基于問題串的代數(shù)推理教學(xué)實(shí)踐

謝蓓蓓

一、教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷探索一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的過程，了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；初步運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決簡(jiǎn)單的問題；在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、證明的過程中，感悟由特殊到一般、類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想，積累代數(shù)推理的經(jīng)驗(yàn)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：經(jīng)歷探索一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的過程，加深對(duì)一元二次方程及其根的認(rèn)識(shí)。難點(diǎn)：通過思考、交流等活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)思想，積累代數(shù)推理的經(jīng)驗(yàn)。

三、教學(xué)過程

1.提出問題，明確目標(biāo)

問題1 由方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根由系數(shù)a、b、c決定，反映了根與系數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系。一元二次方程的根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他的表現(xiàn)方式嗎？你是怎么研究這個(gè)問題的？

設(shè)計(jì)意圖：教師提出問題，明確本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察和思考。

2.合情推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論

問題2 請(qǐng)同學(xué)們嘗試寫出一些不同類型的一元二次方程的一般形式，求出x1、x2，并觀察兩根之間的關(guān)系和a、b、c之間有何聯(lián)系？寫出你的猜想。

教師在此環(huán)節(jié)需要留出足夠的時(shí)間讓學(xué)生自主探索。學(xué)生可能有以下生成：①x2=0；②x2-4=0；③x2+x=0；④x2-2x=0；⑤x2-8x+15=0；⑥x2-2x-1=0；⑦2x2-5x+3=0；⑧2x2-4x-1=0等。

追問1：你可以用什么方式更清楚地呈現(xiàn)它們之間的關(guān)系？

追問2：觀察方程中的x1+x2和x1x2的運(yùn)算結(jié)果，與之前的猜想有什么不同？你認(rèn)為產(chǎn)生偏差的原因是什么？你能改進(jìn)之前的猜想嗎？

追問3：新的猜想對(duì)前6個(gè)一元二次方程還成立嗎？對(duì)其他的一元二次方程也成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)嚴(yán)格的推理過程一般應(yīng)包括從合情推理到演繹推理的全過程，但是以蘇科版數(shù)學(xué)九（上）教材為例，這一閉環(huán)并未形成。教材中直接呈現(xiàn)5個(gè)具體的方程，讓學(xué)生分別寫出方程的兩根、兩根之和、兩根之積。這樣的方式跳過了演繹推理的過程，學(xué)生直接通過具體的數(shù)值得到定理，失去了探索的價(jià)值。

學(xué)生描述自己思考和猜想的過程可能是雜亂無章的，因此，教師可以通過追問1，引導(dǎo)學(xué)生利用表格從無序走向有序，讓思維可視化。

學(xué)生在觀察①②③④⑤⑥時(shí)，根據(jù)a=1容易產(chǎn)生x1+x2=-b和x1x2=c的猜想，因此，教師可暫時(shí)保留學(xué)生猜想，讓學(xué)生繼續(xù)探索⑦⑧兩式，得到⑦中x1+x2=[52]≠5，x1x2=[32]≠3，⑧中x1+x2=2≠4，x1x2=-[12]≠-1，從而證明上述猜想并不成立，啟發(fā)學(xué)生的深度思考。

通過追問2，學(xué)生比較⑦⑧中x1+x2和x1x2的運(yùn)算結(jié)果和之前得到的猜想，易發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果中多出了分母2。再觀察①②③④⑤⑥和⑦⑧的區(qū)別，進(jìn)而得到新的猜想：x1+x2=-[ba]，x1x2=[ca]。

追問3的提出，一方面讓學(xué)生意識(shí)到之前錯(cuò)誤猜想產(chǎn)生的原因，另一方面也讓學(xué)生的推理更具有嚴(yán)謹(jǐn)性，形成思考的閉環(huán)。學(xué)生的舉例是有限的，此時(shí)教師可以利用幾何畫板等信息技術(shù)手段，讓a、b、c不斷變化，舉出更多的例子。此時(shí)學(xué)生可以直觀地發(fā)現(xiàn)，在誤差允許的范圍內(nèi)，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1、x2，存在以下關(guān)系：x1+x2=-[ba]，x1x2=[ca]。

3.演繹推理，證明結(jié)論

問題3 我們發(fā)現(xiàn)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1、x2存在以下關(guān)系：x1+x2=-[ba]，x1x2=[ca]。你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

追問4：這個(gè)問題的條件是什么？結(jié)論是什么？由條件和結(jié)論你能想到什么？說說你的想法。

追問5：你能寫出證明的過程嗎？

設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課的第二個(gè)重要環(huán)節(jié)。教師引導(dǎo)學(xué)生從感性走向理性，從猜想走向證明，從合情推理走向演繹推理。利用追問4，教師幫助學(xué)生審清題意，緊扣條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生盡可能多的聯(lián)想，感受代數(shù)推理和幾何推理的共通性。類比合情推理時(shí)通過計(jì)算得到結(jié)果的方法，大多數(shù)學(xué)生會(huì)利用求根公式求出x1、x2，再計(jì)算x1+x2和x1x2，從而得到結(jié)論，此為想法（1）。由上節(jié)課“一元二次方程的解法——因式分解法”的知識(shí)可知，一元二次方程ax2+bx+c=0可以寫為a（x-x1）（x-x2）=0的形式。再將a（x-x1）（x-x2）=0變形為ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0，通過與原方程各項(xiàng)系數(shù)對(duì)比得到結(jié)論，此法記為想法（2）。由條件知，x1、x2均滿足一元二次方程ax2+bx+c=0，故想到將根代入原方程，得到方程組[ax21+bx1+c=0，①ax22+bx2+c=0。②]觀察結(jié)論，根據(jù)x1+x2和x1x2的式結(jié)構(gòu)，學(xué)生容易聯(lián)想到完全平方公式或者平方差公式，進(jìn)而將方程組中①和②相加或相減，再進(jìn)行等式變形得到結(jié)論，此為想法（3）。

如果學(xué)生想不到后兩種方法，教師可繼續(xù)追問“上節(jié)課我們知道一元二次方程ax2+bx+c=0可以寫為a（x-x1）（x-x2）=0的形式，你還有什么新的思路”以及“根據(jù)方程根的意義，得到[ax21]+[bx1]+c=0和[ax22]+[bx2]+c=0，能否進(jìn)一步得到根與系數(shù)的關(guān)系”，以此引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，培養(yǎng)思維的靈活性、多樣性。

4.跟進(jìn)練習(xí)，及時(shí)反饋

練習(xí)1 若x1、x2是下列方程的兩根，請(qǐng)求出x1+x2以及x1x2的值。

（1）x2+2x-5=0；（2）3x2-2x=0；（3）3x2+x=1。

練習(xí)2 若方程x2-mx-2=0的一個(gè)根為1，求另一個(gè)根和m的值。

設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。練習(xí)1中的（1）（2）可以直接利用本節(jié)課知識(shí)求解，（3）則需要先轉(zhuǎn)化為一般形式后才可以求解，這也是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)；練習(xí)2中求m的值和另一根時(shí)，既可以利用本節(jié)課知識(shí)，也可以將m的值進(jìn)行代入，再解方程。通過對(duì)比兩種方法，學(xué)生能夠感受到解題的多樣性，體會(huì)如何優(yōu)化方法。

5.回顧反思，文化滲透

問題4 回顧本節(jié)課知識(shí)，你有哪些收獲？

追問6：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是什么？應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)要注意什么問題？本節(jié)課你學(xué)到了代數(shù)推理的哪些方法？

追問7：你還有什么疑惑？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的探索性，發(fā)展自身歸納和概括能力。學(xué)生可能會(huì)提出疑惑：如果一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，那么根與系數(shù)的關(guān)系是不是就不存在了呢？教師此時(shí)可向?qū)W生介紹韋達(dá)定理，引導(dǎo)學(xué)生在課后閱讀韋達(dá)定理的相關(guān)內(nèi)容，感受其對(duì)代數(shù)學(xué)的巨大貢獻(xiàn)，增強(qiáng)學(xué)科育人的價(jià)值。

四、教學(xué)反思

1.多種方式呈現(xiàn)，讓代數(shù)推理變得直觀

數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生思維生長(zhǎng)的場(chǎng)所。本節(jié)課一開始就以問題1為主線，引導(dǎo)學(xué)生借鑒以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考，讓學(xué)生從特殊情況入手。在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生所舉的例子以及書寫的方式是雜亂無章的，而教師則需要通過問題串的設(shè)置，引入表格，讓學(xué)生的描述更加規(guī)范，讓學(xué)生的思維可視化。同時(shí)，借助信息技術(shù)手段，使得運(yùn)算結(jié)果得以以動(dòng)態(tài)的形式直觀呈現(xiàn)，給學(xué)生以視覺沖擊，最終引導(dǎo)學(xué)生歸納并得到結(jié)論。

2.多種角度探索，讓代數(shù)推理變得廣闊

從活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)看，學(xué)生可以從特殊情況入手，進(jìn)行合情推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再利用演繹推理證明結(jié)論；從學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)看，學(xué)生比較容易得到運(yùn)算后的結(jié)論，但是比較缺乏等式變形的經(jīng)驗(yàn)。通過問題3中的問題串，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注條件和結(jié)論、式子的結(jié)構(gòu)、變形的依據(jù)，從因式分解法解一元二次方程、方程根的意義、乘法公式等角度進(jìn)行等式變形，讓條件與結(jié)論逐漸靠攏；從不同角度發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)思維的靈活性、多樣性與廣闊性。

3.多種思想碰撞，讓代數(shù)推理變得豐滿

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是形成數(shù)學(xué)思維能力的必要因素。知識(shí)的積累固然重要，但是思想方法才是數(shù)學(xué)的內(nèi)在體現(xiàn)。通過問題串，教師引導(dǎo)學(xué)生從字母到數(shù)字，再?gòu)臄?shù)字到字母，體會(huì)特殊與一般的關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。與教材平鋪直敘不同的是，問題2、問題3以及追問能夠幫助學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、論證的過程，讓學(xué)生能夠更有條理、更有邏輯地表達(dá)其思維過程，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會(huì)代數(shù)和幾何推理的共通性，培養(yǎng)理性精神，發(fā)展核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)麒麟初級(jí)中學(xué)）

本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期課題“發(fā)展初中生代數(shù)推理能力的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2019JK13-L017）階段性研究成果。