數(shù)學(xué)文化視角下的高中數(shù)學(xué)試題命題探究

陳國林

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，一直以來由于其抽象性使得在大多數(shù)學(xué)校的教學(xué)活動中多以理論知識的傳授為主，這樣的教學(xué)方式一方面難以激起學(xué)生的興趣，另一方面也忽略了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值，將會導(dǎo)致“學(xué)用分離”的局面.詩歌作為一種抒情言志的文學(xué)體裁能夠生動形象的反映社會生活.將詩歌文化及其數(shù)學(xué)藝術(shù)融入到課堂之中，不僅能夠給課堂教學(xué)注入新的能量，還能夠?qū)崿F(xiàn)文化自信.

近年來以數(shù)學(xué)文化為命題素材，以詩歌文化為命題導(dǎo)向的問題在數(shù)學(xué)中多有體現(xiàn)，我們主要以數(shù)學(xué)文化為命題背景，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化在中學(xué)試題中的命題方向，進(jìn)而促進(jìn)考生更好地理解數(shù)學(xué)文化命題的方向.

一、詩歌引領(lǐng)，問題導(dǎo)向

【例1】 “橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”一座山峰總是高低起伏不同，已知某山峰可以近似的用函數(shù)f（x）=（x2+2x）（x2－6x+8）來表示，則f（x）的最小值為 ???????.

【解析】 因?yàn)閒（x）=（x2+2x）（x2－6x+8），

所以f′（x）=（2x+2）（x2－6x+8）+（x2+2x）（2x－6）=3（x3－3x2－2x+4）=4（x－1）（x－1－ 5 ）（x－1+ 5 ），

當(dāng)x<1－ 5 或1

當(dāng)x>1+ 5 時，f′（x）>0，

所以f（x） ?min =f（1+ 5 ）=f（1－ 5 ）=－16.

【點(diǎn)評】 詩歌文化與數(shù)學(xué)試題的融合給人以美感，詩歌作為一種文學(xué)體裁和數(shù)學(xué)的交融讓數(shù)學(xué)變得更加有趣，有力，有味.

二、素材背景，強(qiáng)化應(yīng)用

【例2】 如圖所示是迪拜的一個雙曲線的建筑，該建筑外形酷似一條雙曲線，若記該雙曲線 x2 a2 － y2 b2 =1（a>0，b>0）的離心率為e，左焦點(diǎn)為F（－c，0），已知A，B是雙曲線兩條漸近線上的兩點(diǎn)，且有k AB=k AF=1，M為AB的中點(diǎn)，如果 FM =c，則e2= ??????.

【解析】 設(shè)雙曲線 x2 a － y2 b2 =1的漸近線方程為y=± b a x，直線AB的方程為y=x+c，

聯(lián)立方程 ?y= b a x，y=x+c， ?解得 ?x= ac b－a ，y= bc b－a .

同理，聯(lián)立方程 ?y=－ b a x，y=x+c， ?解得 ?x= ac －b－a ，y= －bc －b－a ，

不妨令A(yù) ?ac b－a ， bc b－a ?，B ?ac －b－a ， －bc －b－a ?，

因此可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M ?a2c b2－a2 ， b2c b2－a2 ?，

故有 FM = ??a2c b2－a2 +c 2+ ?b2c b2－a2 ?2 = ?2 b2c ?b2－a2 ?=c，即 2 b2c=c b2－a2 ，

因?yàn)閏≠0，所以 2 b2= b2－a2 ，所以 2 b2=b2－a2（矛盾，舍去）或 2 b2=a2－b2，

所以a2= 1+ 2 ?b2.

所以b2= ?2 －1 a2，所以c2=a2+b2= 2 a2，因此可得e2= c2 a2 = 2 .

【點(diǎn)評】 以建筑、雕塑外形為背景得數(shù)學(xué)命題，是比較常見得一種命題模式，它能夠有力得展現(xiàn)出數(shù)學(xué)之美在實(shí)際生活中得應(yīng)用，當(dāng)然，我們對于這類問題不能拘泥于“外形”的命題，還應(yīng)注重“內(nèi)在”的展現(xiàn)，例如：斷臂維納斯結(jié)合黃金分割比例相互結(jié)合的命題.

三、五育并舉，德育先行

【例3】 杭州某高校為迎接2023浙江杭州亞運(yùn)會，決定選派一批志愿者參與志愿服務(wù)，計(jì)劃首次先選派1名志愿者，然后每次增加1人，后因?qū)W生報(bào)名積極，學(xué)校決定改變派遣計(jì)劃，若將原計(jì)劃派遣的各批次人數(shù)看成數(shù)列 a n ，保持?jǐn)?shù)列 a n 中各項(xiàng)先后順序不變的情況下，在a k與a k+1（k=1，2，…）之間插入2k，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列 b n ，

按照新數(shù)列 b n 的各項(xiàng)依次派遣學(xué)生，則前20批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為（ ?）

A .2091

B .2101

C .2110

D .2112

【解析】 因?yàn)閍 n=1+（n－1）×1=n，由于在a k與a k+1（k=1，2，…）之間插入2k，

所以在數(shù)列 b n 中有10項(xiàng)來自 a n ，10項(xiàng)來自 2n ，

所以S 20= 1+10 2 ×10+ 2（1－210） 1－2 =2101.

【點(diǎn)評】 該題命題角度新穎獨(dú)特，以常規(guī)的數(shù)列問題為命題素材，以不一樣的設(shè)計(jì)形式為制高點(diǎn)，結(jié)合服務(wù)意識為命題選材，較好地對考生的思維能力進(jìn)行了檢測.

四、數(shù)學(xué)建模，解答問題

【例4】 隨著城市化的進(jìn)程，道路交通壓力一直是困擾人們出行的重要課題，為了對道路通行能力N進(jìn)行研究，可通過N= 1000v c 1v+c 2v2+d 0 來估計(jì)，其中v表示車速，c 1表示司機(jī)反應(yīng)時間，c 2表示比例系數(shù)，d 0表示車身的標(biāo)準(zhǔn)長度與兩車之間的安全距離之和，則N的最大值為（ ?）

A . 1000 c 1+2 c 2d 0

B . 1000 c 1+2 ?c 2 d 0

C . 500 c 1+ c 2d 0

D . 1000 c 1+ 2 c 2d 0

【解析】 因?yàn)镹= 1000v c 1v+c 2v2+d 0 ，所以N= 1000 c 1+c 2v+ d 0 v ?，當(dāng)v= ?d 0 c 2 ?時，N的最大值為N ?max = 1000 c 1+2 c 2d 0 ?.

【點(diǎn)評】 該試題選材來自于實(shí)際生活，以同學(xué)們熟悉的交通問題為命題背景，給出了道路通行能力的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)服務(wù)生活的理念.

五、陽光體育，健康成長

【例5】 2023年全國“行走大運(yùn)河”全民健身健步走活動啟動在即，已知某非大運(yùn)河沿線省份因地制宜，開展了“每天健步1小時”活動，若報(bào)名參與者參加鍛煉的天數(shù)X服從正態(tài)分布N（149，612），已知此次參與該活動的人數(shù)共有3000人，則堅(jiān)持參與“每天健步1小時”活動超過21天的人數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：P（μ－σ≤X≤μ+σ）=06827；P（μ－2σ≤X≤μ+2σ）=09545；P（μ－3σ≤X≤μ+3σ）=09973）（ ?）

A .450

B .465

C .470

D .476

【解析】 因?yàn)镻（μ－σ≤X≤μ+σ）=06827，

所以P（X>21）=P（X>149+61）= 1-06827 2 =015865，

所以3000×015865=47595≈476人.

【點(diǎn)評】 以球類運(yùn)動和身體健康為背景的數(shù)學(xué)問題是高考較為喜愛選取的命題素材之一，該類試題多考查概率統(tǒng)計(jì)問題，類型多以比賽規(guī)則的設(shè)計(jì)考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望為主，對于牽涉到的連續(xù)型隨機(jī)變量問題則會考查正態(tài)分布問題.

結(jié)語： 我國擁有上下五千年的歷史，創(chuàng)造出了許許多多的科學(xué)和技術(shù)成就.在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，曾多次出現(xiàn)百家爭鳴，思想活躍的時期，例如：我國古代的數(shù)學(xué)泰斗劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù).

數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)試題的完美融合能夠滲透理性思維，構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理能力，數(shù)學(xué)以詩歌文化為命題背景，能夠有效地幫助學(xué)生理解相關(guān)概念，例如在王安石的《梅花》一詩中就可以結(jié)合邏輯用語從數(shù)學(xué)的角度來看，“潔白”是“雪”的必要不充分條件.在高考試題中也曾出現(xiàn)以詩歌遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增.共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈的命題素材，這類素材的運(yùn)用，給數(shù)學(xué)問題增加了很多的人文素材.這樣的設(shè)計(jì)不在只是把數(shù)學(xué)孤立出來，而更多的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美育和應(yīng)用功能.數(shù)學(xué)是浪漫的，是有色彩的，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是具有文化氣息的.

跟蹤練習(xí)：

2022年世界杯在卡塔爾舉行，此次世界杯的會徽蘊(yùn)含了許多的數(shù)字元素，其對應(yīng)的主視圖酷似為伯努利雙紐線.具體定義為：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)F 1 －a，0 F 2 a，0 的距離之積等于a2 a>0 的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線C.若P x 0，y 0 是雙紐線C上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ?）

A ．雙紐線C是中心對稱圖形

B ．－ a 2

C ．雙曲線C上滿足 PF 1 = PF 2 的點(diǎn)P有兩個

D ． OP 的最大值為2a

【解析】 由雙紐線的定義可知， ?x+a 2+y2 × ?x－a 2+y2 =a2，

將 －x，－y 替換方程中的 x，y ，方程不變，故雙紐線C是中心對稱圖形.

根據(jù)等面積法得 1 2 ?PF 1 · PF 2 · sin ∠F 1PF 2= 1 2 ?F 1F 2 · y 0 ，

則 y 0 = a 2 · sin ∠F 1PF 2，

所以－ a 2 ≤y 0≤ a 2 .

令x=0，得 a2+y2 × a2+y2 =a2，

解得y=0，所以雙曲線C上滿足 PF 1 = PF 2 的點(diǎn)P有一個.

由于PO = 1 2 ?PF 1 +PF 2 ?，故PO 2= 1 4 ??PF 1 ?2+2 PF 1 ?· PF 2 ?· cos ∠F 1PF 2+ PF 2 ?2 ，

根據(jù)余弦定理有4a2= PF 1 ?2+ PF 2 ?2－2 PF 1 ?· PF 2 ?· cos ∠F 1PF 2，

故PO 2=a2+ PF 1 ?· PF 2 ?· cos ∠F 1PF 2=a2+a2· cos ∠F 1PF≤2a2，

即 PO ?的最大值為 2 a.

（基金項(xiàng)目：贛東學(xué)院教改項(xiàng)目）

責(zé)任編輯 ?徐國堅(jiān)