基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的課堂教學(xué)

［摘? 要］ 課程發(fā)展理論認(rèn)為，教育是改變?nèi)祟愋袨榈闹匾侄? 如何發(fā)揮教學(xué)過程的內(nèi)在力量，將學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)根植于課堂教學(xué)的方方面面？文章提出以下幾點措施：追根溯源，培養(yǎng)抽象能力；突出主題，啟發(fā)直觀想象；揭露關(guān)聯(lián)，提高數(shù)據(jù)分析能力；深化整理，獲得建模能力.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；課堂教學(xué)；抽象能力

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心內(nèi)容，主要包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析六要素. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程發(fā)展的方向，又是個體發(fā)展的培養(yǎng)目標(biāo)［1］. 自2014年教育部頒布《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》后，2017年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式將核心素養(yǎng)與立德樹人列為教育的核心目標(biāo).

因此，筆者在近些年的教學(xué)中，將目光鎖定在如何注重教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上. 經(jīng)過長期嘗試與完善，獲得了不錯的效果. 本文以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的教學(xué)為例，從課堂立意、教學(xué)策略、資源開發(fā)、價值取向等角度出發(fā)，具體談一談如何發(fā)揮教學(xué)過程的內(nèi)在力量，將立德樹人根本任務(wù)落實在課堂的每一個環(huán)節(jié)，從根本上提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

追根溯源，培養(yǎng)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象是舍掉數(shù)學(xué)事物的所有物理屬性，對其進行研究的思維過程. 誘導(dǎo)公式研究的對象是誰？抽象的結(jié)論是什么？顧名思義，誘導(dǎo)公式為研究的結(jié)論，而研究的對象則為三角函數(shù). 究竟該如何關(guān)注過程，對誘導(dǎo)公式進行分析與研究呢？教材利用單位圓定義了三角函數(shù)，圓又具有典型的對稱性，若利用圓的對稱性對三角函數(shù)進行研究具有可行性.

問題：是否可以單位圓關(guān)于x軸、y軸、直線y=x對稱（軸對稱），關(guān)于原點O對稱（中心對稱）等特征為出發(fā)點，獲取與三角函數(shù)性質(zhì)相關(guān)的內(nèi)容呢？

追根溯源，發(fā)現(xiàn)此問題涵蓋著以下四層含義：①單位圓為此問的起點；②圓的對稱性是思考問題的主要方法；③此問的研究對象為三角函數(shù)；④獲得相關(guān)性質(zhì)為研究目標(biāo).

在學(xué)習(xí)過程中，一些有用的數(shù)據(jù)信息常隱匿在學(xué)生的思考中，但又不容易被察覺與提取，對于此問的研究目的，學(xué)生不會主動去思考. 因此，教師在教學(xué)設(shè)計與課堂預(yù)設(shè)時，應(yīng)敏銳地觀察到制約學(xué)生“思考”的因素，換位到學(xué)生的角度進行教學(xué)立意與情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生回歸到教材，激活思維，研究有用的數(shù)據(jù)信息.

學(xué)案作為促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主要方案，教師編寫時應(yīng)考慮到學(xué)生的實際情況與知識特點，使用恰當(dāng)?shù)膯栴}進行導(dǎo)讀、導(dǎo)思，引導(dǎo)學(xué)生對接導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)問與自主學(xué)習(xí).

情境創(chuàng)設(shè)時，教師可從以下兩個問題著手：①有了0～2π的角后，再引入任意角的目的是什么？②掌握了銳角的三角函數(shù)后，為什么還要探討任意角的三角函數(shù)呢？以問題驅(qū)動學(xué)生探討、思考，讓學(xué)生從根本上認(rèn)識到探索任意角、銳角以及0～2π角的三角函數(shù)關(guān)系的真正意義與價值，有效驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)動機與學(xué)習(xí)興趣.

結(jié)合教材內(nèi)容，對接學(xué)生的自主探究，能讓學(xué)生對研究對象、目標(biāo)、方法、依據(jù)產(chǎn)生明確認(rèn)識. 學(xué)生在研究活動過程中積累經(jīng)驗，獲得深刻的學(xué)習(xí)體驗，形成個體獨有的思維方式. 從圓周而復(fù)始的運動特征出發(fā)，解讀誘導(dǎo)公式一，再與之前學(xué)過的相關(guān)內(nèi)容銜接，為“誘導(dǎo)”立意，導(dǎo)向、導(dǎo)學(xué)，不僅能讓學(xué)生對誘導(dǎo)公式的形式產(chǎn)生明確認(rèn)識，還能讓學(xué)生從本源上理解單位圓具有怎樣的意蘊，知道數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)與內(nèi)涵，對誘導(dǎo)公式的來龍去脈形成深刻認(rèn)識，為接下來進一步探索夯實基礎(chǔ)，建立信心.

追根溯源，追的是知識的起源與根源. 單位圓、三角函數(shù)的定義等是誘導(dǎo)公式的起源，而化歸則是誘導(dǎo)公式的思想根源，意圖將任意角的三角函數(shù)問題化歸成銳角的三角函數(shù)問題去分析.

想讓學(xué)生從根本上掌握誘導(dǎo)公式，從學(xué)案導(dǎo)讀到課堂教學(xué)過程，都要從知識的本質(zhì)出發(fā)，切忌流于形式走過場，要引導(dǎo)學(xué)生實實在在地參與知識形成與發(fā)展的過程，積極主動地進行探索與分析，掌握知識的內(nèi)涵.

必要時，還可以借助現(xiàn)代化的教學(xué)手段，如多媒體的應(yīng)用等，在充分保證學(xué)生智力活動的同時，豐富先行組織者，鼓勵學(xué)生在動態(tài)演示中，回歸到知識的本源中去，自主發(fā)現(xiàn)研究對象，在研究過程中抽象出相應(yīng)的知識與技能，真正意義上做到“知其然且知其所以然”. 學(xué)生在此過程中，可獲得良好的思考習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

突出主題，啟發(fā)直觀想象

所謂的直觀想象是從空間想象的角度來感知事物的形態(tài)與變化特征，數(shù)學(xué)中最常見的是用幾何圖形來解決數(shù)學(xué)問題. 直觀想象能力決定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，它對學(xué)生的創(chuàng)新意識形成具有直接影響［2］.

教材上有這樣一個探究課例：若α為給定的角.

問題1：角π+α，π-α的終邊和角α的終邊具有怎樣的聯(lián)系？它們的三角函數(shù)間又存在怎樣的聯(lián)系？

問題2：角α的終邊與角-α的終邊之間具有怎樣的聯(lián)系？它們的三角函數(shù)間又存在怎樣的聯(lián)系？

問題3：角α的終邊與角（π／２）-α的終邊之間具有怎樣的聯(lián)系？它們的三角函數(shù)間又存在怎樣的聯(lián)系？

這三個問題明確了探究方向，為學(xué)生指明了思維視角. 隨著問題的指引與探索，學(xué)生從“數(shù)”出發(fā)，通過對具體問題的考查，探索單位圓的對稱關(guān)系. 結(jié)合以上學(xué)生對三角函數(shù)性質(zhì)的思考與此處的探究活動來看，“思考”是從圓對稱性的角度來發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)，而“探究”是從“數(shù)”與弧度表示角的層面出發(fā)，探索單位圓的對稱關(guān)系.

將“思考”與“探究”結(jié)合在一起分析，想要培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與歸納猜想等核心素養(yǎng)，可在歸納演繹階段續(xù)接以上教學(xué)：①在給定角α的基礎(chǔ)上，設(shè)定它的終邊和單位圓相交于點P（x，y），引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合定義自主寫出三角函數(shù)的代數(shù)表達式；②從單位圓關(guān)于原點O中心對稱出發(fā)進行猜想驗證，學(xué)生獲得對稱點P（-x，-y）與終邊OP的對應(yīng)角π+α及誘導(dǎo)公式二；③仿照以上環(huán)節(jié)，啟發(fā)學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)單位圓關(guān)于x軸、y軸對稱的結(jié)論，獲得誘導(dǎo)公式三和誘導(dǎo)公式四；④應(yīng)用變式引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單位圓關(guān)于直線y=-x對稱，獲得誘導(dǎo)公式五；⑤應(yīng)用角變換，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式六.

完成以上環(huán)節(jié)后，與學(xué)生一起回顧誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)與推理的過程，此時再帶領(lǐng)學(xué)生回到教材上的“探究”活動中來，凸顯“對稱與坐標(biāo)關(guān)系、兩角與誘導(dǎo)公式”的歸納猜想過程，有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

歸納與演繹是數(shù)學(xué)思維的兩個重要方面. 以上課例凸顯出“歸納—演繹”的過程，先從圓的對稱性出發(fā)進行猜想驗證，充分發(fā)揮了直觀想象的重要性，獲得了兩角關(guān)系與坐標(biāo)關(guān)系，讓學(xué)生對坐標(biāo)的幾何意義有了充分認(rèn)識；再從直角坐標(biāo)系中對角、角的始邊以及x軸非負(fù)半軸重合等方面進行分析，通過簡單推理角、坐標(biāo)的關(guān)系后得出誘導(dǎo)公式. 學(xué)生在此過程中，抓住推理的要點，在猜想證明中自然而然地獲得問題的結(jié)論.

圓的對稱性除了與原點、軸對稱有關(guān)，還與角平分線有關(guān). 從求簡角度來看，教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生對單位圓關(guān)于直線y=-x對稱的誘導(dǎo)公式進行探討. 雖然探討過程頗有難度，但從教材所呈現(xiàn)的“探究”問題出發(fā)，可有效地開啟學(xué)生的智慧，對培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力具有促進作用.

在必要時，教師可借助信息技術(shù)的演示功能，凸顯知識的動態(tài)特征，讓學(xué)生在直觀的視覺感受中激發(fā)想象、獲得猜想、建構(gòu)新知，從根本上掌握誘導(dǎo)公式的本質(zhì)，并獲得良好的數(shù)形結(jié)合思想，提高直觀想象的素養(yǎng).

揭露關(guān)聯(lián)，提高數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)據(jù)分析是指從一系列數(shù)據(jù)中，提取有用信息的過程. 誘導(dǎo)公式中存在哪些有用信息，可以將這些信息整合成什么知識呢？當(dāng)學(xué)生獲得誘導(dǎo)公式二、三、四后，教材提出了這樣一個問題：“請用簡潔的語言對誘導(dǎo)公式一到四進行概括，并說說它們各自具備怎樣的作用？”此問的目的在于引導(dǎo)學(xué)生對誘導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)特征進行分析，并為公式的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

從宏觀角度來看，我們可將六組誘導(dǎo)公式視為一個整體，應(yīng)用揭示關(guān)聯(lián)的策略，挖掘公式的價值資源，以促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 理解公式時，教師可引導(dǎo)學(xué)生從以下幾方面著手：①從角α的任意性著手，重新回歸到單位圓的對稱性與周期性進行分析；②通過符號理解將α視為銳角的原因，充分認(rèn)識前四個誘導(dǎo)公式的功能（任意角—0～2π的角—銳角）以及誘導(dǎo)公式五、六的功能與規(guī)律（正弦和余弦函數(shù)互相轉(zhuǎn)化，奇變偶不變，符號看象限），為后期靈活應(yīng)用公式奠定基礎(chǔ).

數(shù)據(jù)具有表達信息的功能，而信息又是數(shù)據(jù)的內(nèi)涵，語言為表達信息的關(guān)鍵. 語言作為用來思維與交流的基本工具，在教學(xué)中應(yīng)用十分廣泛. 數(shù)學(xué)語言與自然語言有著顯著區(qū)別，一般以文字、符號與圖形三種形式呈現(xiàn).

在本節(jié)課中，從挖掘數(shù)據(jù)信息價值的角度來激活數(shù)學(xué)語言的表達、轉(zhuǎn)化與交流，主要體現(xiàn)在：①通過對角α任意性的探索，使得學(xué)生切身體會數(shù)據(jù)信息的價值，獲得“單位圓的對稱性（形）—誘導(dǎo)公式（數(shù)）—單位圓（形）”的認(rèn)識，為數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換奠定基礎(chǔ)；②角變換方法的應(yīng)用，使得學(xué)生從一個新的領(lǐng)域再次領(lǐng)悟數(shù)據(jù)信息的價值，從“角、名、符號”三方面厘清各個誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特征，導(dǎo)引語言轉(zhuǎn)化的視角；③對符號進行分析，學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)據(jù)信息的價值，經(jīng)歷“圖形語言—符號語言—文字語言”的轉(zhuǎn)化過程，有效激活數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換機制.

語言轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)思維的核心，教師將不便思考的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為通俗的語言情境，可有效促進學(xué)生的理解與思維的發(fā)展. 思維能力決定了學(xué)生的整體素養(yǎng)，是實現(xiàn)立德樹人的根本. 必要時，教師可借助多媒體的切換功能，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更豐富的語言情境，活躍學(xué)生的思維，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，建構(gòu)良好的數(shù)據(jù)分析能力，形成結(jié)合數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣.

深化整理，獲得建模能力

數(shù)學(xué)建模是指對問題進行抽象，并用適當(dāng)?shù)恼Z言進行表達與解決問題的過程. 學(xué)習(xí)知識是為了更好地解決實際問題. 誘導(dǎo)公式可以解決哪些實際問題呢？基于這個思考，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從公式的應(yīng)用價值著手，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力. 尤其在課堂尾聲，通過小結(jié)的方式為學(xué)生的課后探究留下懸念，也可以留下變式練習(xí)，鼓勵學(xué)生獨立思考，抽象出求任意角的三角函數(shù)值的步驟與方法.

一個成功的課堂小結(jié)能深化學(xué)生對知識的理解，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生更加深刻的思考與探究. 在本節(jié)課中，小結(jié)環(huán)節(jié)可以從以下幾點做起：①通過對引例的解答，達到前后呼應(yīng)、梳理、深化的目的，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出求任意角的三角函數(shù)值的方法，升華學(xué)生的情感；②回顧探究歷程，厘清知識要點，凝練誘導(dǎo)公式的語言轉(zhuǎn)化與思維模型；③布置研究性任務(wù)，為學(xué)生提供個性化的選項，鼓勵學(xué)生自主獲得數(shù)學(xué)模型.

數(shù)學(xué)模型包括思想模型、應(yīng)用模型與思維模型. 其中思想模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用核心，在必要時，教師可以借助多媒體等手段，改造學(xué)生的思維模型，促進學(xué)生反思，讓學(xué)生不斷完善自身的學(xué)習(xí)方法，促進創(chuàng)新意識與建模能力的發(fā)展.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六要素既具有一定的獨立性，又具有交互性，正是這些特性將它們膠著在一起，形成有機的整體［3］. 從本節(jié)課的教學(xué)策劃、組織、實施與小結(jié)來分析，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)內(nèi)容的特點以及學(xué)生的實際情況，有著密不可分的聯(lián)系. 在實施過程中，教師應(yīng)從局部出發(fā)，逐一突破知識難點，與學(xué)生一起挖掘知識的內(nèi)涵與價值，激發(fā)學(xué)生的潛能.

聯(lián)合國教科文明確指出：“教育是全人類共同核心利益.”由此可見，教育的核心任務(wù)是人文主義精神的教育，是全面可持續(xù)發(fā)展的育人行為. 一線數(shù)學(xué)教師站在教育改革的浪尖上，應(yīng)立足課堂教學(xué)過程，從學(xué)生終身發(fā)展的角度出發(fā)，潛心研究教學(xué)，健全學(xué)生人格，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正意義上實現(xiàn)立德樹人使命.

參考文獻：

［1］ 羅增儒.從數(shù)學(xué)知識的傳授到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（19）：2-7.

［2］ 喻平. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實證研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（06）：1-6.

［3］ 常毓喜. 基于學(xué)科核心素養(yǎng)的2018年高考數(shù)學(xué)試題分析［J］. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（03）：53-58.

作者簡介：李偉偉（1988—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲聊城市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎.