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    借數(shù)學探究 展數(shù)學之奇

    2023-07-30 11:48:25鄭凌
    數(shù)學教學通訊·小學版 2023年6期
    關(guān)鍵詞:思維品質(zhì)學習能力探究

    [摘? 要] 為了改變學生“知其然而不知所以然”的現(xiàn)狀,教師應多引導學生進行多層次探究,并在探究中學會發(fā)現(xiàn)、學會分析、學會抽象,讓學生獲得更為廣泛的數(shù)學學習經(jīng)驗,以此提升學生的數(shù)學學習能力,提高學生的思維品質(zhì),促進學生的綜合學力全面提升。

    [關(guān)鍵詞] 探究;學習能力;思維品質(zhì)

    在小學數(shù)學教學中,因一些教師對小學生分析能力、推理能力、合作意識等方面存在著片面認識,使得數(shù)學課堂延續(xù)著傳統(tǒng)的“師講生聽”的教學模式。這些教師將解題方法、解題經(jīng)驗通過“強灌”的方式講授給學生,很少帶領(lǐng)學生經(jīng)歷知識發(fā)生和發(fā)展的過程,致使學生對知識的理解常常是“知其然而不知所以然”,解題時依賴機械式的模仿和套用,限制了學生思維能力的發(fā)展,影響了學生自主學習能力的提升。例如教學“3的倍數(shù)”時,部分教師直接將“3的倍數(shù)的特征”講授給學生,讓學生熟背,然后加上相應的練習幫助學生進行鞏固和強化。這樣雖然能夠很快地找到3的倍數(shù),但是因為分析過程的缺失,學生難以形成深刻的印象,使其容易遺忘,進而影響后期的應用。因此,教學中教師有必要改變傳統(tǒng)的教學方式,帶領(lǐng)學生經(jīng)歷探索的過程,讓學生真正理解并掌握3的倍數(shù)的特征,并能將知識與方法遷移至其他數(shù)的倍數(shù)特征的探究中去,以此提升學生發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力。

    現(xiàn)筆者以“3的倍數(shù)的特征”教學為例,以學生已有知識和已有經(jīng)驗為出發(fā)點,展示3的倍數(shù)的特征的探索方法及過程,以期借助過程發(fā)展學生的抽象思維,提高學生的數(shù)學推理能力,進而提升學生的核心素養(yǎng)。

    一、教學過程

    1. 創(chuàng)設陷阱,引發(fā)沖突

    師:現(xiàn)有4張卡片,卡片數(shù)字分別為3、4、5、6,現(xiàn)從4張卡片中任選3個數(shù)字組成一個3位數(shù),使這個3位數(shù)為2的倍數(shù),你會嗎?

    生1:356、346、534、354。

    師:很好!你的根據(jù)是什么呢?

    生1:個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。

    師:很好。如果任選3個數(shù)字組成5的倍數(shù)呢?

    生2:645、435、345。

    師:你的依據(jù)呢?

    生2:個位上是0、5的數(shù)是5的倍數(shù)。

    師:如果組成的數(shù)是3的倍數(shù)呢?

    生3:456、356、453。

    師:你的依據(jù)是什么呢?

    生3:個位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。

    師:很好,大家根據(jù)之前的經(jīng)驗進行猜想,實現(xiàn)了知識的遷移?,F(xiàn)在請大家用計算器驗證一下,生3給出的數(shù)是否是3的倍數(shù)。

    生4:456是3的倍數(shù),它的個位數(shù)是6。

    生5:356的個位數(shù)也是6,但356不是3的倍數(shù)。(其他學生點頭附和)

    師:哦,這確實是一個問題,看來個位數(shù)為3、6、9的數(shù)不一定是3的倍數(shù)。那么3的倍數(shù)會有怎樣的特征呢?

    【設計意圖】課始教師帶領(lǐng)學生復習2和5的倍數(shù)的特征,學生通過遷移總結(jié)歸納出“個位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)”,然而通過驗證發(fā)現(xiàn)該遷移為負遷移。這樣教師通過預設陷阱,引發(fā)了學生的認知沖突,激發(fā)了學生的探究熱情。

    2. 逐步探究,抽象特征

    數(shù)學抽象往往需要一個由淺入深的過程。探究3的倍數(shù)的特征時,教師安排了如下環(huán)節(jié):

    環(huán)節(jié)1:小數(shù)探究。

    師:通過驗證我們知道:個位上是3、6、9的數(shù)并不一定是3的倍數(shù),現(xiàn)在我們需要重新研究。數(shù)學研究時需要準備一些數(shù)學素材,想一想研究3的倍數(shù)的特征時,我們需要準備哪些數(shù)學素材呢?

    生6:需要提供許多數(shù),從這些數(shù)里慢慢發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

    師:很好,你認為我們是需要提供一些“大數(shù)”,還是一些“小數(shù)”呢?

    生齊聲答:小數(shù)。

    師:確實,小數(shù)便于運算,方便我們觀察和研究。其實我們的想法與教材編寫者也是不謀而合的,他們?yōu)槲覀儨蕚淞艘粡埌贁?shù)表,接下來我們就借助這張表開啟探究之旅。

    師:請大家先思考這樣一個問題:怎樣找3的倍數(shù)呢?

    生7:將3依次與1、2、3……相乘。

    師:很好!現(xiàn)在大家在教材上圈一圈,圈出3的倍數(shù)。(教師預留充足的時間讓學生動手)

    師:如圖1所示,你們?nèi)Φ臄?shù)字和老師圈的數(shù)字是否一致呢?(為了便于觀察,教師只保留了3的倍數(shù))

    生齊聲答:一致。

    師:很好。仔細觀察圖1,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    生8:我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是斜行排列的,非常整齊。

    生9:我發(fā)現(xiàn)個位上的數(shù)從0~9都有。

    師:很好,觀察得非常仔細,既然個位上的數(shù)從0~9都有,我們就不能從個位上的數(shù)尋找規(guī)律了。那么十位上的數(shù)有沒有什么規(guī)律?

    生10:十位上的數(shù)也是0~9都有。

    師:看來只看個位或只看十位都難以發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征。這該怎么辦呢?請各小組交流一下,重新觀察圖1中的這些數(shù),看看有沒有什么新的發(fā)現(xiàn)?(學生積極交流,有的學生開始從兩個數(shù)入手探索)

    生11:既然只看一個數(shù)不行,那么我們就看兩個數(shù),剛剛我們小組研究了12和21,發(fā)現(xiàn)十位和個位上的數(shù)相加正好是3。

    師:很好,你們還有什么發(fā)現(xiàn)?

    生12:我們小組發(fā)現(xiàn)第一斜列十位和個位上的數(shù)之和為3,第二斜列十位和個位上的數(shù)之和為6,第三斜列十位和個位上的數(shù)之和為9,第四斜列除了30,十位和個位上的數(shù)之和為12,30的十位和個位上的數(shù)之和為3。

    師:很好,那么3、6、9、12……這些數(shù)字有什么特點呢?

    生齊聲答:都是3的倍數(shù)。

    師:這會不會是巧合呢?在百數(shù)表里,除了以上我們剛剛?cè)Τ鰜淼臄?shù)有這樣的特征外,其他數(shù)有沒有十位和個位上的數(shù)之和為3的倍數(shù)的情況呢?(學生迫不及待地開始驗證)

    生13:其他數(shù)都不是。

    師:你們的驗證結(jié)果也是這樣嗎?(學生點頭表示與生13的驗證結(jié)果相同)

    師:通過剛才的研究我們知道了什么呢?

    生14:判斷一個兩位數(shù)是否為3的倍數(shù),不能單看某一數(shù)位上的數(shù),要看十位和個位上的數(shù)之和是不是3的倍數(shù)。

    【設計意圖】在教學中,教師先用“動手圈”引導學生回顧3的倍數(shù),接下來通過觀察發(fā)現(xiàn)只看個位或十位上的數(shù)難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律,引導學生將個位上的數(shù)和十位上的數(shù)放在一起進行研究,從而逐漸發(fā)現(xiàn)數(shù)位上的數(shù)之和為3的倍數(shù)這一特征。當發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律后,教師沒有進行總結(jié)和歸納,而是帶領(lǐng)學生繼續(xù)探究其他不是3的倍數(shù)的數(shù)是否具備此特征,以此深化學生的理解,培養(yǎng)學生思維的嚴謹性。在以上過程中,教師“以生為主”,引導學生自己發(fā)現(xiàn)、分析、總結(jié),有效提升了學生的自主學習能力。

    環(huán)節(jié)2:大數(shù)驗證。

    師:剛剛我們研究了100以內(nèi)的數(shù),發(fā)現(xiàn)了3的倍數(shù)的特征,這一特征是否對三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)等更多數(shù)位的數(shù)有效呢?現(xiàn)在我們回到教學之初的案例,研究一下456、346、435、354這幾個數(shù),看看有什么發(fā)現(xiàn)。

    生15:前面我們已經(jīng)知道456是3的倍數(shù),數(shù)位上的數(shù)之和為4+5+6=15,15是3的倍數(shù),滿足剛剛發(fā)現(xiàn)的特征。

    生16:利用計算器算出346不是3的倍數(shù),數(shù)位上的數(shù)之和為3+4+6=13,同樣符合。

    師:很好,那么435和354呢?

    生17:這兩個數(shù)的數(shù)位上的數(shù)之和都是12,可以猜想這兩個數(shù)是3的倍數(shù)。利用計算器計算后驗證它們是3的倍數(shù)。

    師:不是應該把個位和十位上的數(shù)加起來嗎?

    生18:那個研究的是兩位數(shù),現(xiàn)在研究的是三位數(shù)。

    師:哦,難道只看個位和十位上的數(shù)之和來研究三位數(shù)行不通嗎?

    生19:不行,以456為例,我們已經(jīng)知道這個數(shù)是3的倍數(shù),但是十位和個位上的數(shù)之和為11,顯然不符合3的倍數(shù)的特征。

    師:很好,那么你們有沒有信心驗證其他的多位數(shù)呢?

    教師鼓勵學生進行組內(nèi)交流,先用3的倍數(shù)的特征進行猜想,然后利用計算器進行驗證。學生通過交流、探究,又繼續(xù)驗證了四位數(shù)和五位數(shù),最后抽象出了3的倍數(shù)的特征。

    【設計意圖】數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程是一個猜想、驗證的過程,教學中教師引導學生通過不完全歸納法初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律后進行舉例驗證,從而由特殊逐漸發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。在此過程中,學生研究完三位數(shù)后,教師又設計問題情境,讓學生思考“為什么不能只看個位和十位上的數(shù)之和”,這樣不僅為后面多位數(shù)的探究奠定了基礎(chǔ),而且培養(yǎng)了學生思維的深刻性。

    環(huán)節(jié)3:抽象特征。

    師:通過剛剛的探究,誰來總結(jié)一下,3的倍數(shù)的特征是什么呢?(同桌互相說一說)

    生20:若這個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)之和是3的倍數(shù),那么這個數(shù)是3的倍數(shù)。

    生21:也可以反過來說,若這個數(shù)是3的倍數(shù),那么這個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)之和是3的倍數(shù)。

    師:大家說得真好,不僅可以獨立探究,而且還會總結(jié)和歸納,都成了小數(shù)學家了。

    【設計意圖】總結(jié)和歸納是數(shù)學學習的必經(jīng)之路。在數(shù)學教學中,教師為學生提供機會去總結(jié)和歸納,能讓學生實現(xiàn)知識的內(nèi)化。

    這樣引導學生通過觀察、猜想、驗證等探究活動,最終總結(jié)歸納出了“3的倍數(shù)的特征”。經(jīng)歷以上過程有利于學生理解和掌握數(shù)學研究方法,有利于提升學生的數(shù)學技能。

    3. 借助練習,強化認知

    師:剛剛的探究展現(xiàn)了我們的大智慧,接下來大家敢不敢接受更大的挑戰(zhàn)呢?(提到挑戰(zhàn),學生興奮不已)

    第一關(guān):判斷下列各數(shù)是否為3的倍數(shù)。

    ①29;②666;③888;④2203;⑤6992634。

    問題給出后,學生很快根據(jù)“3的倍數(shù)的特征”得到②③⑤為3的倍數(shù)。

    師:對于6992634,你是如何判斷的呢?

    生22:6+9+9+2+6+3+4=39,39為3的倍數(shù),于是可以判斷6992634是3的倍數(shù)。

    師:很好,是否有更為簡單的方法呢?

    生23:也可以不用一個數(shù)一個數(shù)地加,對于6992634,這里面含有3、6、9這三個數(shù),這些數(shù)是3的倍數(shù),因此計算時可以不再進行計算,只要計算2+4=6即可,而6也是3的倍數(shù),所以6992634是3的倍數(shù)。

    師:太有創(chuàng)意了,這樣使運算更加簡捷,此處需要掌聲。(學生投來羨慕的眼光)

    師:這樣我們就知道,判斷多位數(shù)是否為3的倍數(shù)時,可以先舍去數(shù)位上的3、6、9這三個數(shù),將剩余的數(shù)相加,若和為3的倍數(shù),那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

    第二關(guān):在□中填上一個數(shù),使組成的這個數(shù)為3的倍數(shù)。

    ①□21;②5□2;③3□5;④□53。

    結(jié)合以上解題經(jīng)驗,學生很快給出了答案。教師啟發(fā)學生進行對比觀察,從而知曉這個數(shù)是否為3的倍數(shù)與各數(shù)位上的數(shù)的順序沒有關(guān)系。

    【設計意圖】教學中教師要相信學生,為學生創(chuàng)造一個“跳一跳”的機會,如對“6992634”的探究,借助運算過程的優(yōu)化,激發(fā)了學生的潛能,提高了學生解題的靈活性。另外,教師設計作業(yè)時應遵循學生的認知水平,設計不同層次的作業(yè),進而讓不同的學生都能有所發(fā)展。

    4. 自主質(zhì)疑,啟迪思維

    師:上節(jié)課我們研究了2、5的倍數(shù)的特征,今天又研究了3的倍數(shù)的特征,你有哪些收獲?又存在哪些問題呢?

    生24:通過這兩節(jié)課的學習,我掌握了判斷2、5的倍數(shù)的特征和判斷3的倍數(shù)的特征,不過為什么2和5的倍數(shù)只要看個位就可以了,而3的倍數(shù)卻不行呢?

    師:這確實是一個好問題,相信大家也有同樣的疑問,現(xiàn)在我們一起分析一下。

    師:我們先看2的倍數(shù)。誰來舉一個是2的倍數(shù)的數(shù)。

    生25:24。

    師:很好,如何用分小棒的方法說一說它是2的倍數(shù)呢?

    生26:24是由2個十和4個一組成的,先看1個十,2個2個地分剛好分完,說明十是2的倍數(shù),接下來看個位上的數(shù)就可以了。

    師:很好,按照這個思路看一下5的倍數(shù)。

    生27:以29為例,它是由2個十和9個一組成的,2個十是5的倍數(shù),這樣只要看個位上的9就可以了。

    師:現(xiàn)在我們再一起看一下3的倍數(shù)。以42為例,判斷時為什么把42看成4個一加2個一了?

    在教師的啟發(fā)下,學生按照分小棒的思路去研究:一共有4個十,第一個十3個3個地分剩1個,第二個十3個3個地分剩1個,以此類推,4個十分到最后剩下4個一,于是就需要十位上的數(shù)與個數(shù)上的數(shù)相加。接下來教師又帶領(lǐng)學生分析了三位數(shù),進一步驗證了為什么3的倍數(shù)需要各數(shù)位上的數(shù)相加。

    【設計意圖】借助已有的擺小棒的經(jīng)驗,引發(fā)學生通過“擺一擺”進行深度思考,從而進一步理解算理,發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),體驗數(shù)學之美、數(shù)學之奇。

    5. 總結(jié)反思,拓展延伸

    師:請大家回顧一下,今天是如何探究3的倍數(shù)的呢?如果讓你單獨研究6和9的倍數(shù)的特征,你會嗎?課后請大家分組討論,相信你們一定會有更多的收獲。

    【設計意圖】教師鼓勵學生嘗試研究6和9的倍數(shù)的特征,這樣通過拓展和延伸,有助于發(fā)散學生的思維,讓學生通過自主探究學會發(fā)現(xiàn),進而提升數(shù)學技能。

    二、教學思考

    在數(shù)學教學中,若只是讓學生知道3的倍數(shù)的特征,那么應用直接講授法自然是高效的,但是那樣難以讓學生形成深刻的印象,同時也難以讓學生掌握數(shù)學的研究方法,不利于學生自主學習能力和創(chuàng)新能力的提升。教學中教師不應將目光定位在單一知識的講授上,應著眼于整體,通過觀察、猜想、操作等多層次的探究過程來激發(fā)學生的探究欲,讓學生掌握數(shù)學的研究方法,獲得廣泛的數(shù)學經(jīng)驗,進而提升創(chuàng)造力。

    總之,若想讓一節(jié)課上得精彩,上得有價值,教師就要打破傳統(tǒng)的單一和灌輸式講授,結(jié)合學生的實際設計一些有價值的探究活動,從而讓學生在探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美,激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣,提升教學品質(zhì)。

    作者簡介:鄭凌(1988—),本科學歷,小學一級教師,從事小學數(shù)學教學工作,曾獲市級青年教師競賽課三等獎、省級課例二等獎。

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