思中悟美 探中尋美 用中拓美

【摘 要】 數(shù)學美育作為數(shù)學教育的一個課程目標，不僅有著重要的育人價值，對課堂變革也有著重要的導向意義，因此，數(shù)學教學應該從問題思考中感受數(shù)學之美，學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；在數(shù)學思想與方法的探究中尋求數(shù)學之美，學會用數(shù)學的思維方式思考現(xiàn)實世界；在應用與實踐中，拓展數(shù)學之美，學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，從而使數(shù)學美育教育在課堂中落地.

【關鍵詞】 感受數(shù)學美;探尋數(shù)學美;拓展數(shù)學美

數(shù)學的高度抽象性決定了數(shù)學美有獨特的性質.我國著名數(shù)學家數(shù)學美的倡導者徐利治教授曾指出：“數(shù)學教育與教學的目的之一，應當讓學生獲得對數(shù)學美的審美能力，從而既有利于激發(fā)他們對數(shù)學科學的愛好，也有助于增長他們的發(fā)明創(chuàng)造能力.” [1] 同時，新課程實施以來，伴隨著數(shù)學課堂教學改革向縱深發(fā)展，認識到在課堂中滲透數(shù)學美育的重要性.盡管如此，如何在課堂教學中有效滲透數(shù)學美育，在策略上還有所欠缺.筆者認為，應將數(shù)學美育教學作為一個課程目標，創(chuàng)設有利于學生感受數(shù)學美、探尋數(shù)學美、拓展數(shù)學美的教學活動，從而讓數(shù)學美育在思考中被感受，在探究中被探尋，在應用中被拓展創(chuàng)新，凸顯數(shù)學學科的個性，讓核心素養(yǎng)在課堂上真實落地.

徐教授還指出：“數(shù)學美的含義是豐富的，如數(shù)學概念的簡單性、統(tǒng)一性，結構系統(tǒng)的協(xié)調性、對稱性，數(shù)學命題與數(shù)學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學中的奇異性都是數(shù)學美的具體內(nèi)容．” [1] 這段話體現(xiàn)出了數(shù)學美的三大特征：簡潔性、統(tǒng)一性和奇異性．筆者結合自己的一堂“浙教版七上乘法公式（2）——完全平方公式”的公開課，談談如何在課堂教學中落實數(shù)學美育教學的策略.

1 內(nèi)容分析

對數(shù)學美的認識，不能停留在靜態(tài)層面，應該在具體的數(shù)學情境、數(shù)學問題和數(shù)學活動中，去感受、探尋、拓展數(shù)學美.“平方差公式”是初中階段學生學習“乘法公式”的第一個公式，完全平方公式是學習的第二個公式，可以類比平方差公式的學習探究教學方法，讓學生了解公式產(chǎn)生的背景，經(jīng)歷公式推導的過程，從公式的探究活動中，讓學生體會從“特殊”到“一般”的探究方法，體會數(shù)形結合及化歸的數(shù)學思想.

2 目標分析

（1）感受數(shù)學美——學生通過一類特殊的多項式乘以多項式的計算，類比、歸納得出完全平方公式，并會用文字語言敘述完全平方公式.在這個過程中，學生感受到數(shù)學符號語言的簡單美，落實運算能力、抽象能力，學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，感悟數(shù)學的審美價值，提高學習數(shù)學的興趣.

（2）探尋數(shù)學美——通過計算觀察、實驗證明等方法探索完全平方公式，在學生經(jīng)歷一個動態(tài)的審美過程中，感悟數(shù)形結合及化歸思想，探尋數(shù)學思想方法的統(tǒng)一美，落實推理能力、直觀想象，學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，發(fā)展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，逐步形成理性精神.

（3）拓展數(shù)學美——通過了解楊輝三角的歷史、研究楊輝三角與兩數(shù)和的乘方的系數(shù)關系以及楊輝三角在生活中的應用，一方面引導學生將已有活動經(jīng)驗、探究策略和思想方法在不同問題情境中進行遷移與應用，拓展數(shù)學美，另一方面將數(shù)學美應用到生活中，學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，不斷增強學生的創(chuàng)造精神和實踐能力，從而達到以美育人的最終目的.3 教學過程

3.1 探新知——感悟數(shù)學美

活動1 用簡便方法計算：

（1）102×98； （2）699×701； （3）203 2 .

設計意圖 前兩個小題可以運用學過的平方差公式解決，目的是復習平方差公式，第（3）題不能用平方差公式簡化計算，那么有沒有其它公式可以簡化計算呢？通過設置問題，引起學生思維碰撞，激發(fā)學生求知需求，同時，在該活動中培養(yǎng)學生對簡潔美的追求.簡潔美是一種最基本，最有效的數(shù)學美.對簡潔美的追求，不僅表現(xiàn)在對數(shù)學對象簡潔合理的表達形式上，還表現(xiàn)在對困難和復雜問題的簡潔解答上 [2] .培養(yǎng)學生探求解題方法的簡潔性、有效性，可激發(fā)學生的發(fā)散性思維和鉆研的興趣，培養(yǎng)他們積極探索和創(chuàng)新的精神，所以說數(shù)學中的簡潔美是優(yōu)化解題思路的內(nèi)驅動力因素之一.

活動2 計算：（1）（3+b）2；（2）（x+1）2.

完成計算后，思考以下問題：

問題1：上述2個算式是怎樣的兩個多項式相乘？

問題2：觀察計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

問題3：猜想對于一般的兩數(shù)和的完全平方也有這個規(guī)律嗎？利用多項式的乘法法則計算（a+b）2；

問題4：公式中的字母a，b可以表示什么？

設計意圖 通過計算讓學生從代數(shù)角度得出兩數(shù)和的完全平方公式，繼而通過4個問題的思考，學生類比歸納得出兩數(shù)和的完全平方公式，感受數(shù)學表達形式的簡潔美，同時教師引導學生了解公式中的a，b不僅可以代表單獨的一個字母，還可以代表單獨的數(shù)字、代數(shù)式，再次感受數(shù)學符號的簡單美，也為（a-b）的推理埋下伏筆.

活動3 再計算：（a－b）2.

完成計算后，思考以下問題：

問題1：嘗試用不同方法計算，并觀察計算結果，你發(fā)現(xiàn)兩數(shù)差的完全平方有什么規(guī)律？

問題2：結合本題計算，完善完全平方公式；

問題3：觀察公式的結構特點，并用語言描述完全平方公式.

設計意圖 一是類比兩數(shù)和的完全平方公式得出兩數(shù)差的完全平方公式，二是引導學生了解兩數(shù)和的完全平方與兩數(shù)差的完全平方公式之間可以相互轉化，即兩數(shù)差的完全平方可轉化為兩數(shù)和的完全平方［a+（－b）］2；在該活動中引導學生建立知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)學的轉化思想，同時，在概括中進一步感受數(shù)學語言的簡潔美、嚴謹美.

以上三個教學活動設計，都是從學生已有的認知出發(fā)，進行自主合作探究完全平方公式，在具體的數(shù)學情境和數(shù)學問題的驅動下，讓學生感受數(shù)學語言的簡潔美，即用簡單的數(shù)字形式和數(shù)學符號表達極為豐富的內(nèi)涵，從而學會用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界，落實運算能力與抽象能力.

3.2 明其理——探尋數(shù)學美

活動4 拼一拼.

準備四張邊長分別為a，b，（a+b），（a-b）的正方形紙片，如圖1.

問題1：動手操作、小組討論，通過圖形拼接探究證明兩數(shù)和的完全平方公式；

學生圖形展示兩數(shù)和的完全平方公式證明，如圖2.

問題2：比較各小組的拼割方式，哪種方法相對簡潔.

設計意圖 活動4的圖形拼接的證明操作中，學生深刻體會到“完全平方”與“圖形面積”、“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，證明方法的多樣性，發(fā)展學生“一題多解”與“多解歸一”的數(shù)學方法統(tǒng)一美，同時，在思考“比較各小組的拼割方式，哪種方法相對簡潔”這個問題中，實踐發(fā)現(xiàn)當將兩個小正方形放在大正方形的對角線位置時，公式的幾何表征最為顯性，計算也最為簡單，讓學生體會數(shù)學圖形的對稱美和簡潔美，發(fā)展學生化繁為簡的思維方式.

活動5 再拼一拼.

問題1：類比兩數(shù)和的完全平方公式，驗證兩數(shù)差的完全平方公式成立；

問題2：完成驗證過程.

學生展示結果，如圖3.

方法１：大正方形面積=a 2 .

方法２：大正方形面積=（a－b）2+2b（a－b）+b2.

因為a2=（a－b）2+2b（a－b）+b2，

所以（a－b）2=a2－2ab+b2.

設計意圖 通過活動5，進一步加強代數(shù)變形能力與數(shù)形結合思想，繼續(xù)體會知識的內(nèi)在聯(lián)系，加強學生轉化與化歸的意識，探尋數(shù)學思想方法的美.

布魯納曾說：“學習者在一定問題情境中經(jīng)歷對學習材料的親身體驗和發(fā)展過程，才是學習的最有價值的東西.”基于這一理論，本環(huán)節(jié)設計的2個活動，目的在于引導學生探尋數(shù)學思想方法的統(tǒng)一美，學會用數(shù)學思維方式思考和分析現(xiàn)實世界，落實推理能力與直觀想象.

3.3 攀其峰——拓展數(shù)學美

活動6 合作探究.

問題1：楊輝三角與兩數(shù)和的乘方的系數(shù)關系

（1）楊輝三角數(shù)學歷史文化介紹及“開方作法本源圖”，如圖4；

（2）計算（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，將結果以a的指數(shù)降冪排列；

（3）右邊式子各項的系數(shù)與楊輝三角有什么關系？如圖5.

問題2：類比楊輝三角探究（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，…，（a+b）n，將結果以a的指數(shù)降冪排列時，每項的系數(shù)有何規(guī)律？

課堂展示結果：

（1）楊輝三角與２的冪的關系：第n行所有數(shù)字的和為2 n ，前n行（含第0行的1）所有數(shù)字的和為2 n+ ?1 -1．

（2）楊輝三角與二項展開式的系數(shù)的關系：（a+b）n的展開式按a的降冪排列，各項系數(shù)恰好是楊輝三角形的第n行的數(shù)字．

總結發(fā)現(xiàn)以上數(shù)字規(guī)律的同時，在引導學生斜看數(shù)字排列，還有什么發(fā)現(xiàn)？可以告訴學生著名的斐波那契數(shù)列也藏在其中．

設計意圖 活動6是課堂的延伸與拓展，探究楊輝三角與兩數(shù)和的乘方的系數(shù)關系，以及自身的數(shù)學規(guī)律，是一種對美的欣賞能力的遷移與拓展，同時也是鍛煉學生通過現(xiàn)象看本質的能力.

活動7 生活中的楊輝三角.

[情境創(chuàng)設]

“媽媽，您高興什么呢？”

“今天茶葉銷售總額又漲了，銷售額已經(jīng)連續(xù)第三天漲了，且發(fā)現(xiàn)每一天的銷售額會比前一天增加10%左右.”

“那我們的銷售額什么時候才能至少翻倍??？”

“要不你算算，假如第一天銷售額為k元．”

小天發(fā)現(xiàn)這個問題就等價于：若連續(xù)n天增長后，銷售額將大于等于２k，求n的最小值，即k（1+10%）n≥2k，求整數(shù)n的最小值．兩邊約去k，n較小時 1+10% n結果如下：

當n=0時，1=1；

當n=1時，1.1=1.1；

當n=2時，1.1×1.1=1.21；

當n=3時，1.1×1.1×1.1=1.331；

當n=4時，1.1×1.1×1.1×1.1=1.461.

出現(xiàn)了神奇的“楊輝三角”．

設計意圖 活動7是楊輝三角數(shù)字規(guī)律的應用，體現(xiàn)了運用數(shù)學美的意識，同時，讓學生感悟數(shù)學的意義與價值，有意識地使用真實結論表達、解釋與分析現(xiàn)實世界中的問題；欣賞數(shù)學規(guī)律的簡潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學的語言表達與交流的習慣，形成跨學科的應用意識與實踐能力.

此外，對楊輝三角歷史文化介紹，也讓學生感受到了中國歷史文化的博大精深，陶冶了情操，達到了拓美育人、創(chuàng)美育人的課程目標.4 教學反思

本節(jié)課基于學生認知規(guī)律，引導學生經(jīng)歷感受美、探尋美、拓展美的過程，從而發(fā)現(xiàn)事物所蘊含的數(shù)學知識、數(shù)學規(guī)律、數(shù)學方法.在啟發(fā)引導、問題思考中，感受數(shù)學的簡潔美，在直觀演示、類比歸納中，發(fā)展數(shù)學方法思維的統(tǒng)一美，最后通過楊輝三角數(shù)字規(guī)律的探索與應用，提升學生審美、用美和創(chuàng)美意識.

4.1 感受美，獲得基礎知識與基本技能，學會用數(shù)學眼光觀察世界

在感受美階段，要讓學生充分經(jīng)歷“雙基”獲得過程，如數(shù)學概念、法則、性質的抽象歸納過程，感受數(shù)學的簡潔美，學會用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界，這一點與教材內(nèi)容呈現(xiàn)上是不謀而合的.如初中階段運算教學，有理數(shù)的加法法則、有理數(shù)乘法法則是從現(xiàn)實問題和規(guī)律探索中抽象歸納得到的，有理數(shù)減法、除法、開方是作為加法、乘法、乘方的逆運算得到的.在代數(shù)式的運算中合并同類項法則是類比有理數(shù)的加法運算得到的，后續(xù)的冪運算法則、整式乘法法則都是從特殊到一般歸納得到的，冪運算法則還根據(jù)冪的意義進行了推導，乘法法則轉化為已經(jīng)學過的法則進行推導，仔細分析這些法則大致經(jīng)過了“感知—分析—概括—表述”四個階段，也就是感受數(shù)學簡潔美的過程.

4.2 探尋美，積累基本經(jīng)驗與基本思想，學會用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界

要實現(xiàn)這一教學目標，教師應該認真研讀課程標準，深入研讀教材，揣摩教材的編寫意圖，體會教材如何承載課程目標，實施整體單元教學，不僅要關注數(shù)學知識本身，而且要思考知識背后蘊含的數(shù)學本質，包括數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學規(guī)律的形成過程.單元整體教學要立足整個單元的角度對教材進行全方位的解讀，從數(shù)學知識的生成角度思考學生獲數(shù)學知識的路徑和方法，這種知識獲得的過程也是基本經(jīng)驗與基本思想的積累過程，探尋數(shù)學思想方法的統(tǒng)一美，學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.

4.3 拓美與創(chuàng)美，加強應用與創(chuàng)新意識，學會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界

培養(yǎng)學生創(chuàng)造性解決數(shù)學問題的能力，是數(shù)學課堂教學的追求.《數(shù)學課程標準》指出：“教師應整體設計、分步實施數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動，引導學生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實施到整體構想.”筆者認為這就是一個拓展并一定程度創(chuàng)造數(shù)學美的過程，教師應立足學生的“四基”，分層設計活動，結合教材開展課題學習或項目化學習，給學生留有足夠的時間和空間，讓學生自主探究和合作操作，進一步深化對數(shù)學概念、規(guī)律簡潔美的感悟，對數(shù)學思想方法統(tǒng)一美的理解，從而使教學走向生活，實現(xiàn)應用美、創(chuàng)造美，培養(yǎng)用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的能力.

參考文獻

[1]陳向陽，王國興.論數(shù)學美育在中學數(shù)學教學中的滲透[J].數(shù)學教學研究，2012（02）：45-47.

[2]郭亞君，申玉發(fā)，鄭國萍，等.寓美育于數(shù)學教育教學之中的認知與實踐[J].河北科技師范學院學報（社會科學版），2004（06）：48-52.

作者簡介 李燕芬（1984—），女，浙江安吉人，中學高級教師，浙江省湖州市教學能手，浙江省安吉縣學科帶頭人，縣班主任工作室領銜人;主要從事初中數(shù)學教學研究;發(fā)表論文數(shù)篇.