借助問題鏈設(shè)計，發(fā)展“后建構(gòu)”推理

王琳 薛鶯

一、教學(xué)目標(biāo)

對“圓”整個單元知識進行歸納，使學(xué)生在活動中形成知識網(wǎng)絡(luò)，通過練習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合思想；使學(xué)生在課堂活動中，勇于探索圖形間的相互關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

二、教學(xué)重難點

理解圓及其有關(guān)概念、性質(zhì)定理、判定定理；運用相關(guān)知識解決實際問題；滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論思想。

三、教學(xué)片段

1.選好切入點

本節(jié)課以教材中本章開頭引用的“一中同長”為切入點，復(fù)習(xí)圓的概念。

師：什么是圓？確定一個圓需要幾個條件？

生1：圓是到定點的距離等于定長的點的集合。

生2：確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑。

師：平面內(nèi)的點和圓有幾種位置關(guān)系？（由此引出“點與圓的位置關(guān)系”。）

生3：有三種位置關(guān)系。當(dāng)點到圓心的距離等于半徑，則點在圓上；當(dāng)點到圓心的距離小于半徑，則點在圓內(nèi)；當(dāng)點到圓心的距離大于半徑，則點在圓外。

探究1：圓內(nèi)一點P到圓上哪個點距離最??？到哪個點距離最大？

（學(xué)生直觀感知這兩個點都在過點P的直徑上。）

探究2：如果點P在圓外呢？

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個點仍舊在此直徑上。）

設(shè)計意圖：選擇合適的知識點作為切入點。一是注重基礎(chǔ)性，即低起點，課堂剛開始能讓更多的學(xué)生積極參與；二是注重生長性，即高落點，學(xué)生以此知識點為起點，結(jié)合已有的基礎(chǔ)和經(jīng)驗，在解決問題過程中能夠不斷生長出其他數(shù)學(xué)知識。相比新課的教學(xué)，復(fù)習(xí)課不僅要注重知識的鞏固，還需關(guān)注能力的提升。

2.排好“明暗線”

（1）請學(xué)生動手操作探究，嘗試畫出過圓內(nèi)一點的最長弦與最短弦。此為“明線”，目的是復(fù)習(xí)圓的垂徑定理及有關(guān)圓的一些計算。

師：過圓內(nèi)的一點P可以畫多少條弦？

生（齊）：無數(shù)條。

師：這無數(shù)條弦中，有最長的嗎？有最短的嗎？

生（齊）：最長的弦是過點P的一條直徑。

學(xué)生分小組討論最短的弦是否存在？若存在，如何畫？

學(xué)生經(jīng)討論發(fā)現(xiàn)：最短弦是與過點P的直徑垂直的弦。

設(shè)計意圖：過圓內(nèi)一點P，畫最長弦與最短弦，構(gòu)建垂徑定理的基本圖形，然后設(shè)計圓這一章的計算類問題。筆者安排了這樣一條“明線”，試圖讓這個知識點生長蔓延，串聯(lián)起章節(jié)中的其他知識點，以便于學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。

（2）請學(xué)生細致觀察探究，尋找圖中相等的角。此為“暗線”，目的是復(fù)習(xí)圓周角定理及結(jié)合相似三角形的知識進行綜合應(yīng)用。

例1 在圖1中的[BC]上取一點E，使 [CE]=[AC]，AB⊥CD，連接AE，分別交CD、CB于點F、G。連接AC。

師：由垂徑定理，可以得到相等的弧，再結(jié)合圓周角定理，由相等的弧可以得到相等的角。此圖中你能找出哪些角相等嗎？

小組討論，教師板書，學(xué)生得出結(jié)論：

[CE]=[AC]=[AD]→∠CAE=∠B=∠ACD；

[CB]=[BD]→∠CAB=∠BCD；

AB為直徑→∠ACB=90°=∠APC=∠BPC；

對頂角相等→∠AFP=∠CFG，∠CGF=∠BGE。

師：通過你所找到的相等的角，能試著說明F為AG的中點嗎？

生4：可以。因為∠ACD=∠CAE，所以FA=FC；因為∠ACB=90°，所以∠ACD+∠FCG=∠CAE+∠CGF=90°，所以∠FCG=∠FGC，所以FC=FG。又因為FA=FC，所以FA=FG，即F為AG的中點。

師：這位同學(xué)結(jié)合“等角對等邊”“等角的余角相等”的知識，證明了F為AG的中點。

師：若已知AC=6，BC=8，你能計算出圖中哪些線段的長？

小組進行討論，教師板書、總結(jié)。

師：通過相似、勾股定理等知識的綜合運用，同學(xué)們求出了此圖中的每條線段的長。

設(shè)計意圖：由尋找圖中相等的角這條“暗線”，圍繞知識要點，讓學(xué)生發(fā)散思維。再用知識點編題，設(shè)置開放性問題，讓學(xué)生說緣由，談解法，在探究的過程中逐步形成知識“明線”。

3.拓展知識面

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，點A與點B的坐標(biāo)分別是（2，0）、（12，0）。

（1）若點P在y軸上，且∠APB=45°，滿足條件的點P有幾個？試求出點P的坐標(biāo)。

（2）若點Q在y軸上移動，當(dāng)∠AQB最大時，求點Q的坐標(biāo)。

師：題目難度有點大，同學(xué)們能否在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)先找一個點M，滿足∠AMB=45°？

生5：可以作一個以AB為腰的等腰直角三角形ABM，這樣就可以構(gòu)造出一個45°角了。

師：此時的點M并不在y軸上，怎么辦？

生6：可以作△ABM的外接圓， [AB]所對的圓周角都能滿足45°的條件，所以只要作△ABM的外接圓，優(yōu)弧[AMB]與y軸的交點即為我們所尋找的點P。

師：滿足條件的點P有幾個？

生7：優(yōu)弧[AMB]與y軸有2個交點，所以這樣的點P有2個。

生8：不對，由對稱性可知，可以在y軸的正負(fù)半軸上各找到2個，所以滿足條件的點P有4個。

師：該同學(xué)考慮問題很全面！請同學(xué)們結(jié)合數(shù)據(jù)，課后求一下點P的坐標(biāo)。同學(xué)們利用圓周角的性質(zhì)，構(gòu)造圓，來解決“定邊對定角”問題，那么，同學(xué)們能不能再嘗試?yán)谩巴∷鶎Φ膱A內(nèi)角、圓周角、圓外角”之間的大小關(guān)系，來解決第（2）小題呢？

生：……

設(shè)計意圖：通過前面的復(fù)習(xí)鋪墊，題目的難度逐步加大，學(xué)生無法清楚地表達思路，需要教師給予適當(dāng)?shù)狞c撥、啟示。最后，以構(gòu)造圓的問題結(jié)束課堂，大大提高了學(xué)生的逆向思維能力。圓不僅可以作為題目的背景，也可以成為我們解決其他數(shù)學(xué)問題的工具。同時（2）又在（1）的基礎(chǔ)上增加了角的最值問題，拓展了學(xué)生的知識面，提升了學(xué)生的思維維度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間是處處關(guān)聯(lián)的。

四、教學(xué)反思

1. 連點成線，形成知識網(wǎng)絡(luò)

本節(jié)復(fù)習(xí)課采用2道例題題組，將圓中的相關(guān)知識容納其中，既幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了圓中的基本概念和基本技能，又幫助學(xué)生理清了分散的知識是如何相互關(guān)聯(lián)的。這種關(guān)聯(lián)的建立有助于學(xué)生在解決復(fù)雜問題時能夠高效且快速地提取到所需要的信息組，并在已有信息的基礎(chǔ)上開拓出一些創(chuàng)造性的思路。

2. 設(shè)問開放，培養(yǎng)發(fā)散思維

例1屬于開放題，充分調(diào)動了學(xué)生已有的知識儲備。在由淺入深的解決問題的過程中，在相互討論的過程中，學(xué)生吸取思維碰撞中產(chǎn)生出的思維火花，從而生成對已有知識新的理解，建立知識之間更緊密的聯(lián)系，使得思維向著更高階的方向發(fā)展。

3. 變式練習(xí)，破解思維定式

通過一題多變，即數(shù)學(xué)上的變式教學(xué)來幫助學(xué)生理清基本概念。學(xué)生對基本知識和技能理解和掌握后，教師再有目的和計劃地改變題目的非本質(zhì)特征，在“以不變應(yīng)萬變”中，提高課堂的教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)。這里的不變指的是基于教材的基本概念、定理和公式。

（作者單位：1.江蘇省無錫市東林中學(xué)；2.江蘇省無錫市東絳實驗學(xué)校）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點課題“指向初中生代數(shù)推理能力發(fā)展的問題鏈設(shè)計研究”（課題編號：C-b/2021/02/01）；江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2022年立項課題“信息技術(shù)背景下的初中后建構(gòu)課堂教學(xué)策略研究”（課題編號：2022-R-100847）階段性研究成果。