高 波 王永佳 李慶峰,3 李保春
1(山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院 太原 030006)
2(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院 湖州 313000)
3(中國(guó)科學(xué)院近代物理研究所 蘭州 730000)
核物質(zhì)狀態(tài)方程描述核子能量或者壓強(qiáng)與核物質(zhì)密度、同位旋不對(duì)稱度等物理量的熱力學(xué)關(guān)系,它是重離子碰撞領(lǐng)域關(guān)注的重要內(nèi)容之一[1-4]?;诩铀倨餮b置的重離子實(shí)驗(yàn),是地球上產(chǎn)生極端高溫、高密核物質(zhì)的唯一途徑,因而成為研究核物質(zhì)狀態(tài)方程的最主要的手段之一[5-9]。由于重離子碰撞是十分復(fù)雜的非平衡動(dòng)力學(xué)過(guò)程,且反應(yīng)時(shí)間很快,產(chǎn)生的高密核物質(zhì)存在的時(shí)間極短,因此,目前還不能通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量核物質(zhì)的相關(guān)性質(zhì)[10-13]。重離子碰撞實(shí)驗(yàn)結(jié)合輸運(yùn)模型是目前提取核物質(zhì)狀態(tài)方程最常用的方法[14-17]。
集體流是從中能重離子碰撞提取核物質(zhì)狀態(tài)方程最重要的觀測(cè)量之一,它表征的是粒子在碰撞過(guò)程中擠壓膨脹后集體運(yùn)動(dòng)的情況[18-22]。由于其能夠間接反映出重離子碰撞過(guò)程中產(chǎn)生高密核物質(zhì)的相關(guān)信息,因此在理論和實(shí)驗(yàn)上都得到了廣泛的研究。集體流有兩種常見(jiàn)形式:直接流(或稱橫向流)和橢圓流(或稱擠出流),它們可以通過(guò)對(duì)反映末態(tài)粒子在動(dòng)量空間方位角分布進(jìn)行傅立葉展開而得到。直接流(v1)反映了粒子在反應(yīng)平面(由束流方向z軸和碰撞參數(shù)所在的方向x軸確定)內(nèi)的集體運(yùn)動(dòng),定義為;而橢圓流(v2)則反映粒子在出平面(垂直于反應(yīng)平面,由x軸和y軸構(gòu)成)的運(yùn)動(dòng)情況,定義為。這里尖括號(hào)··· 表示對(duì)所有粒子求平均。v1和v2都與碰撞體系、碰撞參數(shù)、碰撞能量、粒子種類等因素有關(guān)。對(duì)于對(duì)稱體系(彈核與靶核相同)的碰撞,v1和v2都與快度和橫動(dòng)量有關(guān),且它們分別是快度的奇函數(shù)和偶函數(shù)。當(dāng)粒子更傾向于在平面(xoz平面)出射時(shí),x軸方向的動(dòng)量較大,v1隨快度呈現(xiàn)單調(diào)遞增的變化趨勢(shì),且其中心快度的斜率為正;當(dāng)被擠壓的核物質(zhì)膨脹時(shí)受到旁觀者(非重疊區(qū)域)的阻止,便會(huì)出現(xiàn)沿著出平面擠壓的趨勢(shì),導(dǎo)致更多粒子更傾向于出平面出射(xoy平面),y軸方向的動(dòng)量較大,此時(shí)v2在中心快度的值為負(fù)值。v1隨快度變化的斜率以及v2在中心快度區(qū)值的變化是實(shí)驗(yàn)和理論重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象。
v2能夠反映重離子碰撞中形成的高密核物質(zhì)的性質(zhì),因此成為多個(gè)重離子碰撞能區(qū)重點(diǎn)研究的觀測(cè)量之一[23-28]?;谖覀冎暗难芯堪l(fā)現(xiàn),通過(guò)定量地分析平均場(chǎng)和核子-核子碰撞對(duì)v2的貢獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)初始時(shí)費(fèi)米動(dòng)量也可能對(duì)v2有一定的影響,因此分析有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量對(duì)v2的影響是十分有必要[29]。在本工作中,基于極端相對(duì)論量子分子動(dòng)力學(xué)(Ultrarelativistic Quantum Molecular Dynamics,UrQMD)模型,通過(guò)反向追蹤反應(yīng)末態(tài)處在中心快度區(qū)(|y0|<0.1)的自由核子隨時(shí)間的演化過(guò)程,探究初態(tài)原子核有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)對(duì)v2形成和演化的影響。
最早的UrQMD 模型始于20 世紀(jì)90 年代的法蘭克福大學(xué)[30]。在此基礎(chǔ)上發(fā)展了一系列的版本,如級(jí)聯(lián)模式(Cascade)、平均場(chǎng)(Mean-field)和C 版本等。通過(guò)對(duì)UrQMD模型不斷改進(jìn)和完善,目前,在UrQMD 模型中可以考慮70 種重子、39 種介子以及它們的反粒子。它可以用來(lái)研究從費(fèi)米能區(qū)到LHC(Large Hadron Collider)能區(qū)范圍內(nèi)的重離子碰撞反應(yīng)。UrQMD 模型主要包括初始化、平均場(chǎng)、碰撞項(xiàng)、碎片構(gòu)建等幾部分。在彈靶核的初始化中,主要是對(duì)參與重離子碰撞反應(yīng)的核子進(jìn)行坐標(biāo)初始化和動(dòng)量初始化。在原子核內(nèi)核子坐標(biāo)的初始化中,每個(gè)核子都被認(rèn)為是具有一定寬度的高斯波包,并且高斯波包中心的坐標(biāo)應(yīng)在以半徑R=1.12A1/3fm的圓球中抽取,其中:A為質(zhì)量數(shù)。而原子核中核子的動(dòng)量初始化以費(fèi)米氣體模型為基礎(chǔ),在以費(fèi)米動(dòng)量為半徑的費(fèi)米球內(nèi)隨機(jī)抽取。同時(shí),初始化時(shí)核子的坐標(biāo)和動(dòng)量必須滿足一定的約束條件(如結(jié)合能與實(shí)驗(yàn)值接近等)才可以更好地模擬重離子碰撞反應(yīng)。在平均場(chǎng)中,核子的坐標(biāo)和動(dòng)量的動(dòng)力學(xué)演化遵循哈密頓正則方程:
式中:H為系統(tǒng)總的哈密頓量,可以寫為以下形式:
式中:U為兩體相互作用勢(shì)能;這里i表示第i個(gè)核子。
在中能重離子碰撞中,采用如下形式的密度依賴和動(dòng)量依賴的相關(guān)勢(shì)[31-32]:
本文中UrQMD 模型參數(shù)分別設(shè)置為α=-398MeV,β=334MeV,γ=1.14,tmd=1.57MeV 并且amd=500c2·GeV-2,其中,pi-pj表示在相空間中兩個(gè)粒子之間的動(dòng)量差,從而得到一個(gè)核物質(zhì)不可壓縮系數(shù)K0=200MeV較軟的動(dòng)量依賴的狀態(tài)方程[33]。對(duì)稱勢(shì)來(lái)源于SV-sym34相互作用,則其對(duì)應(yīng)的對(duì)稱能斜率參數(shù)為81.2MeV[34]。對(duì)于碰撞項(xiàng)部分,主要包括泡利阻塞和核核碰撞截面兩部分。由于核子間的碰撞會(huì)受周圍介質(zhì)的影響,UrQMD模型中引入了密度、動(dòng)量以及同位旋依賴的介質(zhì)修正。又因?yàn)楹俗邮琴M(fèi)米子,因此引入了泡利阻塞效應(yīng)。具體的計(jì)算細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)[35]。最后,對(duì)于碎片的構(gòu)建方式使用同位旋依賴的最小生成樹的方法(isospin-Minimum Spanning Tree,iso-MST)。當(dāng)兩個(gè)核子都為質(zhì)子時(shí),在相空間距離滿足ΔRij<2.8fm,而兩個(gè)核子都為中子或者質(zhì)子-中子組合時(shí),需滿足ΔRij<3.8fm,且Δpij<0.25 GeV·c-1,這兩個(gè)核子就被看作在同一個(gè)碎片中[36]。研究發(fā)現(xiàn),基于上面合適的參數(shù)選擇,UrQMD模型對(duì)發(fā)表的中能重離子碰撞中的多個(gè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)量都能給出較好的描述[37-38]。在UrQMD模型的框架下,每個(gè)核子的動(dòng)量可以通過(guò)平均場(chǎng)或核子-核子間的碰撞來(lái)改變。作為一個(gè)微觀多體輸運(yùn)模型,UrQMD模型可以分別記錄每個(gè)核子在平均場(chǎng)和核子-核子碰撞中的動(dòng)量變化。由核子-核子間的碰撞引起的v2的變化可以計(jì)算為:
由平均場(chǎng)引起的v2的變化可以計(jì)算為:
在本次研究中Δt設(shè)置為1fm·c-1。綜上,可以得到v2的變化如下:
本工作中模擬了無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量的情形時(shí),碰撞參數(shù)b=6fm且束流能量Elab=0.4A GeV 和Elab=0.8A GeV 的Au+Au 碰 撞。通過(guò)在整個(gè)碰撞過(guò)程中反向追蹤反應(yīng)末態(tài)處在中心快度區(qū)(|y0|<0.1)的自由核子,研究這些追蹤核子的v2的演化。圖1中(a1~d1)和(a3~d3)分別給出了當(dāng)束流能量為0.4A GeV 時(shí)在不考慮費(fèi)米動(dòng)量和考慮費(fèi)米動(dòng)量情形時(shí),當(dāng)t為0fm·c-1、10fm·c-1、16fm·c-1、30fm·c-1不同時(shí)刻下的情形。其中,帶箭頭的實(shí)心圓點(diǎn)表示追蹤的核子,而圓圈表示其他核子。箭頭表示動(dòng)量矢量(px,pz)的方向。隨機(jī)選取10個(gè)事件的結(jié)果。可以看出,在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量的情況下,在t=0fm·c-1時(shí)刻,初始時(shí)沒(méi)有x和y方向上的動(dòng)量,所以彈靶核的追蹤核子朝著彼此平行方向運(yùn)動(dòng)。隨著碰撞反應(yīng)的進(jìn)行,兩原子核相互靠近,在t=16fm·c-1時(shí),密度壓縮程度達(dá)到最大。由于較強(qiáng)的引力吸引使得核子相互聚攏,所以,此時(shí)的散點(diǎn)圖明顯較小。隨著反應(yīng)的繼續(xù),原子核開始膨脹,有更多的核子開始朝著垂直反應(yīng)平面的方向運(yùn)動(dòng)。
圖1中(a2~d2)和(a4~d4)分別給出了當(dāng)束流能量為0.8A GeV時(shí),在不考慮費(fèi)米動(dòng)量和考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形下,當(dāng)t為0fm·c-1、8fm·c-1、10fm·c-1、24fm·c-1不同時(shí)刻下追蹤核子在反應(yīng)平面內(nèi)的位置和動(dòng)量方向的情形。在這兩個(gè)能量下,展示出的基本規(guī)律都相同,束流能量越高則粒子的時(shí)間演化進(jìn)程越快,費(fèi)米動(dòng)量的影響則越小。在0.4A GeV 時(shí),有費(fèi)米動(dòng)量的情形下平均每個(gè)事件追蹤的核子數(shù)為14.7,而不考慮費(fèi)米動(dòng)量時(shí),追蹤的核子數(shù)為9.6;而當(dāng)束流能量為0.8A GeV時(shí),有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量平均每個(gè)事件追蹤的核子數(shù)分別為19.2和16.2。這是因?yàn)橛匈M(fèi)米動(dòng)量時(shí)發(fā)生的碰撞數(shù)更多,導(dǎo)致更多的核子在反應(yīng)末態(tài)時(shí)處在中心快度區(qū)(|y0|<0.1)中。
如圖2(a~f)分別為無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量的情況下,標(biāo)記核子以及pt動(dòng)量相關(guān)量隨時(shí)間演化的平均值??梢钥闯觯诔跏紩r(shí)刻,這些量(除之外)在有費(fèi)米動(dòng)量的情況下都大于沒(méi)有費(fèi)米動(dòng)量下的結(jié)果。隨著反應(yīng)的進(jìn)行,這些量都逐漸開始變化。在t小于5fm·c-1左右時(shí),這些量的變化都十分緩慢,這是因?yàn)閺棸泻碎_始相互靠近,核子間的碰撞還沒(méi)有發(fā)生,在平均場(chǎng)的影響下,這些量緩慢變化。在5~30fm·c-1之間,因?yàn)楹俗优鲎查_始發(fā)生,引起這些量劇烈變化。而在30fm·c-1之后,由于核子都遠(yuǎn)離彼此,碰撞幾乎不再發(fā)生,所以這些量只在末態(tài)相互作用影響下緩慢變化。對(duì)于圖2(d)中所示的,有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)它的變化趨勢(shì)有很大不同。從初始時(shí)刻到約t=15fm·c-1,無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)給出的都在0 附近,這表明這一時(shí)期平均場(chǎng)和碰撞的作用幾乎為各向同性。當(dāng)15fm·c-1<t<25fm·c-1時(shí),無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)給出的迅速下降,這是由于周圍旁觀核子的阻擋所導(dǎo)致,這可以清楚地從圖1的(c1)看出。在有一半費(fèi)米動(dòng)量時(shí)追蹤核子的和pt隨時(shí)間的變化情形和有費(fèi)米動(dòng)量的變化規(guī)律基本都相同,但起點(diǎn)卻不同,這是因?yàn)槌跏紩r(shí)費(fèi)米動(dòng)量變?yōu)樵瓉?lái)的一半,所以,這些量)變?yōu)樵瓉?lái)的1/4,而pt的起點(diǎn)則變?yōu)橛匈M(fèi)米動(dòng)量時(shí)的1/2。
圖2 當(dāng)束流能量為Elab= 0.4A GeV時(shí),考慮無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量的情形時(shí),追蹤核子的隨時(shí)間的演化Fig.2 Time evolution of, andpt of traced nucleons calculated without Fermi momentum,with Fermi momentum, and with half-Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.4A GeV
當(dāng)束流能量為0.4A GeV時(shí),追蹤核子的v2隨時(shí)間的變化顯示在圖3(a)中。可以看出,在反應(yīng)初期,沒(méi)有費(fèi)米動(dòng)量的情況下,v2的值為正,且隨著時(shí)間的變化顯著增加,這是因?yàn)樵诮咏柡兔芏拳h(huán)境下,平均場(chǎng)的吸引導(dǎo)致核子沿著出平面的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)被壓制;隨著反應(yīng)的進(jìn)行,v2快速地降低,在反應(yīng)末態(tài)時(shí),v2的值幾乎是有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)的兩倍。這是由于旁觀核子強(qiáng)的阻礙效應(yīng)所導(dǎo)致,因?yàn)闆](méi)有費(fèi)米動(dòng)量時(shí),核子幾乎都以恒定的速度沿z軸運(yùn)動(dòng),對(duì)重疊區(qū)域出射的粒子形成了很強(qiáng)的阻塞。在反應(yīng)的末期(t>30fm·c-1),v2幾乎都不再隨時(shí)間變化,這是因?yàn)樘幱谥行目於葏^(qū)的追蹤核子早已遠(yuǎn)離碰撞區(qū)域,只受到很弱的末態(tài)相互作用的影響。如圖3(a)所示,當(dāng)在初始化時(shí)考慮有一半費(fèi)米動(dòng)量的情形時(shí),在反應(yīng)初期(t<5fm·c-1)核子將同時(shí)受到平均場(chǎng)貢獻(xiàn)和初始時(shí)(一半)費(fèi)米動(dòng)量貢獻(xiàn)的影響,但平均場(chǎng)在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)動(dòng)量的改變非常小,不足以影響初始時(shí)(一半)費(fèi)米動(dòng)量的px和py。因此,初始時(shí)考慮費(fèi)米動(dòng)量和考慮一半費(fèi)米動(dòng)量的v2隨時(shí)間的演化相接近。而在初始時(shí)不考慮費(fèi)米動(dòng)量的反應(yīng)初期(t<5fm·c-1),v2的緩慢變化完全是由于平均場(chǎng)作用造成的影響。對(duì)比圖3(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn),在這兩個(gè)不同的束流能量下,v2隨時(shí)間的演化規(guī)律基本相同,但在束流能量為0.8A GeV 的反應(yīng)后期(t>20fm·c-1)時(shí),不考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形和考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形相比,兩者v2的差異相對(duì)較小,這是因?yàn)楫?dāng)束流能量較高時(shí),初態(tài)費(fèi)米動(dòng)量貢獻(xiàn)的影響逐漸減弱。
圖3 (a) 在束流能量為Elab= 0.4A GeV時(shí),追蹤核子的v2在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量時(shí)隨時(shí)間的演化,(b) 當(dāng)束流能量為Elab= 0.8A GeV時(shí),追蹤核子的v2在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量和有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)隨時(shí)間的演化Fig.3 (a) Time evolution of v2 of traced nucleons calculated without Fermi momentum, with Fermi momentum, and with half-Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.4A GeV, (b) time evolution of v2 of traced nucleons without Fermi momentum and with Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.8A GeV
圖4是束流能量為0.4A GeV和0.8A GeV時(shí),在考慮費(fèi)米動(dòng)量和不考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形下,平均場(chǎng)和核子-核子碰撞對(duì)v2的貢獻(xiàn)隨時(shí)間的變化??梢钥吹剑谑髂芰繛?.4A GeV 時(shí)的反應(yīng)初期,為零,這是因?yàn)樵诖耸髂芰肯?,彈靶核的需要大約5fm·c-1才能接近彼此。隨著反應(yīng)的進(jìn)行,在兩種情況下,都小于0,說(shuō)明核核碰撞會(huì)增加橢圓流的強(qiáng)度,與之前的研究相一致。而的值與有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量密切相關(guān)。在不考慮費(fèi)米動(dòng)量時(shí),由于強(qiáng)的吸引,在碰撞達(dá)到最大壓縮密度(t=16fm·c-1,當(dāng)束流能量為0.4A GeV 時(shí))之前都為正值,隨后在高密環(huán)境中,轉(zhuǎn)為排斥,變?yōu)樨?fù)值。對(duì)比有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量的結(jié)果可以知道,初態(tài)核子動(dòng)量的改變會(huì)影響整個(gè)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程,導(dǎo)致和都產(chǎn)生巨大變化,最后引起橢圓流的改變。束流能量為0.8A GeV時(shí),和隨時(shí)間的演化和束流能量為0.4A GeV的規(guī)律都基本相同,但表現(xiàn)出更快的反應(yīng)歷程和更大的和值,這是因?yàn)槭髂芰吭酱螅瑥棸泻私佑|所用的時(shí)間越短,核子-核子碰撞越激烈,則有更快的反應(yīng)進(jìn)程和更大的和值。
圖4 束流能量為Elab= 0.4A GeV時(shí),追蹤核子在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量(a)和有費(fèi)米動(dòng)量(b)的情形下,和隨時(shí)間的演化,(a1, b1)束流能量為Elab= 0.8A GeV時(shí)的結(jié)果,線是指通過(guò)計(jì)算點(diǎn)光滑得到的實(shí)線Fig.4 Time evolution of(t) and(t) of traced nucleons calculated (a) without Fermi momentum and (b) with Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.4A GeV. (a1, b1) The same as the left panels but at a beam energy of Elab= 0.8A GeV. The lines are smooth curves fitted through the calculated points.
核子間碰撞數(shù)隨時(shí)間的演化,對(duì)理解橢圓流的形成至關(guān)重要。追蹤核子在有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)平均每個(gè)事件經(jīng)歷的碰撞數(shù)隨時(shí)間的演化如圖5所示??梢钥闯鲈诔跏蓟瘯r(shí)考慮費(fèi)米動(dòng)量,核子有更大的概率參與碰撞(見(jiàn)圖1的討論)。隨著彈靶核的相互靠近,核子-核子碰撞的增強(qiáng),導(dǎo)致碰撞數(shù)也逐漸增加。當(dāng)t=50fm·c-1時(shí),核子已開始相互遠(yuǎn)離,則碰撞數(shù)也幾乎不再隨時(shí)間變化。
圖5 束流能量為Elab=0.4A GeV時(shí),追蹤核子在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量和有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)平均每個(gè)事件經(jīng)歷的碰撞數(shù)隨時(shí)間的演化Fig.5 Time evolution of the number of collisions per event experienced by traced nucleons with and without Fermi momentum at a beam energy of Elab=0.4A GeV
基于極端相對(duì)論量子分子動(dòng)力學(xué)(UrQMD)輸運(yùn)模型,以束流能量為每核子0.4 GeV 和0.8 GeV、碰撞參數(shù)為6fm的Au+Au碰撞為例,通過(guò)在整個(gè)反應(yīng)過(guò)程反向追蹤反應(yīng)末態(tài)在中心快度區(qū)(|y0| < 0.1)核子的橢圓流v2隨時(shí)間的演化,探究了初始化時(shí)無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量對(duì)橢圓流的影響。計(jì)算結(jié)果表明:當(dāng)束流能量為0.4A GeV、無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)中心快度區(qū)的標(biāo)記核子數(shù)約為9.6,而有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)的標(biāo)記核子數(shù)約為14.7,這是因?yàn)榭紤]費(fèi)米動(dòng)量后,核子碰撞概率會(huì)顯著增加,導(dǎo)致更多的核子停留在中心快度區(qū)。而前者的v2是后者v2的兩倍,這是由于無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí),旁觀核子有更強(qiáng)的阻塞效應(yīng)所導(dǎo)致。這一結(jié)果表明,在初始時(shí)細(xì)致考慮費(fèi)米動(dòng)量非常有必要。
通過(guò)反向追蹤辦法,可以細(xì)致計(jì)算粒子在重離子碰撞中受到平均場(chǎng)、核核碰撞的影響情況,從而定量分析各個(gè)因素對(duì)觀測(cè)量的影響。下一步將繼續(xù)探索不同的快度和橫動(dòng)量窗口對(duì)橢圓流演化的影響,這將為細(xì)致了解重離子碰撞的動(dòng)力學(xué)過(guò)程以及利用橢圓流約束核狀態(tài)方程提供幫助。
致謝 感謝湖州師范學(xué)院C3S2 計(jì)算中心的大力支持。
作者貢獻(xiàn)聲明高波負(fù)責(zé)文章的起草和程序的模擬及資料的收集整理;王永佳負(fù)責(zé)研究的提出及設(shè)計(jì);李慶峰負(fù)責(zé)最終版本的修訂;李保春負(fù)責(zé)版本的修改。