形式各異殊途同歸
——六個(gè)角度研究切線問(wèn)題

盧會(huì)玉

(西北師范大學(xué)附屬中學(xué),甘肅 蘭州 730070)

高考中,曲線的切線問(wèn)題幾乎成為必考內(nèi)容,有時(shí)以圓為載體出現(xiàn)在小題,有時(shí)在填空題中直接求某函數(shù)的切線,有時(shí)以關(guān)鍵形式出現(xiàn)在大題中.一般情況下,直線與曲線相切會(huì)涉及到三個(gè)量:直線、曲線、切點(diǎn);直線與圓相切也涉及到三個(gè)量:直線、圓、點(diǎn).因此,切線問(wèn)題都有共同的命題方式:知“二”求“一”,即知道其中的兩個(gè)量去求另外一個(gè)量,雖然考查的知識(shí)點(diǎn)和呈現(xiàn)形式不同,但思維方式基本相同.

1 已知曲線的方程、切點(diǎn)坐標(biāo)求切線方程

例1 曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,-1)處的切線方程為( ).

A．x-y-π-1=0 B．2x-y-2π-1=0

C．2x+y-2π+1=0 D．x+y-π+1=0

解析因?yàn)閥′=2cosx-sinx,

則y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,-1)處的切線方程為y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0．

注本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程,滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取導(dǎo)數(shù)法,利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點(diǎn)處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯(cuò),首先證明已知點(diǎn)是否為切點(diǎn),若是切點(diǎn),可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解;若不是切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn),再求導(dǎo),然后列出切線方程[1]．

例2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,0)作圓x2+y2-2x-4y-3=0的切線l,則l的方程為( ).

A．x+y-3=0 B．x+y-3=0或x=3

C．x-y-3=0 D．x-y-3=0或x=3

解析因?yàn)閤2+y2-2x-4y-3=0,

所以(x-1)2+(y-2)2=8.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(3,0)的切線存在斜率k,切線方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.

解得k=1.

即切線方程為x-y-3=0.

因此切線方程為x-y-3=0.故選C.

注本題考查了求圓的切線.本題實(shí)際上是過(guò)圓上一點(diǎn)求切線,所以只有一條.解答本題時(shí),設(shè)直線l存在斜率k,點(diǎn)斜式設(shè)出方程,利用圓心到直線l的距離等于半徑求出斜率k,再討論直線l不存在斜率時(shí),是否能和圓相切,如果能,寫出直線方程,綜合求出切線方程.

2 已知曲線的方程、切線方程求切點(diǎn)坐標(biāo)

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在曲線y=lnx上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____．

解析設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),則y0=lnx0.

即x0lnx0=e.

令H(x)=xlnx,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),H(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),H(x)>0,且H′(x)=lnx+1,當(dāng)x>1時(shí),H′(x)>0,H(x)單調(diào)遞增,注意到H(e)=e,故x0lnx0=e存在唯一的實(shí)數(shù)根x0=e,此時(shí)y0=1,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,1).

例4若曲線y=xlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____．

注導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題:一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆;二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．

3 已知切線方程、切點(diǎn)坐標(biāo)求曲線方程

例5已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=____.

所以y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為

y=2x-1.

又切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,當(dāng)a=0時(shí),y=2x+1與y=2x-1平行,故a≠0.

所以a=8.

C．(x-5)2+y2=5 D．(x+5)2+y2=5

所以圓O的方程為(x+5)2+y2=5．

注切線問(wèn)題應(yīng)注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線.曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).求過(guò)某點(diǎn)的切線方程,需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解.

4 曲線的切線與函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題

例7設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為( ).

A．y=-2xB．y=-xC．y=2xD．y=x

解法1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).

所以(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-[x3+(a-1)x2+ax].

所以2(a-1)x2=0.

因?yàn)閤∈R,所以a=1.

所以f(x)=x3+x.

所以f′(x)=3x2+1.

所以f′(0)=1.

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x．故選D．

解法2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax為奇函數(shù),所以f(-1)+f(1)=0.

所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0.

解得a=1.

所以f(x)=x3+x.

所以f′(x)=3x2+1.

所以f′(0)=1.

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x．

5 曲線的切線與兩直線位置關(guān)系相結(jié)合的問(wèn)題

解析因?yàn)閥=ex,所以y′=ex.

所以曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率

因?yàn)閤0>0,所以x0=1.

所以y0=1,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1).

①

②

由①②解得a=-1,b=-2.

所以a+b=-3．

6 圓的切線與圓錐曲線相結(jié)合的綜合問(wèn)題

(1)求橢圓的離心率;

由題意,F(-c,0),則直線l的方程為

7x2+6cx-13c2=0.

由圓心C在直線x=4上,可設(shè)C(4,t).

因?yàn)镺C∥AP,且由(1)知A(-2c,0).

(1)證明:直線AB過(guò)定點(diǎn);

設(shè)B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.

故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.

于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,

=2(t2+1).

設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離,則

因此,四邊形ADBE的面積

注以上題型都是圓的切線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,主要考查橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí).基本是以圓為主,以圓錐曲線為輔的中檔題目.考查學(xué)生用代數(shù)方法研究圓錐曲線性質(zhì)的能力,考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力[2].

事實(shí)上,還有相當(dāng)多的與切線有關(guān)的問(wèn)題本文并未涉及到,但是,各種各樣的切線問(wèn)題所采用的解決辦法具有相同和相通的地方,在一定程度上也可達(dá)到觸類旁通的效果.