基于“四元五環(huán)”的“平面向量數(shù)量積”教學(xué)設(shè)計(jì)探析

葉誠(chéng)理　林新建　林品玲

［摘? 要］ 教師可以遵循新課標(biāo)理念，依照“四元五環(huán)”教學(xué)法，精心設(shè)計(jì)教學(xué).即教師依循“四元”要素，遵循“情境—探究—體悟—內(nèi)化—應(yīng)用”五個(gè)環(huán)節(jié)實(shí)施教學(xué)，讓學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)學(xué)科基本思想，積累活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)，并學(xué)以致用，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；四元五環(huán)；四基；四能

教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)想

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能可以通過(guò)顯性教學(xué)的方式獲得，而學(xué)科思想、學(xué)科活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則需要學(xué)生通過(guò)參與、思考、體驗(yàn)和表達(dá)獲得，這些是隱性的. 為此，筆者提出了“四元五環(huán)”教學(xué)法，目的在于更好地融合顯性教學(xué)和隱性教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生理解、使用和積累這些隱性的東西，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“四基”協(xié)調(diào)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)全面有效提升.

“四元”是教學(xué)設(shè)計(jì)思路，即教師必須深入理解學(xué)科本質(zhì)，圍繞“知識(shí)明線、知識(shí)暗線、活動(dòng)明線、活動(dòng)暗線”四個(gè)要素設(shè)計(jì)出好的教學(xué)方法，使學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)完整、層次清晰；使學(xué)生領(lǐng)悟?qū)W科基本思想方法，鍛煉和提升學(xué)科思維并逐步發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).

“五環(huán)”是教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)，即為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“四基”協(xié)調(diào)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)全面有效提升，教師應(yīng)依循“四元”要素，遵循“情境—探究—體悟—內(nèi)化—應(yīng)用”五個(gè)環(huán)節(jié)實(shí)施教學(xué)，讓學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)學(xué)科基本思想，積累活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)，并學(xué)以致用，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.數(shù)學(xué)情境——感知向量數(shù)量積的背景

教師：我們學(xué)過(guò)向量的哪些運(yùn)算？結(jié)果是什么？研究的方法是什么？

學(xué)生：我們學(xué)過(guò)向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)果都是向量. 它們都是通過(guò)物理概念抽象概括得到的，比如力的合成與分解可以提煉出向量的加法、減法運(yùn)算.

教師：物理學(xué)中同學(xué)們還學(xué)過(guò)兩個(gè)向量之間的哪種運(yùn)算？（停頓片刻）

學(xué)生：物理學(xué)中學(xué)過(guò)兩個(gè)向量的乘法運(yùn)算，得到的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量即數(shù)量. 比如，在物理課中我們學(xué)過(guò)功的概念：如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖1所示），那么力F所做的功W=Fscosθ，其中θ是F與s的夾角. （用PPT動(dòng)畫(huà)展示）

教師：為什么公式中要乘力與位移夾角的余弦值呢？

學(xué)生：根據(jù)之前學(xué)過(guò)的正交分解知識(shí)，將力沿水平和豎直方向分解，其中豎直方向的分力在水平方向上的位移不做功，只有水平方向上的分力Fcosθ在水平方向上的位移才做功，因此W=Fscosθ.

設(shè)計(jì)意圖 由教師創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生回顧向量的線性運(yùn)算及研究方法，根據(jù)學(xué)生熟悉的物理做功模型，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，直觀感知向量數(shù)量積運(yùn)算的物理背景，為接下來(lái)的向量數(shù)量積概念的提煉奠定基礎(chǔ)知識(shí)和方法.

2.數(shù)學(xué)探究——抽象向量數(shù)量積的特征

教師：通過(guò)做功的物理模型可知，功是力和位移共同作用的結(jié)果.其中，功是一個(gè)標(biāo)量，力和位移是矢量，即兩個(gè)矢量的乘積可以產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)量即數(shù)量，而我們之前學(xué)過(guò)的兩個(gè)向量線性運(yùn)算的結(jié)果還是向量，因此這種運(yùn)算方式是我們之前沒(méi)有學(xué)過(guò)的一種新的運(yùn)算，這給了我們一種啟示：能否把“功”看成某兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)類(lèi)比，把物理學(xué)中的矢量抽象成數(shù)學(xué)中的向量，順利引出向量數(shù)量積的概念，啟發(fā)學(xué)生猜想向量之間是否存在著一種新的運(yùn)算方式即向量的乘法運(yùn)算，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，自然導(dǎo)入主題，抽象向量數(shù)量積的特征，體現(xiàn)特殊與一般思想在向量數(shù)量積概念引入中的應(yīng)用.

追問(wèn)1：由于力做功的計(jì)算公式W=Fscosθ涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角的概念.

已知兩個(gè)非零向量a，b（如圖2所示），O是平面上任意一點(diǎn)，作=a，=b，則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.

追問(wèn)2：兩個(gè)向量的夾角范圍是多少？

師生共同探究，固定向量a，繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)向量b，觀察得出0≤θ≤π.

3. 數(shù)學(xué)體悟——概括向量數(shù)量積的要義

教師：受此啟發(fā)，我們將公式中的力和位移推廣到一般向量，引入一種新的向量乘法運(yùn)算——向量“數(shù)量積”.

規(guī)定：零向量與任意一個(gè)向量的數(shù)量積等于0.（為什么？）

教師：剛才我們學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積的物理意義，那么向量數(shù)量積有沒(méi)有幾何意義呢？

如圖3①所示，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，=a，=b，我們考慮如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A，B，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.

如圖3②所示，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M，則就是向量a在向量b上的投影向量.

探究：如圖3②所示，設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么與e，a，θ之間有怎樣的關(guān)系？

cosθ·e. 師生共同歸納出向量數(shù)量積的幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)作圖，得出向量a在向量b上的投影向量的概念，引入與b同向的單位向量e，構(gòu)建向量a向向量b投影的代數(shù)結(jié)構(gòu)，最終探究出向量數(shù)量積的幾何意義，將兩個(gè)不同方向的向量的數(shù)量積變換為一個(gè)方向上的向量的線性運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)“降維”的目的. 整個(gè)探究過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

4. 數(shù)學(xué)內(nèi)化——辨析向量數(shù)量積的內(nèi)涵

教師：向量數(shù)量積的結(jié)果是什么？

學(xué)生：對(duì)比向量的線性運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)，向量的線性運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量，而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān).

探究：從上面的探究我們看到，兩個(gè)非零向量a與b相互平行或垂直時(shí)，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. 這時(shí)，它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？

師生共同推導(dǎo)出向量數(shù)量積的重要性質(zhì)如下：

設(shè)計(jì)意圖 從向量數(shù)量積的定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從夾角特殊化、向量特殊化的角度，推導(dǎo)出向量數(shù)量積的重要性質(zhì)，探究過(guò)程體現(xiàn)了特殊與一般思想的運(yùn)用. 同時(shí)，這些性質(zhì)的逆用值得關(guān)注，比如性質(zhì)②可以用來(lái)判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，性質(zhì)③可以用來(lái)推導(dǎo)向量的模長(zhǎng)公式，性質(zhì)④可以為高階向量問(wèn)題如證明柯西不等式提供依據(jù)，等等.

教學(xué)設(shè)計(jì)體會(huì)

1. 基于“四能”提出問(wèn)題

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，重視向量數(shù)量積概念的引入過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 新課標(biāo)指出，相對(duì)于結(jié)果，過(guò)程更能反映每個(gè)學(xué)生的發(fā)展變化，體現(xiàn)出學(xué)生的成長(zhǎng)歷程. 在學(xué)生學(xué)過(guò)向量的線性運(yùn)算的情況下，學(xué)生會(huì)自然提出向量的數(shù)乘概念，教師只要稍加引導(dǎo)，就可以引出新知；通過(guò)做功的物理模型可以引出向量數(shù)量積的概念，讓學(xué)生明白研究這種運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)研究的必然，也是客觀世界的需要，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望；之后師生共同剖析概念，探究向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，讓學(xué)生感知向量數(shù)量積的結(jié)果不是向量而是數(shù)，進(jìn)一步熟悉、鞏固向量數(shù)量積的性質(zhì)和應(yīng)用.

2. 基于“四基”設(shè)計(jì)過(guò)程

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，凸顯類(lèi)比思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 一是通過(guò)物理課中功的概念抽象出向量數(shù)量積的概念，二是通過(guò)類(lèi)比數(shù)的乘法運(yùn)算律得到向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 這樣的教學(xué)安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不僅使學(xué)生感到親切自然，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思想以及類(lèi)比創(chuàng)新的意識(shí). 在向量數(shù)量積中，既有長(zhǎng)度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)自主探究，體會(huì)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

3. 基于“認(rèn)知”設(shè)計(jì)探究

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)基于學(xué)生的學(xué)情，采用情境化的教學(xué)模式，以問(wèn)題為載體，做到“三教”：一是教思考，引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中用數(shù)學(xué)眼光觀察物理現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、抽象數(shù)學(xué)概念；二是教體驗(yàn)，用數(shù)學(xué)思維提煉出向量數(shù)量積的概念，辨析與向量線性運(yùn)算的本質(zhì)差別；三是教表達(dá)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 總之，教學(xué)中應(yīng)通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，經(jīng)歷思考、體驗(yàn)與表達(dá)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究的能力［2］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 林新建. 我的教學(xué)主張：自然數(shù)學(xué)［M］. 廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)出版社，2020.

基金項(xiàng)目：教育部福建師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心2021年度開(kāi)放課題“基于核心素養(yǎng)的‘四元五環(huán)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究”（KCZ2021144），福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“基于素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)幾何主題單元教學(xué)策略研究”（FJJKZX22-175）.

作者簡(jiǎn)介：葉誠(chéng)理（1979—），教育碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.