解后反思　變錯為寶

［摘? 要］ 反思使數(shù)學(xué)教學(xué)活動成了有目標(biāo)、有思想的數(shù)學(xué)研究性活動，其極大程度上鍛煉了學(xué)生的思維，提高了學(xué)生的解題能力. 在教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供一定的反思時間和空間，進而在幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)的同時，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

［關(guān)鍵詞］ 反思；研究性活動；學(xué)習(xí)能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生“一錯再錯”的現(xiàn)象，究其原因，除了基礎(chǔ)知識掌握不牢，解題經(jīng)驗不足外，就是沒有形成良好的反思習(xí)慣. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些教師為了追求“高速度、大容量”，錯題講評時大多以教師講授為主，將“標(biāo)準(zhǔn)答案”直接呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生對比訂正. 當(dāng)然，給出“標(biāo)準(zhǔn)答案”后，教師也會給學(xué)生一定的時間思考，但思考的內(nèi)容大多限于對答案的認識，這樣難以體現(xiàn)學(xué)生的思維過程，不利于學(xué)生解題能力的提升. 要知道，解題能力高低并不是看學(xué)生會解多少道題，而是看解題的質(zhì)量. 要提高解題質(zhì)量，就需要學(xué)生不斷反思解題過程，以此總結(jié)經(jīng)驗、吸取教訓(xùn)，提高解題效率和準(zhǔn)確率. 筆者在錯題講評過程中，改變傳統(tǒng)的“對答案”教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生解后反思，找到錯因，從而“變錯為寶”，有效提高學(xué)生的解題能力.

反思審題過程，培養(yǎng)審題習(xí)慣

考試后學(xué)生經(jīng)常有這樣的感慨：明明這個類型的題目會做，怎么就錯了呢？解后反思發(fā)現(xiàn)，之所以出錯，是因為審題不清，獲取信息不全，解題時盲目套用——這一方面反映學(xué)生解題時心浮氣躁，另一方面反映學(xué)生缺乏良好的審題習(xí)慣. 在錯題講評中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生反思審題過程，提醒學(xué)生在反思中發(fā)現(xiàn)哪些信息采集時出現(xiàn)了遺漏，讓學(xué)生通過自我修補提升解題信心.

例1 設(shè)全集U=｛x

x≥2，x∈N｝，集合A=｛x

x2≥5，x∈N｝，則CUA=____.

對于大多數(shù)學(xué)生來講，該題難度不大，按照預(yù)期大多數(shù)學(xué)生能順利完成，但是考試結(jié)果并不如此. 學(xué)生的錯誤答案集中在［2，］，分析錯因不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解題時沒有注意到“x∈N”這一條件，沒有認清x的含義. 當(dāng)然，也有部分學(xué)生忘記使用集合符號，給出的錯解為2.

例2 復(fù)數(shù)z=（a<0），其中i為虛數(shù)單位，z=，則a的值為____.

本題主要考查的是復(fù)數(shù)的四則運算，因為z==，z===，所以a2=25. 又a<0，故a=-5. 然部分學(xué)生給出的答案為±5或5，可見這部分學(xué)生解題時漏看了條件“a<0”，另外有部分學(xué)生習(xí)慣性地取正.

從以上錯解反饋來看，學(xué)生的解題思路是正確的，然因信息遺漏而引發(fā)了錯誤，嚴重影響了學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提升. 要知道，審題是解題的前提，只有正確審題才可能得到正確的答案，因此教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生審題能力的培養(yǎng). 基于以上錯誤，教師可以先讓學(xué)生自我反思：考試時是如何審題的，獲得過哪些信息？遺漏了哪些信息？是什么原因造成信息遺漏的？審題時哪些條件是比較清楚的？哪些條件是不清楚的？不清楚的原因是什么？對于一些較為復(fù)雜的題目，除了以上內(nèi)容外，還要反思：題目中有哪些隱含條件？條件和條件、條件和結(jié)論之間存在怎么的關(guān)系？這些關(guān)系有沒有被發(fā)現(xiàn)？有沒有被合理利用？以后審題時需要什么？等等. 通過反思審題過程不僅可以使學(xué)生深層次理解題目，而且可以有效避免信息遺漏，培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣.

反思解題過程，避免思維定式

部分教師為了課堂上能夠講更多的題，在日常教學(xué)中常常壓縮概念、公式等基礎(chǔ)知識的教學(xué)時間，使得學(xué)生對基本知識或方法的理解不深，甚至理解錯誤，故常常出現(xiàn)錯用或濫用，直接影響了解題準(zhǔn)確率. 在教學(xué)中，除了教師改變教學(xué)手段和教學(xué)方法外，還可以引導(dǎo)學(xué)生反思，為學(xué)生提供重新理解基本知識和方法的時間與空間，以此突破思維定式的束縛，提高解題速度和準(zhǔn)確率.

例3 已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-，則sinθ+cosθ=______.

本題是一道基礎(chǔ)題，主要考查三角函數(shù)的運算. 在平時練習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常做“sinθ+cosθ”“sinθ-cosθ”“sinθ·cosθ”這樣的“知一求二”的問題，部分教師常常引導(dǎo)學(xué)生利用整體代換法求解，并強調(diào)利用解方程法雖然能夠求解，但是運算復(fù)雜，久而久之，學(xué)生就形成了思維定式，習(xí)慣巧解卻忽視通法，因此求解例3時苦苦探尋整體代換法，最終無功而返，即使回到了最初的解方程法，得到了準(zhǔn)確答案，卻浪費了寶貴的解題時間，得不償失.

其實，在解題過程中，因受思維定式的影響而引發(fā)錯誤的現(xiàn)象有很多. 比如，因思維定式學(xué)生不假思索地將同向不等式相加推廣至同向不等式相減；又如，計算sin（30°+60°）時，因思維定式學(xué)生利用乘法分配律給出了這樣的錯解：sin（30°+60°）=sin30°+sin60°. 對于以上的類似錯誤，若學(xué)生解題后能夠反思所使用的基礎(chǔ)知識和基本方法，就很有可能及時發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤，以此提高解題速度和準(zhǔn)確率.

反思探究過程，確定解題思路

高中數(shù)學(xué)題目是復(fù)雜多變的，大部分題目需要進行探究才能順利求解，因此探究是高中數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路. 解題后教師要給學(xué)生時間和空間反思探究過程，回顧當(dāng)時解題是如何重組和再生信息的，如何為已知和結(jié)論架橋鋪路的. 通過反思重現(xiàn)學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生思考：哪個步驟走了彎路？為什么會走彎路？如何避免走彎路？解題時出現(xiàn)了哪些錯誤？為什么會出錯？后面如何進行調(diào)整？等等. 這樣通過反思探究過程讓學(xué)生知道哪些思路和方法是需要傳承的，哪些是需要改進的，解題中哪部分是成功的，哪部分是失敗的，等等. 這樣反思有利于學(xué)生確定正確的解題思路.

例4 已知ab=，a，b∈（0，1），則+的最小值為______.

本題作為模擬考試中的最后一道填空題，其難度較大，學(xué)生的得分率較低. 課后調(diào)研發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生解題時沒有找到正確的解題思路，而是根據(jù)已知猜測，當(dāng)a=b=時+取最小值，因此將6填空；有的學(xué)生兩次利用基本不等式計算，但應(yīng)用時未考慮兩次取等號的條件是否同時成立，因此得到錯解3+2.

反思解題過程不難發(fā)現(xiàn)，本題求解的關(guān)鍵是消元，即將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，化簡后應(yīng)用基本不等式求最小值，但要通過配湊使其滿足“二定”的條件. 學(xué)生之所以沒有找到解題突破口，就是缺乏簡化思想，使探究變得越來越復(fù)雜，最終誤入歧途.

對于這些典型問題有必要引導(dǎo)學(xué)生進行細致而深入的反思，從而在反思中總結(jié)出帶有規(guī)律的經(jīng)驗，形成完善的解題策略，深化理解元認知，便于學(xué)生解題時快速找到突破口，提高解題效率.

反思運算過程，提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運算過程也是一個演繹推理的過程，數(shù)學(xué)運算是每一個高中生都應(yīng)具備的基本技能. 解題時可以發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的解題過程都會涉及具體運算，因此若學(xué)生的運算能力不強，不僅會影響解題效率，而且可能導(dǎo)致錯誤. 為了提高學(xué)生的運算能力，除了必要的練習(xí)外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生對運算過程進行反思：在運算過程中應(yīng)用運算技巧是否有必要？運算過程是否可以進一步優(yōu)化？這樣反思可以將運算技巧“模塊化”，有利于提高學(xué)生的運算能力.

例5 如圖1所示，已知橢圓O：+y2=1的右焦點為F，點B，C分別為橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y=-2上的一個動點（與y軸的交點除外），直線PC交橢圓于另一點M.

（1）當(dāng)直線PM過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積.

（2）記直線BM，BP的斜率分別為k，k，①求證：k·k為定值；②求·的取值范圍.

例5的難度并不在解題思路上，而是運算. 從試卷反饋來看，大多數(shù)學(xué)生能順利完成問題（1）的求解. 問題（1）雖然也涉及運算，但是具體值的運算，是學(xué)生擅長的，故大多數(shù)學(xué)生能夠輕松求解. 問題（2）為含參運算，很多學(xué)生因運算能力不過關(guān)，最終沒有算到最后. 對于問題（2）主要有兩類解法，一類是設(shè)點，另一類是設(shè)斜率. 其中設(shè)點又分兩種：①設(shè)點P（m，-2），m≠0，求出點M的坐標(biāo)，這樣即可得到兩個目標(biāo)函數(shù)，然后研究定值和取值范圍；②設(shè)點M（x，y），x≠0，求出點P的坐標(biāo)，由此易得兩個目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)函數(shù)消元后得到關(guān)于x（或y）的函數(shù)式，最后求得定值和取值范圍. 設(shè)斜率共分三種：①設(shè)直線PM：y=kx-1；②設(shè)直線BM：y=kx+1；③設(shè)直線PB：y=kx+1. （解題過程略）

從本題的解答過程可以看出，本題大體涉及以下運算：求兩直線的交點；求直線與橢圓的交點；消元；由兩點表示斜率；研究y=x-型函數(shù)的單調(diào)性；向量的數(shù)量積運算. 這里通過反思可以讓學(xué)生知曉自己哪方面的運算還比較薄弱，然后利用針對性訓(xùn)練提升運算能力.

其實，很多學(xué)生之所以解題時突然運算中斷，就是因為其運算能力薄弱，尤其面對一些含參運算時表現(xiàn)得突出. 反思解題過程中的運算，不僅為學(xué)生進行針對性訓(xùn)練提供了方向，而且有利于學(xué)生選擇一條最適合自己的解題之路，將問題解決到底.

反思拓展延伸，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)

解決同一問題往往有多種方法，因此解題后經(jīng)常要思考：該題是否還有其他解法？不同解法間有什么聯(lián)系？以前是否遇到過相似的問題？以前的解法是否適用該題？該題的方法、結(jié)論能否解決之前類似的問題？等等. 這樣思考可以將一些相似或相關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)起來，有利于優(yōu)化學(xué)生認知，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的解題能力.

例6 圖2為一個半圓柱的水渠，圖3為其橫斷面，點C為半圓弧ACB的中點，渠寬2 m.

（1）若渠中水深CD為0.4 m，求水面的寬.

（2）現(xiàn)將水渠進行改造，使其橫斷面成為等腰梯形，要求：①不準(zhǔn)填土；②水渠底面與地面平行. 改造后底寬為何值時，所挖出的土量最少？

本題難度適中，焦點在水渠的改造上，解法靈活，教師可以鼓勵學(xué)生求解后進行反思，從而借助一題多解，發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

由以上解答思路不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對切線方程求解有不同的認知，所以呈現(xiàn)出了不同解法. 在試題講評過程中，如果能夠?qū)@些解法進行細致分析并分析到底，可以達到豐富學(xué)生解題經(jīng)驗，發(fā)散學(xué)生思維的效果. 另外，通過對比分析不難發(fā)現(xiàn)，思路1到思路3雖然出發(fā)點不同，但是存在一定的一致性，即都引入了兩個變量，并根據(jù)相切得到了關(guān)于兩個變量的等式，將該等式引入目標(biāo)函數(shù)消元，從而實現(xiàn)了簡化；對于思路4，其引入角作變量，這一巧妙的設(shè)法大大降低了運算量，思路靈活. 這樣思考不同解法的本質(zhì)，更易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使學(xué)生既總結(jié)了方法，又鍛煉了思維.

總之，在日常教學(xué)中，教師切勿盲目地讓學(xué)生“刷題”，應(yīng)為學(xué)生提供反思的時間和空間，通過反思總結(jié)知識、方法、經(jīng)驗，幫助學(xué)生將其內(nèi)化為能力. 另外，通過反思能有效地將學(xué)生從“題海”中解放出來，通過再認識、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考、學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

作者簡介：陳玲（1984—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.