C*-代數(shù)中的EP元

陳樹(shù)家, 羌湘琦, 侯成軍

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

Moore-Penrose逆的概念最先在矩陣領(lǐng)域中被提出并得到廣泛運(yùn)用, 學(xué)者們借助Moore-Penrose逆提出了EP矩陣的概念并刻畫(huà)了它的性質(zhì)．隨著研究的深入, Moore-Penrose逆以及EP矩陣的性質(zhì)也在其他領(lǐng)域得到發(fā)展, 其理論被推廣到希爾伯特空間中的有界線性算子上,形成了EP算子的概念[1]．通過(guò)弱化Pearl的條件, Itoh[2]定義了hypo-EP元并給出了hypo-EP元的性質(zhì), 此后眾多學(xué)者在矩陣代數(shù)、C*-代數(shù)和環(huán)論等方面用不同方式刻畫(huà)了Moore-Penrose可逆元和EP元的性質(zhì), 相關(guān)成果可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-5]．Maher[6]研究了C*-代數(shù)中Moore-Penrose可逆元判定的等價(jià)條件; Benítez[7]推廣并刻畫(huà)了C*-代數(shù)中Moore-Penrose逆更多的性質(zhì)．受此啟發(fā), 本文擬利用C*-代數(shù)自身的性質(zhì)討論EP元和hypo-EP元, 借助于C*-代數(shù)的包絡(luò)von Neumann代數(shù)中的左右支撐和極分解理論[8-9], 研究C*-代數(shù)中Moore-Penrose可逆元及EP元與hypo-EP元之間的關(guān)系, 并利用無(wú)限維C*-代數(shù)中必存在無(wú)限譜的正元這一性質(zhì), 證明C*-代數(shù)中每一個(gè)元都是Moore-Penrose可逆的當(dāng)且僅當(dāng)該C*-代數(shù)是有限維的．本文通過(guò)C*-代數(shù)中的EP元定義了EP-預(yù)解集和EP-譜, 推廣了已有的相關(guān)譜結(jié)論．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是一個(gè)復(fù)的Banach *-代數(shù), 若‖a*a‖=‖a‖2, 則稱(chēng)A為C*-代數(shù)．設(shè)A, B是2個(gè)C*-代數(shù),π: A→B是一個(gè)線性映射, 若對(duì)任意a,b∈A, 有π(ab)=π(a)π(b),π(a)=π(a)*, 則稱(chēng)π是*-同態(tài); 若π既是單射又是滿(mǎn)射, 則稱(chēng)π是*-同構(gòu)．用C(X)表示緊T2-空間X上所有復(fù)值連續(xù)函數(shù)的全體, 且在上確界范數(shù)下C(X)是一個(gè)有單位元的交換C*-代數(shù), 則由Gelfand定理知, 每一個(gè)有單位元的交換C*-代數(shù)都等距同構(gòu)于某個(gè)C(X)．用表示可分的希爾伯特空間, B()表示上的有界線性算子全體, 則B()中每個(gè)范數(shù)閉且在算子伴隨下封閉的子代數(shù)是C*-代數(shù)．由Gelfand-Naimark定理知, 每個(gè)可分的C*-代數(shù)都*-等距同構(gòu)于某個(gè)B()中范數(shù)閉*-子代數(shù)．設(shè)A是一個(gè)復(fù)的有單位元的Banach-代數(shù),a∈A, 稱(chēng)σ(a)={λ∈C|λ-a不可逆}為a的譜,Cσ(a)為a的預(yù)解集．

定義1設(shè)A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù),a∈A, 若存b∈A滿(mǎn)足:

bab=b,aba=a,(ab)*=ab,(ba)*=ba,

則稱(chēng)a是Moore-Penrose可逆的, 簡(jiǎn)稱(chēng)MP-可逆的．此時(shí)滿(mǎn)足上述條件的b是唯一的, 稱(chēng)之為a的MP-逆, 并記b為a?．用A?表示A中所有Moore-Penrose可逆元的集合．

2 主要結(jié)果

設(shè)A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù), A**為A的二次共軛空間, 則A**是一個(gè)W*-代數(shù), 且A可作為W*-稠子代數(shù)嵌入到A**中．設(shè)a∈A**, 并令l(a)和r(a)分別為a的左支撐和右支撐, 即A**中分別滿(mǎn)足pa=a和ap=a的最小投影p．當(dāng)a∈A時(shí),l(a)和r(a)未必在A中．由W*-代數(shù)理論知, A**中任意元a都有極分解a=v|a|, 其中v∈A**為部分等距,v*v=r(a),vv*=l(a), |a|=(a*a)1/2∈A**且滿(mǎn)足上述條件的極分解是唯一的．當(dāng)a∈A時(shí), 由C*-代數(shù)中自伴元的譜理論知, |a|∈A, 但v不一定在A中．當(dāng)a∈A是MP-可逆時(shí),有如下結(jié)論．

命題3設(shè)A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù),a∈A, 則:

i) 若a∈A是MP-可逆的, 則l(a)=aa?,r(a)=a?a, 從而l(a),r(a)∈A;

ii) 若a∈A是MP-可逆的, 則存在部分等距u∈A使得uu*=l(a),u*u=r(a),a=u|a|, 即a在A中有極分解;

iii)a∈A是MP-可逆的當(dāng)且僅當(dāng)r(a)∈A, 且a*a在r(a)Ar(a)中可逆;

iv)a∈A是EP的當(dāng)且僅當(dāng)l(a)=r(a)∈A, 且a*a在r(a)Ar(a)中可逆．

證明 i) 令p=aa?, 則pa=a, 故l(a)≤p．又l(a)aa?=aa?=p, 有l(wèi)(a)≥p, 故l(a)=aa?∈A．同理可得r(a)=a?a∈A．

ii) 由a∈A?, 得|a|∈A?且|a||a|?=|a|?|a|．令u=a|a|?, 則(a|a||a|?-a)*(a|a||a|?-a)=0, 故a=a|a||a|?=a|a|?|a|=u|a|．另一方面, 因uu*是一個(gè)投影, 有l(wèi)(a)uu*=uu*, 即uu*≤l(a), 又(uu*)a=u|a|=a, 有uu*≥l(a), 故uu*=l(a)．同理可證u*u=r(a)．

iii) 若a∈A?, 由(i)知r(a)=a?a∈A．因a?a(a*a)a?a=a*(a?)*a*aa?a=a*a, 故(a*a)∈r(a)Ar(a)．由假設(shè)知,a*a是MP-可逆的．令x=(a*a)?, 有(a*a)?=a?a(a*a)?a?a, 得x∈r(a)·Ar(a), 且xa*a=(a*a)?a*a=a?(a*)?a*a=a?a=r(a),a*ax=(a*a)(a*a)?=a*aa?(a*)?=a?a=r(a), 故a*a在r(a)Ar(a)中可逆．下證充分性．設(shè)a*a在r(a)Ar(a)中可逆, 記y為其逆, 則有a*ay=ya*a=r(a), 等式兩邊取*-運(yùn)算, 得y=y*．設(shè)x=ya*∈A,axa=aya*a=ar(a)=a,xax=ya*aya*=ya*=x, (ax)*=(aya*)*=ax, (xa)*=(ya*a)*=r(a)=xa, 則a∈A是MP-可逆的, 故x=ya*為其MP-逆．

iv) 若a是EP的, 則a是MP-可逆的．由(iii)知,r(a)∈A且a*a在r(a)Ar(a)中可逆．由(i)知,l(a)=r(a)．另一方面, 設(shè)l(a)=r(a)∈A, 且a*a在r(a)Ar(a)中可逆, 由(iii)的充分性知a∈A是MP-可逆的, 再由(i)可得aa?=a?a, 故a∈A是EP的．

設(shè)A是一個(gè)有單位元的Banach代數(shù), B是A的Banach 子代數(shù)且包含A的單位元, 若x∈B在B中是可逆的, 則x在A中也是可逆的, 該結(jié)果反之不成立．但在C*-代數(shù)中, 一個(gè)元的可逆性不依賴(lài)于它所在的C*-代數(shù), 從而C*-子代數(shù)中一個(gè)元在該子代數(shù)和原C*-代數(shù)中的譜是一樣的．

命題4i) 設(shè)A, B是兩個(gè)有單位元的C*-代數(shù),π: A→B是一個(gè)C*-同構(gòu),a∈A, 則a是MP-可逆的(或EP的)當(dāng)且僅當(dāng)π(a)是MP-可逆的(或EP的)．

ii) 設(shè)B是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù), A是B的C*-子代數(shù)且含有同一單位元,a∈A, 則a在A中是MP-可逆的(或EP的)當(dāng)且僅當(dāng)a在B中是MP-可逆的(或EP的)．

證明 i) 由MP-逆和EP元的定義可直接得到．

ii) 僅證充分性．若a∈B?, 由文獻(xiàn)[7]中定理3.4知,a?=limn→+∞(a*a+n-1)-1a*．由于A是一個(gè)C*-子代數(shù), 所以對(duì)每個(gè)n, 有(a*a+n-1)-1∈A, 進(jìn)而a?∈A．

引理5設(shè)A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù),a∈A?, 若u,v∈A是可逆的, 則uav∈A?．

證明 令x=v-1a?u-1, 則(uav)x(uav)=uavv-1a?u-1uav=uav, 即uav是正則的．由文獻(xiàn)[10]中定理1, 得uav∈A?．

命題6設(shè)A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù), 則下列性質(zhì)成立:

i) 若a∈A是MP-可逆的, 且a是hypo-EP的, 則an是hypo-EP的;

ii) 若a,p∈A,ap=pap, 且a是hypo-EP的, 則ap是hypo-EP的;

iii) 設(shè)a,b∈A是EP的, 則ab是EP的當(dāng)且僅當(dāng)ba是EP的．

證明 i) 由Gelfand-Naimark定理知, 存在*-同構(gòu)π: A→B(), 則對(duì)任意有π(a)∈B()是hypo-EP的．再由文獻(xiàn)[11]中定理3.6知,π(an)是hypo-EP的, 故由命題4可得

ii) 由Gelfand-Naimark定理, 存在*-同構(gòu)π: A→B(), 則π(a)是hypo-EP的．由文獻(xiàn)[12]中定理1知, 存在c∈B()使得π(a)=[π(a)]*c=π(a*)c, 則π(ap)=π(p)π(a*)cπ(p)=[π(ap)]*·cπ(p)．取y=cπ(p), 有π(ap)=[π(ap)]*y, 即π(ap)是hypo-EP的, 因此

定理7設(shè)A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù), 則:

i) A中每一個(gè)元均是MP-可逆的當(dāng)且僅當(dāng)A是有限維C*-代數(shù);

ii) A中每一個(gè)元均是EP的當(dāng)且僅當(dāng)A是有限維交換C*-代數(shù), 當(dāng)且僅當(dāng)A*-同構(gòu)于Cn．

引理8設(shè)X是緊度量空間,f(x)∈C(X),則f(x)是MP-可逆的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈X,f(x)≠0, 或0是函數(shù)f(x)值域的孤立點(diǎn)．

引理9設(shè)X是緊度量空間, 則C(X)中每個(gè)元均是MP-可逆的當(dāng)且僅當(dāng)X是有限集, 當(dāng)且僅當(dāng)C(X)*-同構(gòu)于Cn．

證明 由泛函分析理論知,X是有限集當(dāng)且僅當(dāng)C(X)*-同構(gòu)于Cn, 故僅須證明: 若C(X)中每個(gè)元均是MP-可逆的, 則X是有限集．假設(shè)X是無(wú)限集, 取連續(xù)函數(shù)f(x)∈C(X)使得其值域是無(wú)限集．選取X中的列{xn}以及x0∈X, 使得{f(xn)}互不相同并對(duì)任意的n∈N, 有f(xn)≠f(x0), 而當(dāng)xn→x0時(shí)f(xn)→f(x0)．令g(x)=f(x)-f(x0), 則g(x)∈C(X)且g(x0)=0,g(xn)≠0,g(xn)→0,即是g(x)的聚點(diǎn)．由引理8可知,g不是MP-可逆的, 這與假設(shè)矛盾, 故X是有限集．

下面給出定理7的證明．

證明 i) 若A是有限維C*-代數(shù), 則A*-同構(gòu)于矩陣代數(shù)的直和Mn1(C)?Mn2(C)?…?Mnk(C)．由于矩陣代數(shù)Mn(C)中每個(gè)元都是MP-可逆的, 從而矩陣代數(shù)的直和中每個(gè)元都是MP-可逆的．由命題4(i)知, MP-可逆性在C*-同構(gòu)下不變, 所以A中每一個(gè)元均是MP-可逆元．

另一方面, 設(shè)A中每一個(gè)元均是MP-可逆的, 若A是無(wú)限維C*-代數(shù), 由文獻(xiàn)[13]中的4.6.14知, A中存在正元a使得譜σ(a)是無(wú)限集．根據(jù)C*-代數(shù)中的譜定理, 由a和單位元I生成A中的C*-代數(shù)B*-同構(gòu)于C(σ(a))．由引理9知, 存在f(x)∈C(σ(x))不是MP-可逆的, 進(jìn)而存在b∈B在B中非MP-可逆．再由命題4知,b∈A是非MP-可逆的, 這與假設(shè)矛盾．因此, A是有限維C*-代數(shù)．

ii) 僅須證明: 若A中每個(gè)元均是EP的, 則AC*-同構(gòu)于Ck．因?yàn)锳中每個(gè)元都是MP-可逆的, 由(i)知A是有限維C*-代數(shù), 故AC*-同構(gòu)于Mn1(C)?Mn2(C)?…?Mnk(C)．由于矩陣代數(shù)Mn(C)中每個(gè)元都是EP元當(dāng)且僅當(dāng)n=1, 故A*-同構(gòu)于Ck．

注10定理7中“C*-代數(shù)”條件是必需的．設(shè)是可分無(wú)限維的復(fù)希爾伯特空間, 令F()表示上有限秩算子全體, 令A(yù)表示由F()和恒等算子I生成的非范數(shù)閉代數(shù), 則A是范數(shù)代數(shù), 但非C*-代數(shù), 且A中每個(gè)元都是MP-可逆的．

Banach代數(shù)中“譜”是一個(gè)十分重要的概念, 其定義是借助于Banach代數(shù)中可逆元給出的, 故利用C*-代數(shù)中的EP元, 有如下定義．

定義11設(shè)A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù),a∈A, 稱(chēng)ρep(a)={λ∈C|λ-a為A中EP元}為a的EP-預(yù)解集, 稱(chēng)σep(a)=Cρep(a)為a的EP-譜．

命題12設(shè)A是一個(gè)有單位元I的C*-代數(shù),a∈A, 則:

i)acc(σ(a))?σep(a)?σ(a), 其中acc(σ(a))表示a的譜σ(a)的聚點(diǎn)全體;

ii) 若σ(a)是無(wú)限集, 則σep(a)≠?;

iii) 若A為n階矩陣代數(shù)Mn(C),a∈Mn(C)可對(duì)角化, 則σep(a)=?;

iv) 設(shè)A為緊的連通的豪斯道夫空間X上的復(fù)值連續(xù)函數(shù)代數(shù)C(X),設(shè)a∈A,a?CI, 則σep(a)=σ(a);

v) 設(shè)a為A中正規(guī)元且σ(a)是有限集, 則σep(a)=?;

vi) 設(shè)a為A中擬冪零元, 但非EP元, 則σ(a)=σep(a)={0}．

證明 i) 由于A中每個(gè)可逆元都是EP元, 從而σep(a)?σ(a)．設(shè)λ∈ρep(a), 則λ-a為A中EP元, 從而λ-a可逆或者0是σ(λ-a)的孤立點(diǎn), 即λ-a可逆或λ為σ(a)的孤立點(diǎn), 故ρep(a)=ρ(a)∪{λ∈i(σ(a))|λ-a為A中EP元}, 其中i(σ(a))表示a的譜σ(a)的孤立點(diǎn)全體, 因此acc(σ(a))?σep(a)?σ(a)．

ii) 設(shè)σ(a)是無(wú)限集,又σ(a)是緊集,則σ(a)必有聚點(diǎn), 由(i)知σep(a)=?．

iii) 設(shè)a∈Mn(C)可對(duì)角化,即存在酉矩陣u, 使得uau*是對(duì)角陣d, 則對(duì)任意的λ∈C, 有λI-d是Mn(C)中的EP元, 這里I表示單位矩陣, 故λI-a是EP元, 則ρep(a)=C, 因此σep(a)=?．

iv) 由于X是連通的, 因此C(X)中的投影僅有取值為0的常函數(shù)0和取值恒為1的常函數(shù)I, 即C(X)中的EP元是0和可逆元．設(shè)a∈C(X)且a?CI,λ∈C, 則λ-a為EP元當(dāng)且僅當(dāng)λ-a可逆, 有σep(a)=σ(a), 故σep(a)=σ(a)．

v) 由C*-代數(shù)正規(guī)元的譜理論知,C(σ(a))同構(gòu)于A中由a,a*和I生成的C*-子代數(shù)B．由假設(shè)知,B是有限維交換C*-代數(shù)．再由定理7知, 對(duì)于每個(gè)λ∈C,λ-a為B中的EP元, 進(jìn)而由命題4知它也是A中EP元, 故σep(a)=?．

vi) 由擬冪零元和EP-譜定義可得．