 x 2 < ?ln x 1-1 x 1 ，

設(shè)f（x）= ?ln x-1 x ，即f（x）在（m，+∞）上單調(diào)遞減.

又x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）= 2- ln x x2 =0，解得x= e 2，

所以x∈（0， e 2），f′（x）>0，f（x）x∈（0， e 2）上單調(diào)遞增；x∈（ e 2，+∞），f′（x）<0，f（x）在x∈（ e 2，+∞）上單調(diào)遞減，所以m≥ e 2.故選 A ．

方法2： 因?yàn)閷?duì)任意的x 1、x 2∈（m，+∞），且x 11，

當(dāng)m= 1 ?e ?時(shí)，不妨設(shè)x 1=1，x 2= e ，即 1· lne-eln 1 1- e ?<1，排除 C、D ；

當(dāng)m= e 時(shí)，不妨設(shè)x 1=3，x 2=4，

即 3 ln 4-4 ln 3 3-4 =4 ln 3-3 ln4=ln 34- ln 43= ln ?34 43 <1，排除 B.故選A ．

點(diǎn)評(píng)： 方法1通過(guò)整理不等式，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，可得答案.難點(diǎn)是將不等式轉(zhuǎn)化為兩邊有相同結(jié)構(gòu)的“同構(gòu)”式，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)得到：當(dāng)x 1

例2. ?（2023·大灣區(qū)第一次聯(lián)考·8）設(shè)數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和為S n， a 1=1，且2S n=a n+1-1 （n∈ N *）. 若對(duì)任意的正整數(shù)n， 都有a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1成

立，則滿足等式b 1+b 2+b 3+…+b n=a n的所有正整數(shù)n為 ?（ ?）

A. 1或3

B .2或3

C .1或4

D .2或4

方法1： 由2S n=a n+1-1①，所以2a 1=a 2-1 ，a 2=3．

又2S n-1=a n-1 ②，①－②得2a n=a n+1-a n， a n+1 a n =3（n≥2），且 a 2 a 1 =3，

所以數(shù)列{a n}為首項(xiàng)是1，公比是3的等比數(shù)列，所以a n=3n-1．

由a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1，

得b n+31b n-1+32b n-2+…+3n-1b 1=3n-n-1……③

則b n+1+31b n+32b n-1+…+3nb 1=3n+1-n-2……④

④-③×3，得b n+1=2n+1．

又b 1+b 2+b 3+…+b n=a n得b 1=a 1=1，所以b n=2n-1，n2=3n-1．

令f（n）= n2 3n-1 ，則有f（n）=1，又f（1）=1，f（2）= 4 3 ，f（3）=1，

當(dāng)n≥3時(shí)f（n+1）-f（n）= （n+1）2 3n - n2 3n-1 = 2n（1-n）+1 3n <0，

所以當(dāng)n≥4時(shí)f（n）

方法2： 由a 1=1且2S n=a n+1-1，易知a 1=1，a 2=3，a 3=9.再由a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1，不難得到b 1=1，b 2=3，b 3=5.因?yàn)閎 1=a 1，b 1+b 2+b 3=a 3，所以n=1或n=3．

點(diǎn)評(píng)： ?方法1通過(guò)求數(shù)列{a n}、｛b n｝的通項(xiàng)公式并求和，雖然在討論方程n2=3n-1的整數(shù)解的時(shí)候可以代入選項(xiàng)檢驗(yàn)，但對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的要求較高，且耗時(shí)費(fèi)力.若有“遇到困難找特殊”的解題意識(shí)，從特殊值入手，則可使問(wèn)題峰回路轉(zhuǎn)，快速獲解.尤其是在做單選題時(shí)，可參考選項(xiàng)，將特殊值法和排除法結(jié)合起來(lái)排除一些選項(xiàng)，余下的一個(gè)即為正確答案．

二、特殊角

例3. （2022·全國(guó)Ⅱ卷·6）若 sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 ?cos ??α+ ?π ?4 ??sin ?β，則（ ?）

A . tan （α-β）=1

B . tan （α+β）=1

C . ?tan （α-β）=-1

D . tan （α+β）=-1

方法1： 由

sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 ?cos ??α+ ?π ?4 ??sin ?β得：

sin ?α cos ?β+ cos ?α sin ?β+ cos ?α cos ?β-

sin ?α sin ?β=2（ cos ?α- sin ?α） sin ?β，

即 sin ?α cos ?β- cos ?α cos ?β+ cos ?α cos ?β+ sin ?α sin ?β=0，

即 sin （α-β）+ cos （α-β）=0，所以 tan （α-β）=-1.故選 C ．

方法2： 取β=0，得 sin ?α+ cos ?α=0，此時(shí) tan （α+β）= tan （α-β）= tan ?α=-1，排除 A、B ；

取α=0，得 sin ?β= cos ?β，此時(shí) tan （α+β）=1， tan （α-β）=-1，排除 D .故選 C ．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角函數(shù)的恒等變形，而運(yùn)用特殊角檢驗(yàn)，避免了繁瑣的恒等變形.若題中涉及求字母的值或范圍，但結(jié)論又不受字母取值的影響，此時(shí)通過(guò)觀察字母數(shù)據(jù)的特殊性，取特殊值求解，可達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算、快速求解的目的．

三、特殊圖形

例4. （2023·河南省平許濟(jì)洛高三第二次質(zhì)量檢測(cè)·10）在

△ABC中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AF =2FB ，BE與CF交于點(diǎn)P，且滿足BP =λBE ，則λ的值為（ ??）

A. ?1 3

B. ?1 2

C. ?2 3

D. ?3 4

方法1： 如圖，因?yàn)辄c(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AF =2FB ，

由AP =AB +BP =AB +λBE =AB+ λ（AE -AB ）=（1-λ）AB +λAE = 3（1-λ） 2 AF + λ 2 AC

，因?yàn)镕，P，C三點(diǎn)共線，所以 3（1-λ） 2 + λ 2 = 3-2λ 2 =1，解得λ= 1 2 .故選 B ．

方法2： 如圖，構(gòu)造等腰直角△ABC并建系，易知BE，CF所在直線分別為y=x和y=- 1 3 x+2，聯(lián)立得P ?3 2 ， 3 2 ?，故BP = 1 2 BE ，所以 λ= 1 2 ?．

點(diǎn)評(píng)： 方法1是結(jié)合平面向量的基底法，看似簡(jiǎn)捷，實(shí)際上有一定的難度：不僅要熟練掌握向量的運(yùn)算，還要找準(zhǔn)解題方向——將條件BP =λBE 向AP =xAF +yAC 的形式靠攏，再利用三點(diǎn)共線x+y=1的性質(zhì)解題，不易操作.方法2有三個(gè)亮點(diǎn)——不僅把△ABC “特”成直角三角形，還“得寸進(jìn)尺”的“特”成了等腰直角三角形，并建系.通過(guò)特殊圖形的構(gòu)造——直角三角形（平行四邊形可以構(gòu)造矩形，甚至正方形），既可以巧妙借助直角三角形的性質(zhì)以及三角形相似等幾何知識(shí)來(lái)解決，還能引入平面直角坐標(biāo)系，從而使向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，運(yùn)算起來(lái)更為快捷方便，而且不失一般性，提高解題效益．

四、特殊數(shù)列

例5. （2023·吉林省吉林市高三第二次調(diào)研·5）已知｛a n｝是等比數(shù)列，下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是 （ ??）

A .{ka n}（k ∈ R }

B .{a n+a n+1}

C .{a n+1}

D .{a n+a ?n+1+a n+2}

方法1： 設(shè)等比數(shù)列｛a n｝的公比為q，

當(dāng)k=0時(shí)，ka n=0，數(shù)列{ka n}不是等比數(shù)列；

當(dāng)q=-1時(shí)，a n+a a+1=0，數(shù)列{a n+a n+1}不是等比數(shù)列；

當(dāng)時(shí)a n=-1，a n+1=0，數(shù)列{a n+1}不是等比數(shù)列；

因?yàn)?a n+1+a n+2+a n+3 a n+a n+1+a n+2 = （a n+a n+1+a n+2）q a n+a n+1+a n+2 =q，由等比數(shù)列的定義可知：

數(shù)列{a n+a n+1+a n+2}是等比數(shù)列，故選 D ．

方法2： 當(dāng)k=0時(shí)，顯然 A 錯(cuò).假設(shè)數(shù)列1，2，4，8，…，代入選項(xiàng)檢驗(yàn)，易得答案 D ．

點(diǎn)評(píng)： 在破解某些數(shù)列客觀題時(shí)，經(jīng)?？梢越柚厥鈹?shù)列（比如常數(shù)列、較為簡(jiǎn)單的具體數(shù)列等）的引入，化抽象為具體，直接利用特殊數(shù)列的通項(xiàng)、求和及相關(guān)性質(zhì)來(lái)處理一般性的數(shù)列問(wèn)題，從而回避一些抽象數(shù)列的計(jì)算、證明等問(wèn)題，有效淡化過(guò)程，簡(jiǎn)化程序．

五、特殊函數(shù)

例6. （2023·百師聯(lián)盟高三一輪聯(lián)考·12·多選題）已知f（x）是定義在 R 上的函數(shù)，且滿足f（3x-2）為偶函數(shù)，f（2x-1）為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是 （ ?）

A .函數(shù)f（x）的周期為2

B .函數(shù)f（x）的周期為4

C .函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）中心對(duì)稱

D .f（2023）=0

方法1： 因?yàn)閒（3x-2）為偶函數(shù)，所以f（3x-2）=f（-3x-2），

所以f（x-2）=f（-x-2），則f（x）=f（-x-4），

所以函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，

因?yàn)閒（2x-1）為奇函數(shù)，所以f（2x-1）=-f（-2x-1），

所以f（x-1）=-f（-x-1），

所以f（x）=-f（-x-2），所以函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）中心對(duì)稱，故 C 正確，

由f（x）=f（-x-4）與f（x）=-f（-x-2）得f（-x-4）=-f（-x-2），

即f（x-4）=-f（x-2），

故f（x-4）=f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為4，故 A不正確，B 正確；

f（2023）=f（506×4-1）=f（-1）=0，故 D正確.故選BCD ．

方法2： 由f（3x-2）為偶函數(shù)知f（x-2）也為偶函數(shù)，

又f（x） 向右平移2個(gè)單位 f（x-2），易知f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，

由f（2x-1）為奇函數(shù)知f（x-1）也為奇函數(shù)，

又f（x） 向右平移1個(gè)單位 f（x-1），易知f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，

設(shè)f（x）= cos ??π ?2 x，易知 BCD 正確．

點(diǎn)評(píng)： ?本題以抽象函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)邏輯思維能力要求較高.方法1通過(guò)賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，是該題的通性通法，不僅轉(zhuǎn)化難度較高，還要求考生較熟練掌握關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性、周期性的常見題型和結(jié)論.比如有：（1）若f（x）圖像關(guān)于直線x=α對(duì)稱，則f（a+x）=f（a-x）或f（2a-x）=f（x）；（2）若f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，則f（a+x）+f（a-x）=2b或f（2a-x）+f（x）=2b；（3）若函數(shù)f（x）圖像有對(duì)稱軸直線x=a和直線x=b，則周期T=2 b-a ；（4）若函數(shù)f（x）圖像有對(duì)稱中心（a，0）和（b，0），則周期T=4 b-a .（5）若函數(shù)f（x）圖像有對(duì)稱軸直線x=a和對(duì)稱中心（b，0），則周期T=4 b-a ．

方法2中，因?yàn)閮H橫坐標(biāo)的伸縮并不影響圖像的對(duì)稱性，所以將題設(shè)轉(zhuǎn)化為f（x-2）為偶函數(shù)，f（x-1）為奇函數(shù)，再結(jié)合圖像變換，巧妙、直觀的得到f（x）的性質(zhì)，避免了抽象函數(shù)的反復(fù)賦值，最后構(gòu)造特殊函數(shù)，驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)選取簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)，如果該函數(shù)既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心，不妨考慮下正弦（或余弦）型函數(shù)是否符合．

“退一步海闊天空.”華羅庚曾告訴我們：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”這就是以退求進(jìn)的思想.通過(guò)上述實(shí)例的解析，容易看出巧用特殊解答計(jì)算型選擇題省時(shí)、省力，很容易快速、簡(jiǎn)捷獲解，可以收到事半功倍的效果.因此，大家應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，大膽搞“特殊”，往往可以達(dá)到“小題小做”或“小題巧做”的目的，節(jié)約時(shí)間，提高效率．

責(zé)任編輯 ??徐國(guó)堅(jiān)