繩系庫侖結(jié)構(gòu)姿態(tài)波動(dòng)控制方法

石安睿，張景瑞，蔡 晗

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引 言

隨著人類空間活動(dòng)的不斷增加,空間任務(wù)需求也愈發(fā)多樣和復(fù)雜,以至于單個(gè)衛(wèi)星有時(shí)難以實(shí)現(xiàn)任務(wù)目標(biāo)[1]。同時(shí),隨著在軌航天器及空間碎片的不斷增多,例如地球同步軌道等有限的重要軌道資源需要被更高效的利用。因此,可以滿足多樣任務(wù)需要、提高軌道資源利用率的衛(wèi)星編隊(duì)結(jié)構(gòu)被逐漸提出和研究[2]。由于通過持續(xù)軌道控制保持構(gòu)型的傳統(tǒng)衛(wèi)星編隊(duì)會(huì)產(chǎn)生更多燃料消耗和控制需求,因此利用系繩拉力輔助編隊(duì)構(gòu)型保持的繩系衛(wèi)星編隊(duì)逐漸受到關(guān)注[3-4]。

為實(shí)現(xiàn)10～100 m距離編隊(duì)的精確控制,采用庫侖力維持編隊(duì)構(gòu)型的庫侖編隊(duì)[5]以及利用庫侖力構(gòu)造虛擬系繩的庫侖力繩編隊(duì)[6]概念被提出和研究。同時(shí),由于德拜屏蔽效應(yīng)的存在,利用庫侖力的衛(wèi)星編隊(duì)主要被應(yīng)用于地球同步軌道和深空航天器編隊(duì)控制中[7]。

為了得到更好的編隊(duì)構(gòu)型穩(wěn)定特性,Seubert等[8]提出同時(shí)引入系繩和庫侖力的繩系庫侖結(jié)構(gòu)(TCS),該結(jié)構(gòu)利用庫侖力在航天器之間產(chǎn)生排斥力的同時(shí)通過柔性系繩連接各航天器以保持構(gòu)型穩(wěn)定。Seubert等[9-10]針對繩系庫侖結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性、穩(wěn)定性等進(jìn)行了分析和研究。在此基礎(chǔ)上,Qi等[11]和Zhang等[12]分別提出了更加復(fù)雜的繩系庫侖雙金字塔編隊(duì)和繩系庫侖金字塔離軌編隊(duì)并都對動(dòng)力學(xué)和平衡構(gòu)型下所需的電荷量進(jìn)行了求解分析。但是在現(xiàn)階段,對于繩系庫侖結(jié)構(gòu)的控制問題依然少有研究。

繩系庫侖結(jié)構(gòu)不僅具有明顯的柔性結(jié)構(gòu),還由于其構(gòu)型的特殊性,又具有剛性結(jié)構(gòu)的部分特點(diǎn)[13]。與之相對地,對連續(xù)體進(jìn)行波動(dòng)分析時(shí),宏觀上的連續(xù)體單元可以具有明顯的剛性特點(diǎn),但同時(shí)其振動(dòng)、形變又體現(xiàn)了部分柔性特點(diǎn)。因此,基于波動(dòng)思想對繩系庫侖結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制較為可行。

Flotow等[14]首先基于波動(dòng)思想提出了行波控制的概念,給出了以狀態(tài)參量為變量的波動(dòng)狀態(tài)空間方程。Saigo等[15]提出了在時(shí)域上的基于波吸收的振動(dòng)控制方法,得到了很好的控制效果。O’Connor等[16]在時(shí)域上利用達(dá)朗貝爾行波解分析波動(dòng)方程并基于回波吸收思想,提出了一種吊車運(yùn)動(dòng)的控制方法,通過控制吊車速度實(shí)現(xiàn)對繩索中反射回波的吸收,抑制末端質(zhì)量塊在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的振動(dòng)。Qi等[17]基于Connor等提出的方法設(shè)計(jì)了目標(biāo)殘余液體燃料的繩系拖曳系統(tǒng)的擺動(dòng)反饋控制器。

事實(shí)上,達(dá)朗貝爾行波解主要針對無限(半無限)長弦的波動(dòng)方程。因此在波動(dòng)分析時(shí),對不同邊界條件下有限長弦的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行更加完善直觀的分析和研究具有重要的理論和工程實(shí)際意義。

本文提出使用吊環(huán)模型作為高度簡化的物理模型,以反映弦的運(yùn)動(dòng)及其物理意義,并通過對吊環(huán)模型建立并求解其不同邊界約束下的運(yùn)動(dòng)方程,明確描述了波在吊環(huán)模型中的傳播和作用規(guī)律,并且基于吊環(huán)模型的波動(dòng)分析以及回波吸收思想,針對庫侖繩系結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)了波動(dòng)控制器,實(shí)現(xiàn)了對其的姿態(tài)控制。

本文結(jié)構(gòu)如下:在第1節(jié)中,針對吊環(huán)模型建立了波動(dòng)方程描述其運(yùn)動(dòng),基于有限長弦的波動(dòng)方程在不同邊界條件下的解對吊環(huán)模型運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析,得到了波在系統(tǒng)中的傳播和作用規(guī)律。在第2節(jié)中,運(yùn)用拉格朗日方程建立了庫侖繩系結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程,并基于回波吸收思想設(shè)計(jì)了庫侖繩系結(jié)構(gòu)姿態(tài)波動(dòng)控制器,并進(jìn)行了仿真和分析。第3節(jié)對本文的研究進(jìn)行了總結(jié)。

1 吊環(huán)模型運(yùn)動(dòng)分析

1.1 吊環(huán)模型

本文使用吊環(huán)模型作為物理模型,描述由柔性結(jié)構(gòu)連接的擺動(dòng)系統(tǒng)。

吊環(huán)模型由平面內(nèi)分別套在兩根平行的光滑直桿上的吊環(huán)1和吊環(huán)2以及連接兩個(gè)吊環(huán)的始終張緊的弦組成,如圖1所示。吊環(huán)可被視作質(zhì)點(diǎn),將吊環(huán)1在桿上的初始位置作為坐標(biāo)原點(diǎn),則坐標(biāo)系X軸沿弦線方向垂直于直桿;Y軸沿直桿方向向上。

圖1 吊環(huán)模型

盡管弦始終張緊,但是弦線并非一定處于一條直線上,因此在假設(shè)均質(zhì)的始終張緊的弦沿Y軸擺動(dòng)較小的情況下,弦的運(yùn)動(dòng)可以通過一維波動(dòng)方程描述為

(1)

式中:常數(shù)ρ為弦的線密度;T為弦張力,張力變化較小時(shí)可以假設(shè)T為常數(shù);f是分布在弦上的外界激勵(lì)。在不同情況下,波動(dòng)方程受到不同的邊界條件約束和初始條件的約束。

1.2 不同邊界條件下的吊環(huán)模型運(yùn)動(dòng)分析

在不同物理情況下,由于邊界條件存在差異,因此波動(dòng)方程解的形式也不盡相同,與之相對應(yīng)地,弦的振動(dòng)和波的傳播形式也有所不同。為了更好地反映模型在外激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)特性,在本節(jié)設(shè)定吊環(huán)1受力控制,對兩種典型的物理情況所對應(yīng)的不同邊界條件下的吊環(huán)模型運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析?？紤]到弦的運(yùn)動(dòng)方程的基本假設(shè),弦上任一點(diǎn)只沿Y軸方向運(yùn)動(dòng),因此如無特殊說明,本節(jié)所提及的位移和速度都是特指在Y軸方向上的位移和速度。此外,考慮到吊環(huán)質(zhì)量造成的影響,當(dāng)?shù)醐h(huán)材質(zhì)和弦線相同時(shí),可以將吊環(huán)看作是弦線的一部分“延長”,因此在分析弦線運(yùn)動(dòng)時(shí)如無特殊說明,認(rèn)為吊環(huán)材質(zhì)和弦線相同。

情況1. 吊環(huán)2自由

(2)

(3)

此時(shí),問題由時(shí)域偏微分方程轉(zhuǎn)化為了頻域常微分方程。求解式(3)可得其特解為

(4)

(5)

值得注意的是,通過此方法會(huì)使問題失去初始狀態(tài)信息,因此問題本質(zhì)被轉(zhuǎn)變?yōu)樵谙鄳?yīng)外激勵(lì)下,弦所產(chǎn)生的位移改變響應(yīng),而非實(shí)際位移,但是這并不妨礙對弦的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析;并且為便于表述,不妨設(shè)模型任一位置初始的位移、速度均為0。

因?yàn)閒0=f0(t)u(t)(u(t)為階躍函數(shù)),則對于任意t=τ+m×2l/c(0≤τ<2l/c,m∈N),式(5)可以被等價(jià)變化為

(6)

顯然,觀察式(6)可以發(fā)現(xiàn),隨著時(shí)間的增加,力波會(huì)不斷在模型中傳播,且在到達(dá)模型一端后會(huì)發(fā)生反射并繼續(xù)傳播。故模型任一位置處的速度響應(yīng)是在其上所受的所有力波的疊加作用引起的。此外,對式(6)分別取x=0和x=l可得吊環(huán)1和吊環(huán)2的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn),在外激勵(lì)持續(xù)作用下,二者的速度交替增加,因此模型會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)。

情況2. 吊環(huán)2自由但質(zhì)量較大

(7)

式中:l為兩直桿之間的距離;φ和ψ分別為弦的初始和速度;m為吊環(huán)2的質(zhì)量;f0為吊環(huán)1所受的控制力。對式(7)做傅里葉變換,則可得:

(8)

此時(shí),問題由時(shí)域偏微分方程轉(zhuǎn)化為頻域常微分方程。求解式(8)可得其特解為

(9)

將式(9)進(jìn)行等價(jià)變換后再進(jìn)行傅里葉逆變換,并以t-l/c代換t可得:

(10)

式(10)較為復(fù)雜,難以將其整理為類似式(6)的形式。因此,對吊環(huán)2單獨(dú)進(jìn)行分析。當(dāng)x=l時(shí),式(10)將化為描述吊環(huán)2運(yùn)動(dòng)的方程:

(11)

(12)

由于吊環(huán)1與弦線的材質(zhì)相同,且弦線阻抗大小為T/c,因此吊環(huán)1在受到激勵(lì)力f0時(shí)可以等效于受到速度激勵(lì)v0=cf0/T。因此,式(12)的解,即吊環(huán)2的速度可寫作:

vl(t)=

(13)

基于以上分析可知,在受到激勵(lì)作用時(shí),吊環(huán)1將加速至v0,并將波傳播出去,吊環(huán)2受到波的作用將吸收部分波,加速并逐漸趨近2v0,同時(shí)反射剩余部分的波,之后吊環(huán)1將同時(shí)受到反射波和激勵(lì)作用。在激勵(lì)不斷作用下的情況下,波將不斷在模型中產(chǎn)生和傳播使吊環(huán)1和吊環(huán)2將交替加速,引發(fā)模型振動(dòng)。

因此模型中除吊環(huán)2外任意位置xx(0≤xx

vx(t)=

(14)

2 繩系庫侖結(jié)構(gòu)擺動(dòng)控制

2.1 繩系庫侖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

對于繩系庫侖系統(tǒng),一般由可以提供控制力并且?guī)щ姾傻闹餍?、帶電荷的副星以及連接兩者的系繩組成,且主副星的電荷正負(fù)性相同以提供斥力。

假設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)球體,完全中心引力場,系統(tǒng)在軌道面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且軌道近似圓軌道,主星和副星視作質(zhì)點(diǎn),系繩是可伸長的半彈簧。

定義軌道系如圖2所示,以系統(tǒng)質(zhì)心為原點(diǎn),Yo軸與地心和系統(tǒng)質(zhì)心連線平行并指向遠(yuǎn)離地心方向,Xo軸在軌道平面內(nèi)且與Yo軸垂直。并且如圖2所示,系繩在軌道面上的投影與Yo軸的夾角α以及主星與副星之間的距離l被選為廣義坐標(biāo)。認(rèn)為系繩實(shí)際繩長為l。考慮到軌道接近圓軌道,則系統(tǒng)動(dòng)能可表示為

圖2 廣義坐標(biāo)定義

(15)

Ω2l2(-3sin2α+1)

(16)

系統(tǒng)的彈性勢能可以寫作:

(17)

式中:kt是系繩的剛度系數(shù);lnom是系繩原長,并且在實(shí)際繩長小于原長時(shí),系繩拉力為0,對應(yīng)彈性勢能也為0。系統(tǒng)的電勢能可以寫作:

(18)

式中:kc是庫侖常數(shù);qm和qs分別為主星和副星所帶的電荷量,且二者正負(fù)性應(yīng)相同。系統(tǒng)中各廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義阻尼力分別可以寫作:

(19)

式中:Fcx和Fcy分別是主星在Xo軸和Yo軸的推力分量;ct是系繩的阻尼系數(shù),且在實(shí)際繩長小于原長時(shí),阻尼系數(shù)也為0。系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程通過拉格朗日方程可以寫為

(20)

式中:Θ∈{α,l}。將式(15)～(19)代入式(20),可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:

(21)

2.2 繩系庫侖系統(tǒng)姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)姿態(tài)控制問題即是將系統(tǒng)從一種角度/角速度狀態(tài)轉(zhuǎn)換至另一種角度/角速度狀態(tài)。從這一角度而言,系統(tǒng)的姿態(tài)控制問題可以被視作對于系統(tǒng)具有“初始擺動(dòng)”的控制問題。

通過吊環(huán)模型的分析可知,模型擺動(dòng)由波在模型內(nèi)上不斷傳播所引發(fā)。因此,若可抵消傳播至受控吊環(huán)1處的波,模型的擺動(dòng)現(xiàn)象會(huì)得到抑制。并且由于繩系庫侖系統(tǒng)中庫侖力的存在,當(dāng)系統(tǒng)受到控制或擾動(dòng)時(shí),兩星之間的相對距離變化較小,因此在系統(tǒng)姿態(tài)變化時(shí),可以近似看作吊環(huán)模型受到激勵(lì)而變化的情況。

基于這一思想,若將主星和副星分別看作吊環(huán)1和吊環(huán)2,將系繩看作弦線,并且在初始時(shí)刻前已有速度激勵(lì)v0由主星輸入系統(tǒng),則問題可以轉(zhuǎn)化為1.2小節(jié)的情況2。因此,通過吸收持續(xù)影響系統(tǒng)的等效輸入激勵(lì)v0所產(chǎn)生的波,可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的擺動(dòng)抑制即完成系統(tǒng)的姿態(tài)控制。根據(jù)式(12),可以得到t-l/c時(shí)刻的等效輸入激勵(lì):

(22)

因此通過副星的狀態(tài)即可得到等效輸入激勵(lì)。此外,盡管將系繩看作張緊的弦時(shí),系繩幾乎不會(huì)是直的,但宏觀上觀察系繩擺動(dòng)時(shí),將系繩近似看作直線。因此,副星的運(yùn)動(dòng)滿足:

(23)

將式(23)代入式(22),此時(shí)可以通過易于獲得的信息得到等效輸入激勵(lì):

(24)

因此,可以通過t時(shí)刻副星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)獲得t-l/c時(shí)刻等效激勵(lì),并且等效激勵(lì)產(chǎn)生的波將在t+l/c時(shí)刻傳播至主星處,為抵消傳播至主星的波,t+l/c時(shí)刻主星的控制速度滿足:

(25)

將式(25)中的t以t-l/c代換,可得主星的控制速度vc的表達(dá)式:

(26)

在考慮主星執(zhí)行機(jī)構(gòu)為推力器的情況下,在已知主星速度vm的情況下,主星應(yīng)輸出的控制力可由比例控制得到:

Fcy(t)=kp[vc(t)-vm(t)]

(27)

3 仿真校驗(yàn)

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的繩系庫侖結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制器的控制效果,進(jìn)行仿真校驗(yàn)。仿真所用的參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

針對不同場景,設(shè)定以下兩種不同的仿真初始狀態(tài)進(jìn)行仿真校驗(yàn):

工況 1的仿真結(jié)果如圖3所示,其中圖3(a)、(b)和(c)分別給出了繩系庫侖結(jié)構(gòu)在受控和不受控情況下的姿態(tài)角變化、繩長變化以及輸出的控制力大小。通過圖3(a)可以發(fā)現(xiàn),在無控情況下,系統(tǒng)姿態(tài)逐漸發(fā)散,這是重力梯度影響使系統(tǒng)傾斜時(shí)有向當(dāng)?shù)劂U錘方向變化的趨勢;系統(tǒng)有控時(shí)的姿態(tài)角持續(xù)減小,在1 500 s附近收斂,且這一過程中沒有擺動(dòng)現(xiàn)象。由圖3(b)可知,在系統(tǒng)受控情況下,系繩始終張緊,且最終穩(wěn)定在30.03 m附近。此時(shí)系繩張力和主副星之間的庫侖斥力相平衡;無控情況下,盡管系統(tǒng)姿態(tài)逐漸發(fā)散,但在仿真時(shí)段內(nèi)系繩徑向受力與穩(wěn)定狀態(tài)相近,因此繩長也保持在30.03 m附近。圖3(c)顯示,在姿態(tài)角的穩(wěn)定控制過程中,主星輸出的控制力大小最大不超過0.3 N。

圖3 系統(tǒng)有初始姿態(tài)角的情況

工況 2的仿真結(jié)果如圖4所示。觀察圖4(a)可知,無控情況下系統(tǒng)由于存在初始姿態(tài)角速度而發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng),因此姿態(tài)角不斷積累并且大小幾乎與時(shí)間成線性相關(guān);在系統(tǒng)受控時(shí),其姿態(tài)角在經(jīng)歷短暫時(shí)間的增加后持續(xù)減小,并在1 500 s附近收斂。圖4(b)顯示,在系統(tǒng)受控時(shí),系繩始終保持張緊且最終穩(wěn)定在30.03 m附近;無控情況下,繩長穩(wěn)定在比系統(tǒng)受控穩(wěn)定狀況下稍長的狀態(tài),這是由于系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)對系繩提出了更多的張力需求。圖4(c)中,在實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角的穩(wěn)定控制整個(gè)過程中,主星輸出的控制力大小最大不超過0.5 N。

圖4 系統(tǒng)有初始姿態(tài)角和角速度的情況

綜合對比兩種控制情況仿真可以發(fā)現(xiàn),控制器對繩系庫侖結(jié)構(gòu)的姿態(tài)角和角速度控制都有良好的效果?？刂屏ψ钪递敵雠c初始姿態(tài)角和角速度成明顯的線性關(guān)系,這一點(diǎn)也可以從控制律表達(dá)式中推測得到。因此,在對繩系庫侖結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)時(shí),可以根據(jù)系統(tǒng)初始姿態(tài)對所需的控制力最值進(jìn)行估計(jì)。

4 結(jié) 論

本文利用兩種邊界條件下的波動(dòng)方程對所提出的吊環(huán)模型的運(yùn)動(dòng)以及波在其中的傳播情況進(jìn)行了分析。將繩系庫侖結(jié)構(gòu)的姿態(tài)控制問題轉(zhuǎn)化為擺動(dòng)控制問題,并基于回波吸收思想,設(shè)計(jì)了反饋控制器以實(shí)現(xiàn)繩系庫侖結(jié)構(gòu)的姿態(tài)控制。通過仿真校驗(yàn)了所設(shè)計(jì)控制器的控制效果,發(fā)現(xiàn)無論是進(jìn)行繩系庫侖結(jié)構(gòu)姿態(tài)角調(diào)整抑或是同時(shí)對繩系庫侖結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)抑制,控制器都可以在不產(chǎn)生額外的擺動(dòng)的情況下較快地實(shí)現(xiàn)繩系庫侖結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制,并且對于控制力的需求很小,易于工程實(shí)踐。

本文針對繩系庫侖結(jié)構(gòu)這一空間大型柔性結(jié)構(gòu)所設(shè)計(jì)的欠驅(qū)動(dòng)控制器,在只需對繩系庫侖結(jié)構(gòu)的主星進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制的情況下,即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)整體的姿態(tài)控制,且對控制輸出要求較低。因此,從控制需求和控制冗余角度而言,所設(shè)計(jì)的控制器對繩系庫侖結(jié)構(gòu)的姿態(tài)控制具有較高的實(shí)用性和可靠性。