費(fèi)米動(dòng)量對(duì)中能重離子碰撞橢圓流的影響

高 波 王永佳 李慶峰,3 李保春

1（山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院 太原 030006）

2（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院 湖州 313000）

3（中國(guó)科學(xué)院近代物理研究所 蘭州 730000）

核物質(zhì)狀態(tài)方程描述核子能量或者壓強(qiáng)與核物質(zhì)密度、同位旋不對(duì)稱度等物理量的熱力學(xué)關(guān)系，它是重離子碰撞領(lǐng)域關(guān)注的重要內(nèi)容之一［1-4］?；诩铀倨餮b置的重離子實(shí)驗(yàn)，是地球上產(chǎn)生極端高溫、高密核物質(zhì)的唯一途徑，因而成為研究核物質(zhì)狀態(tài)方程的最主要的手段之一［5-9］。由于重離子碰撞是十分復(fù)雜的非平衡動(dòng)力學(xué)過(guò)程，且反應(yīng)時(shí)間很快，產(chǎn)生的高密核物質(zhì)存在的時(shí)間極短，因此，目前還不能通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量核物質(zhì)的相關(guān)性質(zhì)［10-13］。重離子碰撞實(shí)驗(yàn)結(jié)合輸運(yùn)模型是目前提取核物質(zhì)狀態(tài)方程最常用的方法［14-17］。

集體流是從中能重離子碰撞提取核物質(zhì)狀態(tài)方程最重要的觀測(cè)量之一，它表征的是粒子在碰撞過(guò)程中擠壓膨脹后集體運(yùn)動(dòng)的情況［18-22］。由于其能夠間接反映出重離子碰撞過(guò)程中產(chǎn)生高密核物質(zhì)的相關(guān)信息，因此在理論和實(shí)驗(yàn)上都得到了廣泛的研究。集體流有兩種常見(jiàn)形式：直接流（或稱橫向流）和橢圓流（或稱擠出流），它們可以通過(guò)對(duì)反映末態(tài)粒子在動(dòng)量空間方位角分布進(jìn)行傅立葉展開而得到。直接流（v1）反映了粒子在反應(yīng)平面（由束流方向z軸和碰撞參數(shù)所在的方向x軸確定）內(nèi)的集體運(yùn)動(dòng)，定義為；而橢圓流（v2）則反映粒子在出平面（垂直于反應(yīng)平面，由x軸和y軸構(gòu)成）的運(yùn)動(dòng)情況，定義為。這里尖括號(hào)··· 表示對(duì)所有粒子求平均。v1和v2都與碰撞體系、碰撞參數(shù)、碰撞能量、粒子種類等因素有關(guān)。對(duì)于對(duì)稱體系（彈核與靶核相同）的碰撞，v1和v2都與快度和橫動(dòng)量有關(guān)，且它們分別是快度的奇函數(shù)和偶函數(shù)。當(dāng)粒子更傾向于在平面（xoz平面）出射時(shí)，x軸方向的動(dòng)量較大，v1隨快度呈現(xiàn)單調(diào)遞增的變化趨勢(shì)，且其中心快度的斜率為正；當(dāng)被擠壓的核物質(zhì)膨脹時(shí)受到旁觀者（非重疊區(qū)域）的阻止，便會(huì)出現(xiàn)沿著出平面擠壓的趨勢(shì)，導(dǎo)致更多粒子更傾向于出平面出射（xoy平面），y軸方向的動(dòng)量較大，此時(shí)v2在中心快度的值為負(fù)值。v1隨快度變化的斜率以及v2在中心快度區(qū)值的變化是實(shí)驗(yàn)和理論重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象。

v2能夠反映重離子碰撞中形成的高密核物質(zhì)的性質(zhì)，因此成為多個(gè)重離子碰撞能區(qū)重點(diǎn)研究的觀測(cè)量之一［23-28］?；谖覀冎暗难芯堪l(fā)現(xiàn)，通過(guò)定量地分析平均場(chǎng)和核子-核子碰撞對(duì)v2的貢獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)初始時(shí)費(fèi)米動(dòng)量也可能對(duì)v2有一定的影響，因此分析有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量對(duì)v2的影響是十分有必要［29］。在本工作中，基于極端相對(duì)論量子分子動(dòng)力學(xué)（Ultrarelativistic Quantum Molecular Dynamics，UrQMD）模型，通過(guò)反向追蹤反應(yīng)末態(tài)處在中心快度區(qū)（|y0|＜0.1）的自由核子隨時(shí)間的演化過(guò)程，探究初態(tài)原子核有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)對(duì)v2形成和演化的影響。

1 UrQMD模型

最早的UrQMD 模型始于20 世紀(jì)90 年代的法蘭克福大學(xué)［30］。在此基礎(chǔ)上發(fā)展了一系列的版本，如級(jí)聯(lián)模式（Cascade）、平均場(chǎng)（Mean-field）和C 版本等。通過(guò)對(duì)UrQMD模型不斷改進(jìn)和完善，目前，在UrQMD 模型中可以考慮70 種重子、39 種介子以及它們的反粒子。它可以用來(lái)研究從費(fèi)米能區(qū)到LHC（Large Hadron Collider）能區(qū)范圍內(nèi)的重離子碰撞反應(yīng)。UrQMD 模型主要包括初始化、平均場(chǎng)、碰撞項(xiàng)、碎片構(gòu)建等幾部分。在彈靶核的初始化中，主要是對(duì)參與重離子碰撞反應(yīng)的核子進(jìn)行坐標(biāo)初始化和動(dòng)量初始化。在原子核內(nèi)核子坐標(biāo)的初始化中，每個(gè)核子都被認(rèn)為是具有一定寬度的高斯波包，并且高斯波包中心的坐標(biāo)應(yīng)在以半徑R=1.12A1/3fm的圓球中抽取，其中：A為質(zhì)量數(shù)。而原子核中核子的動(dòng)量初始化以費(fèi)米氣體模型為基礎(chǔ)，在以費(fèi)米動(dòng)量為半徑的費(fèi)米球內(nèi)隨機(jī)抽取。同時(shí)，初始化時(shí)核子的坐標(biāo)和動(dòng)量必須滿足一定的約束條件（如結(jié)合能與實(shí)驗(yàn)值接近等）才可以更好地模擬重離子碰撞反應(yīng)。在平均場(chǎng)中，核子的坐標(biāo)和動(dòng)量的動(dòng)力學(xué)演化遵循哈密頓正則方程：

式中：H為系統(tǒng)總的哈密頓量，可以寫為以下形式：

式中：U為兩體相互作用勢(shì)能；這里i表示第i個(gè)核子。

在中能重離子碰撞中，采用如下形式的密度依賴和動(dòng)量依賴的相關(guān)勢(shì)［31-32］：

本文中UrQMD 模型參數(shù)分別設(shè)置為α=-398MeV，β=334MeV，γ=1.14，tmd=1.57MeV 并且amd=500c2·GeV-2，其中，pi-pj表示在相空間中兩個(gè)粒子之間的動(dòng)量差，從而得到一個(gè)核物質(zhì)不可壓縮系數(shù)K0=200MeV較軟的動(dòng)量依賴的狀態(tài)方程［33］。對(duì)稱勢(shì)來(lái)源于SV-sym34相互作用，則其對(duì)應(yīng)的對(duì)稱能斜率參數(shù)為81.2MeV［34］。對(duì)于碰撞項(xiàng)部分，主要包括泡利阻塞和核核碰撞截面兩部分。由于核子間的碰撞會(huì)受周圍介質(zhì)的影響，UrQMD模型中引入了密度、動(dòng)量以及同位旋依賴的介質(zhì)修正。又因?yàn)楹俗邮琴M(fèi)米子，因此引入了泡利阻塞效應(yīng)。具體的計(jì)算細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)［35］。最后，對(duì)于碎片的構(gòu)建方式使用同位旋依賴的最小生成樹的方法（isospin-Minimum Spanning Tree，iso-MST）。當(dāng)兩個(gè)核子都為質(zhì)子時(shí)，在相空間距離滿足ΔRij＜2.8fm，而兩個(gè)核子都為中子或者質(zhì)子-中子組合時(shí)，需滿足ΔRij＜3.8fm，且Δpij＜0.25 GeV·c-1，這兩個(gè)核子就被看作在同一個(gè)碎片中［36］。研究發(fā)現(xiàn)，基于上面合適的參數(shù)選擇，UrQMD模型對(duì)發(fā)表的中能重離子碰撞中的多個(gè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)量都能給出較好的描述［37-38］。在UrQMD模型的框架下，每個(gè)核子的動(dòng)量可以通過(guò)平均場(chǎng)或核子-核子間的碰撞來(lái)改變。作為一個(gè)微觀多體輸運(yùn)模型，UrQMD模型可以分別記錄每個(gè)核子在平均場(chǎng)和核子-核子碰撞中的動(dòng)量變化。由核子-核子間的碰撞引起的v2的變化可以計(jì)算為：

由平均場(chǎng)引起的v2的變化可以計(jì)算為：

在本次研究中Δt設(shè)置為1fm·c-1。綜上，可以得到v2的變化如下：

2 結(jié)果和討論

本工作中模擬了無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量的情形時(shí)，碰撞參數(shù)b=6fm且束流能量Elab=0.4A GeV 和Elab=0.8A GeV 的Au+Au 碰 撞。通過(guò)在整個(gè)碰撞過(guò)程中反向追蹤反應(yīng)末態(tài)處在中心快度區(qū)（|y0|＜0.1）的自由核子，研究這些追蹤核子的v2的演化。圖1中（a1～d1）和（a3～d3）分別給出了當(dāng)束流能量為0.4A GeV 時(shí)在不考慮費(fèi)米動(dòng)量和考慮費(fèi)米動(dòng)量情形時(shí)，當(dāng)t為0fm·c-1、10fm·c-1、16fm·c-1、30fm·c-1不同時(shí)刻下的情形。其中，帶箭頭的實(shí)心圓點(diǎn)表示追蹤的核子，而圓圈表示其他核子。箭頭表示動(dòng)量矢量（px，pz）的方向。隨機(jī)選取10個(gè)事件的結(jié)果。可以看出，在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量的情況下，在t=0fm·c-1時(shí)刻，初始時(shí)沒(méi)有x和y方向上的動(dòng)量，所以彈靶核的追蹤核子朝著彼此平行方向運(yùn)動(dòng)。隨著碰撞反應(yīng)的進(jìn)行，兩原子核相互靠近，在t=16fm·c-1時(shí)，密度壓縮程度達(dá)到最大。由于較強(qiáng)的引力吸引使得核子相互聚攏，所以，此時(shí)的散點(diǎn)圖明顯較小。隨著反應(yīng)的繼續(xù)，原子核開始膨脹，有更多的核子開始朝著垂直反應(yīng)平面的方向運(yùn)動(dòng)。

圖1中（a2～d2）和（a4～d4）分別給出了當(dāng)束流能量為0.8A GeV時(shí)，在不考慮費(fèi)米動(dòng)量和考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形下，當(dāng)t為0fm·c-1、8fm·c-1、10fm·c-1、24fm·c-1不同時(shí)刻下追蹤核子在反應(yīng)平面內(nèi)的位置和動(dòng)量方向的情形。在這兩個(gè)能量下，展示出的基本規(guī)律都相同，束流能量越高則粒子的時(shí)間演化進(jìn)程越快，費(fèi)米動(dòng)量的影響則越小。在0.4A GeV 時(shí)，有費(fèi)米動(dòng)量的情形下平均每個(gè)事件追蹤的核子數(shù)為14.7，而不考慮費(fèi)米動(dòng)量時(shí)，追蹤的核子數(shù)為9.6；而當(dāng)束流能量為0.8A GeV時(shí)，有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量平均每個(gè)事件追蹤的核子數(shù)分別為19.2和16.2。這是因?yàn)橛匈M(fèi)米動(dòng)量時(shí)發(fā)生的碰撞數(shù)更多，導(dǎo)致更多的核子在反應(yīng)末態(tài)時(shí)處在中心快度區(qū)（|y0|＜0.1）中。

如圖2（a～f）分別為無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量的情況下，標(biāo)記核子以及pt動(dòng)量相關(guān)量隨時(shí)間演化的平均值?？梢钥闯觯诔跏紩r(shí)刻，這些量（除之外）在有費(fèi)米動(dòng)量的情況下都大于沒(méi)有費(fèi)米動(dòng)量下的結(jié)果。隨著反應(yīng)的進(jìn)行，這些量都逐漸開始變化。在t小于5fm·c-1左右時(shí)，這些量的變化都十分緩慢，這是因?yàn)閺棸泻碎_始相互靠近，核子間的碰撞還沒(méi)有發(fā)生，在平均場(chǎng)的影響下，這些量緩慢變化。在5～30fm·c-1之間，因?yàn)楹俗优鲎查_始發(fā)生，引起這些量劇烈變化。而在30fm·c-1之后，由于核子都遠(yuǎn)離彼此，碰撞幾乎不再發(fā)生，所以這些量只在末態(tài)相互作用影響下緩慢變化。對(duì)于圖2（d）中所示的，有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)它的變化趨勢(shì)有很大不同。從初始時(shí)刻到約t=15fm·c-1，無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)給出的都在0 附近，這表明這一時(shí)期平均場(chǎng)和碰撞的作用幾乎為各向同性。當(dāng)15fm·c-1＜t＜25fm·c-1時(shí)，無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)給出的迅速下降，這是由于周圍旁觀核子的阻擋所導(dǎo)致，這可以清楚地從圖1的（c1）看出。在有一半費(fèi)米動(dòng)量時(shí)追蹤核子的和pt隨時(shí)間的變化情形和有費(fèi)米動(dòng)量的變化規(guī)律基本都相同，但起點(diǎn)卻不同，這是因?yàn)槌跏紩r(shí)費(fèi)米動(dòng)量變?yōu)樵瓉?lái)的一半，所以，這些量）變?yōu)樵瓉?lái)的1/4，而pt的起點(diǎn)則變?yōu)橛匈M(fèi)米動(dòng)量時(shí)的1/2。

圖2 當(dāng)束流能量為Elab= 0.4A GeV時(shí)，考慮無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量的情形時(shí)，追蹤核子的隨時(shí)間的演化Fig.2 Time evolution of, andpt of traced nucleons calculated without Fermi momentum,with Fermi momentum, and with half-Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.4A GeV

當(dāng)束流能量為0.4A GeV時(shí)，追蹤核子的v2隨時(shí)間的變化顯示在圖3（a）中。可以看出，在反應(yīng)初期，沒(méi)有費(fèi)米動(dòng)量的情況下，v2的值為正，且隨著時(shí)間的變化顯著增加，這是因?yàn)樵诮咏柡兔芏拳h(huán)境下，平均場(chǎng)的吸引導(dǎo)致核子沿著出平面的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)被壓制；隨著反應(yīng)的進(jìn)行，v2快速地降低，在反應(yīng)末態(tài)時(shí)，v2的值幾乎是有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)的兩倍。這是由于旁觀核子強(qiáng)的阻礙效應(yīng)所導(dǎo)致，因?yàn)闆](méi)有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)，核子幾乎都以恒定的速度沿z軸運(yùn)動(dòng)，對(duì)重疊區(qū)域出射的粒子形成了很強(qiáng)的阻塞。在反應(yīng)的末期（t＞30fm·c-1），v2幾乎都不再隨時(shí)間變化，這是因?yàn)樘幱谥行目於葏^(qū)的追蹤核子早已遠(yuǎn)離碰撞區(qū)域，只受到很弱的末態(tài)相互作用的影響。如圖3（a）所示，當(dāng)在初始化時(shí)考慮有一半費(fèi)米動(dòng)量的情形時(shí)，在反應(yīng)初期（t＜5fm·c-1）核子將同時(shí)受到平均場(chǎng)貢獻(xiàn)和初始時(shí)（一半）費(fèi)米動(dòng)量貢獻(xiàn)的影響，但平均場(chǎng)在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)動(dòng)量的改變非常小，不足以影響初始時(shí)（一半）費(fèi)米動(dòng)量的px和py。因此，初始時(shí)考慮費(fèi)米動(dòng)量和考慮一半費(fèi)米動(dòng)量的v2隨時(shí)間的演化相接近。而在初始時(shí)不考慮費(fèi)米動(dòng)量的反應(yīng)初期（t＜5fm·c-1），v2的緩慢變化完全是由于平均場(chǎng)作用造成的影響。對(duì)比圖3（a）和（b）可以發(fā)現(xiàn)，在這兩個(gè)不同的束流能量下，v2隨時(shí)間的演化規(guī)律基本相同，但在束流能量為0.8A GeV 的反應(yīng)后期（t＞20fm·c-1）時(shí)，不考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形和考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形相比，兩者v2的差異相對(duì)較小，這是因?yàn)楫?dāng)束流能量較高時(shí)，初態(tài)費(fèi)米動(dòng)量貢獻(xiàn)的影響逐漸減弱。

圖3 (a) 在束流能量為Elab= 0.4A GeV時(shí)，追蹤核子的v2在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量時(shí)隨時(shí)間的演化，(b) 當(dāng)束流能量為Elab= 0.8A GeV時(shí)，追蹤核子的v2在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量和有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)隨時(shí)間的演化Fig.3 (a) Time evolution of v2 of traced nucleons calculated without Fermi momentum, with Fermi momentum, and with half-Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.4A GeV, (b) time evolution of v2 of traced nucleons without Fermi momentum and with Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.8A GeV

圖4是束流能量為0.4A GeV和0.8A GeV時(shí)，在考慮費(fèi)米動(dòng)量和不考慮費(fèi)米動(dòng)量的情形下，平均場(chǎng)和核子-核子碰撞對(duì)v2的貢獻(xiàn)隨時(shí)間的變化?？梢钥吹剑谑髂芰繛?.4A GeV 時(shí)的反應(yīng)初期，為零，這是因?yàn)樵诖耸髂芰肯?，彈靶核的需要大約5fm·c-1才能接近彼此。隨著反應(yīng)的進(jìn)行，在兩種情況下，都小于0，說(shuō)明核核碰撞會(huì)增加橢圓流的強(qiáng)度，與之前的研究相一致。而的值與有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量密切相關(guān)。在不考慮費(fèi)米動(dòng)量時(shí)，由于強(qiáng)的吸引，在碰撞達(dá)到最大壓縮密度（t=16fm·c-1，當(dāng)束流能量為0.4A GeV 時(shí)）之前都為正值，隨后在高密環(huán)境中，轉(zhuǎn)為排斥，變?yōu)樨?fù)值。對(duì)比有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量的結(jié)果可以知道，初態(tài)核子動(dòng)量的改變會(huì)影響整個(gè)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程，導(dǎo)致和都產(chǎn)生巨大變化，最后引起橢圓流的改變。束流能量為0.8A GeV時(shí)，和隨時(shí)間的演化和束流能量為0.4A GeV的規(guī)律都基本相同，但表現(xiàn)出更快的反應(yīng)歷程和更大的和值，這是因?yàn)槭髂芰吭酱螅瑥棸泻私佑|所用的時(shí)間越短，核子-核子碰撞越激烈，則有更快的反應(yīng)進(jìn)程和更大的和值。

圖4 束流能量為Elab= 0.4A GeV時(shí)，追蹤核子在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量(a)和有費(fèi)米動(dòng)量(b)的情形下，和隨時(shí)間的演化,(a1, b1)束流能量為Elab= 0.8A GeV時(shí)的結(jié)果，線是指通過(guò)計(jì)算點(diǎn)光滑得到的實(shí)線Fig.4 Time evolution of(t) and(t) of traced nucleons calculated (a) without Fermi momentum and (b) with Fermi momentum at a beam energy of Elab= 0.4A GeV. (a1, b1) The same as the left panels but at a beam energy of Elab= 0.8A GeV. The lines are smooth curves fitted through the calculated points.

核子間碰撞數(shù)隨時(shí)間的演化，對(duì)理解橢圓流的形成至關(guān)重要。追蹤核子在有無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)平均每個(gè)事件經(jīng)歷的碰撞數(shù)隨時(shí)間的演化如圖5所示?？梢钥闯鲈诔跏蓟瘯r(shí)考慮費(fèi)米動(dòng)量，核子有更大的概率參與碰撞（見(jiàn)圖1的討論）。隨著彈靶核的相互靠近，核子-核子碰撞的增強(qiáng)，導(dǎo)致碰撞數(shù)也逐漸增加。當(dāng)t=50fm·c-1時(shí)，核子已開始相互遠(yuǎn)離，則碰撞數(shù)也幾乎不再隨時(shí)間變化。

圖5 束流能量為Elab=0.4A GeV時(shí)，追蹤核子在無(wú)費(fèi)米動(dòng)量和有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)平均每個(gè)事件經(jīng)歷的碰撞數(shù)隨時(shí)間的演化Fig.5 Time evolution of the number of collisions per event experienced by traced nucleons with and without Fermi momentum at a beam energy of Elab=0.4A GeV

3 結(jié)語(yǔ)

基于極端相對(duì)論量子分子動(dòng)力學(xué)（UrQMD）輸運(yùn)模型，以束流能量為每核子0.4 GeV 和0.8 GeV、碰撞參數(shù)為6fm的Au+Au碰撞為例，通過(guò)在整個(gè)反應(yīng)過(guò)程反向追蹤反應(yīng)末態(tài)在中心快度區(qū)（|y0| ＜ 0.1）核子的橢圓流v2隨時(shí)間的演化，探究了初始化時(shí)無(wú)費(fèi)米動(dòng)量、有費(fèi)米動(dòng)量和有一半費(fèi)米動(dòng)量對(duì)橢圓流的影響。計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)束流能量為0.4A GeV、無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)中心快度區(qū)的標(biāo)記核子數(shù)約為9.6，而有費(fèi)米動(dòng)量時(shí)的標(biāo)記核子數(shù)約為14.7，這是因?yàn)榭紤]費(fèi)米動(dòng)量后，核子碰撞概率會(huì)顯著增加，導(dǎo)致更多的核子停留在中心快度區(qū)。而前者的v2是后者v2的兩倍，這是由于無(wú)費(fèi)米動(dòng)量時(shí)，旁觀核子有更強(qiáng)的阻塞效應(yīng)所導(dǎo)致。這一結(jié)果表明，在初始時(shí)細(xì)致考慮費(fèi)米動(dòng)量非常有必要。

通過(guò)反向追蹤辦法，可以細(xì)致計(jì)算粒子在重離子碰撞中受到平均場(chǎng)、核核碰撞的影響情況，從而定量分析各個(gè)因素對(duì)觀測(cè)量的影響。下一步將繼續(xù)探索不同的快度和橫動(dòng)量窗口對(duì)橢圓流演化的影響，這將為細(xì)致了解重離子碰撞的動(dòng)力學(xué)過(guò)程以及利用橢圓流約束核狀態(tài)方程提供幫助。

致謝 感謝湖州師范學(xué)院C3S2 計(jì)算中心的大力支持。

作者貢獻(xiàn)聲明高波負(fù)責(zé)文章的起草和程序的模擬及資料的收集整理；王永佳負(fù)責(zé)研究的提出及設(shè)計(jì)；李慶峰負(fù)責(zé)最終版本的修訂；李保春負(fù)責(zé)版本的修改。